人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题17.1勾股定理重难点题型12个(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练专题17.1勾股定理重难点题型12个(原卷版+解析)，共85页。试卷主要包含了勾股树与面积问题再探究，赵爽弦图相关问题，勾股定理的应用-梯子滑动问题，勾股定理的应用-台风和爆破问题，勾股定理的应用-位置问题， 勾股定理的应用-速度问题， 网格中的勾股定理等内容，欢迎下载使用。

解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.
1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022成都市八年级数学期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川成都·八年级期末）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为3，7，1，3，则最大的正方形的面积是__________．
4．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ）
A．6B．8C．9D．10
5．（2022·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．C．D．
题型2.赵爽弦图相关问题
解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
1．（2022·湖北八年级期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1B．3C．4﹣2D．4＋2
2．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________．
3．（2022·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）

A．9B．8C．7D．6
5．（2022.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．
6．（2022·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②③④C．①③D．②④
题型3.勾股定理的应用-梯子滑动问题
解题技巧:梯子滑动问题解题步骤：
1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
注意：梯子长度为不变量。
主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。
1．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
2．（2022·福建泉州·八年级期末）如图所示，一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将向外平滑（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，一架长的云梯斜靠在竖直的墙上，云梯的底端到墙底的距离为．(1)求这架云梯的顶端距离地面有多高？(2)如图所示，如果云梯的底端向墙外滑动了，求此时云梯的顶端A下滑的距离．
4．（2022·贵州黔南·九年级期末）如图，将一架梯子斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子的顶端距地面的垂直距离，梯子的底端距墙的距离．
(1)求梯子的长度；(2)如果将梯子向下滑动，使得梯子的底端向右滑动1m，那么此时梯子顶端下滑了多少米．
5．（2022·河南洛阳·八年级期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
6．（2022·江西八年级期末）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度．
题型4.勾股定理的应用-风吹草动和折竹抵地问题
解题技巧:风吹莲动问题解题步骤：
1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
折竹抵地问题解题步骤：
1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。
主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。
1．（2022·山东商河·八年级期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC=4尺，求AC的长．
2．（2021·江苏中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．
3．（2022·河南八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（ ）米．
A．5B．12C．13D．17
4．（2022·河南）《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
5．（2021·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．
6．（2022·安徽八年级期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
题型5.勾股定理的应用-台风（噪音）和爆破问题
解题技巧:台风（噪音）、爆破问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
注意：通常会用到垂线段最短的原理。
主要题型：常见题型有爆破、台风（爆破）等题型。
1．（2022·辽宁八年级期末）今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时的速度向北偏西60°的方向移动，经监测得知台风中心的范围内将会受台风影响，．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．
2．（2022·贵州六盘水·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
3．（2022·成都七中八年级期中）如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且ACAB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?
4．（2022·广州市八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
5．（2021·河南周口市·八年级期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，
（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
6．（2022·全国·八年级专题练习）由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
题型6.勾股定理的应用-位置问题（航行和信号塔）
解题技巧:航行问题解题步骤：
1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
信号塔、中转站题型解题步骤：
1）根据问题设出未知量（一般情况下求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；
2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；3）根据斜边长相等建立方程求解。
注意：1）轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长；
2）信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
主要题型：常见题型有轮船航行、信号塔、中转站等题型。
1．（2022·吉林长春·八年级期末）伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．
2．（2022·江苏九年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
3．（2022·南宁市八年级月考）如图，在一条东西走向的河流一侧有一工厂C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB＝6千米，CP＝4.8千米，PB＝3.6千米．（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．
4．（2022·广西八年级期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西_____°的方向．
5．（2022·广东惠州·八年级期中）已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两轮船相距（ ）
A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里
6．（2022·福建·厦门双十中学八年级期中）如图，货船和轮船从码头A同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以12海里/小时的速度匀速航行，轮船沿着北偏东36°方向以16海里/小时的速度航行．1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．
题型7. 勾股定理的应用-速度问题（超速问题）
解题技巧:速度问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算行驶的距离；
2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
3）比较实际行驶速度和规定速度。
注意：要将速度统一单位后再进行比较。
只要题型：常见题型有汽车超速等题型。
1．（2022·全国·八年级课时练习）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
2．（2022·山东省平邑县第一中学八年级月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
3．（2022·甘肃省庆阳市第五中学八年级期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图， 先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每秒22米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．
4．（2022·辽宁大石桥八年级月考）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
5．（2022·广东佛山·八年级阶段练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
题型8 勾股定理及逆定理的相关计算
1．（2022·江西八年级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．（1）求的长度；（2）求的长．
2．（2022·安徽八年级期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
3．（2022·苏州高新区九年级月考）如图，在中，，是的平分线，于点E．（1）求证：；（2）若，求线段的长度．
4．（2022·河南八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．
5．（2022·江苏）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．（1）求的长．（2）求的长．
6．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．
题型9. 网格中的勾股定理
解题技巧：网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。
1．（2022·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ）
A．1B．2C．D．
2.（2022·安徽八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为是网格上的格点三角形，则它的边上的高等于_______．
3．（2022·山西初二期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则________．
4．（2022·河南洛阳·八年级期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·西安市黄河中学八年级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（ ）
A．ABB．BCC．CDD．AD
6．（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积；
（2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；
（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积．
题型10 .勾股数与直角三角形的判定
解题技巧：常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2
1．（2022·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．
我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…
根据规律写出第⑥个等式为 ______________．
2．（2022·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．
3．（2022·安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
4．（2022·福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解： ．
（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．
5．（2022·山西八年级期末）阅读材料，并解决问题．
有趣的勾股数
定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．
一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么数组称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数以外，还提到，，，等勾股数．
数学小组的同学研究勾股数时发现：设，是两个正整数，且，三角形三边长，，都是正整数．下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数．
通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数可以写成．解答下列问题：
（1）表中可以用，的代数式表示为_____________．
（2）若，，则勾股数为______________．
（3）小明通过研究表中数据发现：若，则勾股数的形式可表述为（为正整数），请你通过计算求此时的．(用含的代数式表示)
6．（2022·北京四中初二期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．
题型11.勾股定理中线段平方关系的计算与证明
解题技巧：涉及线段的平方证明题，多是用勾股定理作为工具来证明的。常用作三角形的高、平移、旋转、对称等方法。
1．（2022·湖南长沙·八年级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则______．
2．（2022·山东泰安·七年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______．
3．（2022·全国·八年级专题练习）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）下列四边形是勾股四边形的有 ．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．
4．（2022·四川八年级期中）在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．
5．（2022·成都教科院附属龙泉学校八年级期中）如图1，在中，，，为边上一动点，且不与点点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．
（1）若，则 °， °．
（2）若，小明说一定是45°，你认为正确吗？请说明理由．
（3）如图2，过点作于点，的延长线与的延长线交于点，求证：．
图1
6．（2022·成都高新区益民学校八年级月考）（1）如图 1 所示，△ ABC 和△ AEF 为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB 的度数．
（2）如图 2，在△ ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N 为 BC 上的两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF.求证：MN= NC+BM（提示：旋转前后的图形全等）

题型12 .勾股定理综合问题
解题技巧：当问题的条件中出现勾股数（或不完勾股数，如：3，4；8，10等），或者结论中有垂直要求时，可考虑选取或构造直角三角形，运用勾股定理的逆定理求解。
1．（2022·河北八年级月考）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： ．
尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．
2．（2022·河南宛城初二期末）（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为 ．
3．（2022·江苏淮安初二期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝ °；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为 ．
4．（2022·湖南长沙初二期中）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
5．（2022·河南濮阳·八年级期末）已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作．
(1)如图1，①点D在边上，线段和线段数量关系是___________，位置关系是___________；
②直接写出线段之间的数量关系___________；
(2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系还成立吗？说明理由；
(3)在（2）的条件下，若．求出的长．
6．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，且点O在长方形内部．已知，．
(1)如图1，若，求四边形的面积．
(2)如图2，延长交于F，连结，将沿折叠，当点D的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连结，将沿折叠，当点C的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
n
2
3
4
5
6
a
4
5
8
10
12
b
3
8
15
24
35
c
5
10
17
26
37
2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
3
7
24
25
5
2
21
20
29
5
4
9
40
41
6
1
35
12
37
6
5
11
60
61
7
2
45
28
53
7
4
33
56
65
7
6
13
84
85
a
b
c
a
b
c
3
4
5
4
3
5
5
12
m
6
8
10
7
24
25
p
15
17
9
n
41
10
24
26
11
60
61
12
35
37
…
…
…
…
…
…
专题17.1 勾股定理 重难点题型12个
题型1.勾股树与面积问题再探究
解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.
1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论．
【详解】解：在图中标上字母，如图所示．
∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形，∴，，∴．
观察，发现规律：，，，S，…，
∴．当时，，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
2．（2022成都市八年级数学期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是，，，
根据勾股定理，得，即正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积=正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故选：D
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．
3．（2022·四川成都·八年级期末）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为3，7，1，3，则最大的正方形的面积是__________．
【答案】14
【分析】根据勾股定理可知SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积分别为3、7、1、3，
∴SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，∴SE=SA+SB+SC+SD=3+7+1+3=14，
∴正方形E的面积为14．故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，特别要注意条件中给出的是正方形的边长还是面积，属于基础题．
4．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】连接AC，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值．
【详解】如图所示，连接， 在中，
即；同理，在中，
即则 故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可．
5．（2022·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式表示出，整理解得得出答案．
【详解】解：∵为直角三角形，斜边，∴，
∴故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容．
6．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出AC2+BC2=AB2,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵ ∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影=AC2+BC2+AB2=（AC2+BC2）+AB2=AB2+AB2=AB2=3．故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理成为解答本题的关键．
题型2.赵爽弦图相关问题
解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
1．（2022·湖北八年级期末）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1B．3C．4﹣2D．4＋2
【答案】C
【分析】设直角三角形的斜边为c，短直角边为a，另一边为b，由勾股定理可得，小正方形面积： ．
【详解】解：设直角三角形的斜边为c，短直角边为a，另一边为b，
∵c=2，a=1∴由勾股定理可得 ，
∴小正方形面积： ∴阴影部分面积为：故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
2．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________．
【答案】 ## ##
【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解．
【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，
，，
，，，，，，
四边形是正方形，，， ，
，，，，，，
．故答案为：，．
【点睛】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题关键．
3．（2022·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
4．（2022·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）

A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．
【详解】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，
∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键．
5．（2022.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．
【答案】16
【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，则2x2-16x=-16，整体代入可得结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为48，
∴AB2=48，设AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，
∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF）•FG=EF•FG=S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8−x）=2x2-16x+48=-16+48=32，
则S△CFP-S△AEP的值是16；故答案为：16．
【点睛】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
6．（2022·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②③④C．①③D．②④
【答案】A
【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.
【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2，
由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，
∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确；
根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，
4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确；
由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误，
由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键．
题型3.勾股定理的应用-梯子滑动问题
解题技巧:梯子滑动问题解题步骤：
1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
注意：梯子长度为不变量。
主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。
1．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5m，∴A′B=2.5m，
在Rt△A′BD中，BD==2m，∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
2．（2022·福建泉州·八年级期末）如图所示，一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将向外平滑（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．
【详解】解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=2.5m，OB=0.7m，∴OA===2.4(m)
∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴OA′=2m，∵在Rt△A′OB′中，∠A′OB′=90°，A′B′=2.5m，OA′=2m，
∴OB′===1.5(m)，∴BB′=OB′-OB=1.5-0.7=0.8(m)．故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，一架长的云梯斜靠在竖直的墙上，云梯的底端到墙底的距离为．(1)求这架云梯的顶端距离地面有多高？(2)如图所示，如果云梯的底端向墙外滑动了，求此时云梯的顶端A下滑的距离．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用勾股定理求出AC即可； （2）根据勾股定理求出A1C，得到AA1即可．
（1）解：根据题意可知，，在中，，∴所以云梯的顶端距离地面
（2）由题意得，在中，，∴∴所以云梯的顶端A下滑了
【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解题意得到直角三角形并掌握勾股定理计算公式是解题的关键．
4．（2022·贵州黔南·九年级期末）如图，将一架梯子斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子的顶端距地面的垂直距离，梯子的底端距墙的距离．
(1)求梯子的长度；(2)如果将梯子向下滑动，使得梯子的底端向右滑动1m，那么此时梯子顶端下滑了多少米．
【答案】(1)10m (2)
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据勾股定理列方程，即可得到答案．
(1)在Rt△ABC中，，，∴．∴这把梯子的长度为10m．
(2)设梯子向下滑动后，梯子顶端距地面的高度为xm，则，
解得：，（舍去）．∴此时梯子向下滑动．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是根据题意画出正确的示意图，再从图形中抽象出直角三角形运用勾股定理，体现了数形结合的思想的应用．
5．（2022·河南洛阳·八年级期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)24米 (2)8米
【分析】（1）应用勾股定理求出AO的高度，即可求解；（2）应用勾股定理求出B′O的距离即可解答．
（1）如图，在Rt△ABO中，∵AB2=AO2+BO2，∴AO==24(米)
答：这个梯子的顶端距地面有24米．
（2）如图，在Rt△ABO中，由A'B'2=A'O2+OB'2，得B'O==15(米)，
∴BB'=B'O﹣BO=15﹣7=8(米)．答：梯子底部在水平方向滑动了8米．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．
6．（2022·江西八年级期末）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度．
【答案】（1）△ACD是等腰直角三角形，理由见解析；（2）船体移动距离BD的长度为4米
【分析】（1）直接利用勾股定理得出AD的长，进而得出△ACD的形状；
（2）利用勾股定理得出AB的长，进而得出BD的长．
【详解】解：（1）由题意可得：AC=12m，m，∠CAD=90°，
∴∴ ∴△ACD是等腰直角三角形；
（2）∵AC=12m，BC=20m，∠CAD=90°，
∴，∴BD=AB-AD=4m．
答：船体移动距离BD的长度为4米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
题型4.勾股定理的应用-风吹草动和折竹抵地问题
解题技巧:风吹莲动问题解题步骤：
1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
折竹抵地问题解题步骤：
1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。
主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。
1．（2022·山东商河·八年级期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC=4尺，求AC的长．
【答案】AC=4.2尺．
【分析】根据题意画出图形，根据已知用AC表示的AB长，然后根据勾股定理，列出AC的方程，解方程即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，∴AB=10-AC，
∵BC=4尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理，，
即解得AC=4.2尺．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用条件与解题方法是解题关键．
2．（2021·江苏中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．
【答案】12
【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2。解之得x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．
．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
3．（2022·河南八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（ ）米．
A．5B．12C．13D．17
【答案】B
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意设未知数列方程是解题的关键．
4．（2022·河南）《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2D．x2＝（x﹣4）2＋22
【答案】A
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据勾股定理可得：x2=（x-4）2+（x-2）2，故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
5．（2021·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．
【答案】
【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=尺，
∴可列方程为：，故答案为：．
【点睛】本题属于数学文化题，考查勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．
6．（2022·安徽八年级期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
【答案】尺
【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的绳索长为尺．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
题型5.勾股定理的应用-台风（噪音）和爆破问题
解题技巧:台风（噪音）、爆破问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
注意：通常会用到垂线段最短的原理。
主要题型：常见题型有爆破、台风（爆破）等题型。
1．（2022·辽宁八年级期末）今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时的速度向北偏西60°的方向移动，经监测得知台风中心的范围内将会受台风影响，．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．
【答案】受影响，6小时
【分析】过点A作，在Rt△ACO中，根据直角三角形的性质求得AC＝160，与200比较作答即可；以A为圆心，以200米长为半径画弧交BO于D、G两点，则A城受台风影响的距离为DG的长；在Rt△ACD中，根据勾股定理求出CD，同理求得CG，结合台风的风速即可解出A城受台风影响的时间．
【详解】解：如图，过点A作于点C，

由题得，，∴，
∵，∴会受到台风影响． 以A为圆心，以200米长为半径画弧交OB与D、G两点，
∴AD＝AG＝200千米，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，（千米），同理可得CG=120，则DG＝240千米，
∴A城遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
【点睛】本题考查勾股定理，速度与时间的关系，解题的关键是作出合适的辅助线．
2．（2022·贵州六盘水·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：（1）如图，过点C作于点D
∵∴∴是直角三角形
∴∴∴
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域∴海港C会受台风影响；
（2）当时，台风在上运动期间会影响海港C
在中
在中∴
∵台风的速度为20千米/小时∴（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
3．（2022·成都七中八年级期中）如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且ACAB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?
【答案】需要封闭，理由见解析
【分析】过作于 先求解 再利用等面积法求解 再与260比较，可得答案.
【详解】解：过作于


所以进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.
4．（2022·广州市八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
【答案】80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，，m，m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，，在中，m，m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2021·河南周口市·八年级期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，
（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米
米，米米，米（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
(2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时AC1=20，AB1=15，此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（2022·全国·八年级专题练习）由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
【答案】（1）受影响，理由见解析；（2）15小时
【分析】（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；
（2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间.
【详解】解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°，∴AC＝AB＝×240＝120，
∵AC＝120＜150，∴A城将受这次沙尘暴的影响．
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，
由题意得，，CE＝90
∴EF＝2CE＝2×90＝180 180÷12＝15（小时）∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的关键．
题型6.勾股定理的应用-位置问题（航行和信号塔）
解题技巧:航行问题解题步骤：
1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
信号塔、中转站题型解题步骤：
1）根据问题设出未知量（一般情况下求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；
2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；
3）根据斜边长相等建立方程求解。
注意：1）轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长；
2）信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
主要题型：常见题型有轮船航行、信号塔、中转站等题型。
1．（2022·吉林长春·八年级期末）伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)原来的路线的长为千米
【分析】（1）是直角三角形，理由见解析
（2）根据勾股定理解答即可
【解析】(1)是直角三角形，理由是：在中，
∵，∴
∴是直角三角形且；
(2)设千米，则 千米，
在中，由已知得，由勾股定理得：，
∴解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键
2．（2022·江苏九年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
【答案】
【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD−BD＝AB求出BD，进而求出AC，再利用路程＝速度×时间即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75°−30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∴AC＝CD，
∵BCAE，∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝，
∵AD−BD＝AB，∴ 海里，解得：BD＝10 海里，
∴CD＝ 海里，∴AC＝CD （海里），
∴小时 答：经过小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．（2022·南宁市八年级月考）如图，在一条东西走向的河流一侧有一工厂C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．工业园区规划改造后，原道路AC不再使用，现决定在河边新建一个取水点P，并新修一条路CP，测得CB＝6千米，CP＝4.8千米，PB＝3.6千米．
（1）CP是否为从工厂C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）是，计算见解析，（2）5千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断CP是否垂直AB即可；（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）是，
理由是：在△CPB中，∵CP2+BP2＝(4.8)2+(3.6)2＝36，BC2＝36，
∴CP2+BP2＝BC2，∴CP⊥AB，所以CP是从工厂C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，在Rt△ACP中，由已知得AC＝x，AP＝x﹣3.6，CP＝4.8，
由勾股定理得：AC2＝AP2+CP2 ∴x2＝(x﹣3.6)2+(4.8)2，解得x＝5，
答：原来的路线AC的长为5千米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是熟练运用勾股定理的逆定理和定理进行进行解答．
4．（2022·广西八年级期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西_____°的方向．
【答案】70
【分析】求出OA2+OB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，根据平角定义求出即可．
【详解】解：∵OA＝60海里，OB＝80海里，AB＝100海里，
∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°
∵∠NOA＝20°，∴∠BOS＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
故渔船在港口南偏西70°的方向，故答案为：70．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°是解此题的关键．
5．（2022·广东惠州·八年级期中）已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两轮船相距（ ）
A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里
【答案】C
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了27，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：如图，连接BC．
∵两船行驶的方向是西南方向和东南方向，∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5=36（海里），18×1.5=27（海里），
根据勾股定理得：（海里）．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算．
6．（2022·福建·厦门双十中学八年级期中）如图，货船和轮船从码头A同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以12海里/小时的速度匀速航行，轮船沿着北偏东36°方向以16海里/小时的速度航行．1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．
【答案】B、C两点之间的距离为20海里
【分析】根据方向角的意义得到∠BAC＝90°，然后利用勾股定理计算BC即可．
【详解】解：根据题意得∠BAC＝54°＋36°＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝12×1＝12，AC＝16×1＝16，
∴BC＝＝20（海里）．
答：B、C两点之间的距离为20海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，然后通过解直角三角形解决问题．
题型7. 勾股定理的应用-速度问题（超速问题）
解题技巧:速度问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算行驶的距离；
2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
3）比较实际行驶速度和规定速度。
注意：要将速度统一单位后再进行比较。
只要题型：常见题型有汽车超速等题型。
1．（2022·全国·八年级课时练习）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
【答案】
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，∴ BC =7x -10，又 ∵∠A =90°，∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
2．（2022·山东省平邑县第一中学八年级月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】（1）120米；（2）超速，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出BC的长；（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，
根据勾股定理得：BC=120（m）；
（2）这辆小汽车超速了．
理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，
20m/s=72km/h，72＞70，∴这辆小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
3．（2022·甘肃省庆阳市第五中学八年级期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图， 先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每秒22米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．
【答案】此车超速了，理由见解析．
【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得米，再根据直角三角形的性质、勾股定理可得的长，然后根据线段的和差可得AB的长，最后求出速度即可得．
【详解】米，，是等腰直角三角形，米，
在中，，，米，米，
（米），此车从处行驶到处的速度为（米/秒），
，此车超速了．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质、勾股定理是解题关键．
4．（2022·辽宁大石桥八年级月考）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
【答案】5m
【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
【解析】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，
设BC=AC=xm，则OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．故答案为：5m．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
5．（2022·广东佛山·八年级阶段练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米 (2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；（2）利用速度路程时间，即可判断．
【解析】(1)解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
(2)解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
题型8 勾股定理及逆定理的相关计算
1．（2022·江西八年级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．（1）求的长度；（2）求的长．
【答案】（1）15；（2）
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）设，则AE=12-x，根据勾股定理列方程，即可得到结论．
【详解】解：（1）在中，∵，，，∴．
（2）∵垂直平分，∴，设，则，
在中，∵，∴，解得．∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2022·安徽八年级期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）2.8．
【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）Rt△BDE中，∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝
Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
3．（2022·苏州高新区九年级月考）如图，在中，，是的平分线，于点E．（1）求证：；（2）若，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）已知∠DAC=∠DAE，即可证明△ACD≌△AED，即可解题；
（2）由（1）结论可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的长，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAE，
在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）；
（2）∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10，
∵△ACD≌△AED，∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，∴BE=AB-AE=4，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，
设DE=CD=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，DB2=DE2+BE2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△AED是解题的关键．
4．（2022·河南八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可．
【详解】解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm，
∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（15﹣x）2+82＝x2，解得：x＝，∴AB＝AC＝（cm），
∵BC＝17cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
5．（2022·江苏）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．（1）求的长．（2）求的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的定义求出AD；
（2）连接BE，用未知数表示出EC，BE的长，再利用勾股定理得出EC的长，进而得出答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．根据勾股定理得：AB=＝10，
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝AB＝5；
（2）连接BE，
∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8−x，
∴在Rt中， 62＋x2＝（8−x）2，解得：x＝，∴AE＝8−＝，
在Rt中，DE＝．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
6．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．
【答案】12
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
【详解】如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
题型9. 网格中的勾股定理
解题技巧：网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。
1．（2022·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，
∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
2.（2022·安徽八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为是网格上的格点三角形，则它的边上的高等于_______．
【答案】
【分析】如图，过点B作BD⊥AC于D，先利用勾股定理求出，再利用三角形的面积计算公式即可求得边上的高．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，
∵，
∴，∴，解得；故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出AC的长度．
3．（2022·山西初二期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则________．
【答案】45
【分析】连接利用勾股定理求解 证明为等腰直角三角形，从而可得答案．
【解析】解：如图，连接 由勾股定理得：
为等腰直角三角形，
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·河南洛阳·八年级期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面积法求出BD即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵BD⊥AC，
∴△ABC的面积=，
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及等面积法的应用是解题的关键．
5．（2022·西安市黄河中学八年级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（ ）
A．ABB．BCC．CDD．AD
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可．
【详解】解：AB=，BC=3，CD=，AD=，
故长度为的线段是AD，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积；
（2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；
（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积．
【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析，
【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可；
（2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积；
（3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积．
【详解】（1）的面积，
所以，的面积为5；
（2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，
作图如下：
的面积；
（3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，
格点三角形OPQ如图所示：
的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型10 .勾股数与直角三角形的判定
解题技巧：常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2
1．（2022·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．
我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…
根据规律写出第⑥个等式为 ______________．
【答案】132＋842＝852
【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式．
【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，
∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2，
∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，
∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2，
∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，
∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，
∴第⑥个等式为132＋842＝852，故答案为：132＋842＝852.
【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律.
2．（2022·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．
【答案】5,12或84,85．
【分析】利用分类思想，整数的性质求解即可．
【详解】当n=1时，得，
当a=13时，得=13，即，解得m=，
∵m是正整数，∴m=舍去；
当b=13时，即m=13，得a==84，c==85；
当c=13时，得=13，即，解得m=，
∵m是正整数，∴m= -5舍去，∴m= 5,
∴a==12，∴b= 5,故答案为：5,12或84,85．
【点睛】本题考查了勾股数，熟练运用分类思想，整数的性质是解题的关键．
3．（2022·安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，证明见解析
【分析】（1）观察表格，即可得出n=7时a、b、c的值；
（2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加、减1，即可得出答案；
（3）计算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
【详解】解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1，
n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1，
∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；故答案为：14，48，50；
（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；故答案为：2n，n2-1，n2+1；
（3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题．
4．（2022·福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解： ．
（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．
【答案】（1）或；（2）验证见解析．
【分析】（1）根据勾股数即可得出答案；（2）先分别求出、、，进而求出=，即可得出结论．
【解析】解：（1）当，时，， 当，时，，
方程的两组正整数解为或，故答案为或；
（2）以已知的，，为三边的三角形为直角三角形，
理由：∵，，，，
，
以，，为三边的三角形为直角三角形，其中，为直角边，为斜边．
【点睛】此题主要考查了勾股数，勾股定理的逆定理，掌握熟练运用完全平方公式计算是解本题的关键．
5．（2022·山西八年级期末）阅读材料，并解决问题．
有趣的勾股数
定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．
一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么数组称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数以外，还提到，，，等勾股数．
数学小组的同学研究勾股数时发现：设，是两个正整数，且，三角形三边长，，都是正整数．下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数．
通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数可以写成．解答下列问题：
（1）表中可以用，的代数式表示为_____________．
（2）若，，则勾股数为______________．
（3）小明通过研究表中数据发现：若，则勾股数的形式可表述为（为正整数），请你通过计算求此时的．(用含的代数式表示)
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；
【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，
∴，故答案为：；
（2）当，时，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，
∴勾股数为，故答案为：；
（3）根据题意，得，
∴，解得．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
6．（2022·北京四中初二期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：
平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．
【答案】（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24．
【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152＝172，∴p＝8．
（2）如图所示：
在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．
【点睛】本题考查勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．
题型11.勾股定理中线段平方关系的计算与证明
解题技巧：涉及线段的平方证明题，多是用勾股定理作为工具来证明的。常用作三角形的高、平移、旋转、对称等方法。
1．（2022·湖南长沙·八年级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则______．
【答案】13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：， ，
在和中，根据勾股定理得，，，
，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
2．（2022·山东泰安·七年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则______．
【答案】169
【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，∴AC⊥BD，
∴，∴
∵，∴169，故答案为：169．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键．
3．（2022·全国·八年级专题练习）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）下列四边形是勾股四边形的有 ．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）①③；（2）（3，4）或（4，3）；（3）见解析
【分析】（1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意；
（2）OM＝AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；
（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形．
【详解】（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形
故答案为：①③；
（2）如图1所示：M（3，4）或（4，3）；
故答案为（3，4）或（4，3）；
（3）证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，
∵∠CBE＝60，∴△CBE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
4．（2022·四川八年级期中）在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）．
【分析】（1）根据等腰三形的腰相等、旋转前后线段相等、同角的余角相等，利用SAS即可证明全等；
（2）连接EF，通过已证的全等三角形对应边相等和垂直平分线的性质定理，可证AD＝BE和DF＝EF，把要证明的线段转化到中，利用勾股定理即可证明；
（3）利用勾股定理在中求得DE，根据三角形外角定理可证，在中根据直角三角形角所对边等于斜边一半和勾股定理，设分别用x表示BF、EF和DF，最后在利用勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，
，，，
在和中，，，．
（2）如图，连接，，是等腰直角三角形，是的垂直平分线，，
又，，，，
中，，．
（3），是等腰直角三角形，，
，，，，
设，则，，
在中，，解得，．
【点睛】本题主要考查全等三角形判断和性质、垂直平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点。在证明题中，若出现和线段平方有关的等式问题，我们首选的方法就是把证明中出现的线段转移到一个三角形中，通过证明此三角形为直角三角形，进而利用证明最终的结果．注意：不要认为有一个角等于 ，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提是在直角三角形中．
5．（2022·成都教科院附属龙泉学校八年级期中）如图1，在中，，，为边上一动点，且不与点点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．
（1）若，则 °， °．
（2）若，小明说一定是45°，你认为正确吗？请说明理由．
（3）如图2，过点作于点，的延长线与的延长线交于点，求证：．
图1
【答案】（1）50；65；（2）正确，证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用互余的性质求出的度数，再根据三角形外角和等腰三角形的性质即可求解；
（2）即可求解；
（3）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵，，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，．
（2）
，
故小明说一定正确．
（3）连接，
∵，，∴垂直平分，∴，，
由（2）可知：， 即，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴为直角三角形，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
6．（2022·成都高新区益民学校八年级月考）（1）如图 1 所示，△ ABC 和△ AEF 为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB 的度数．

（2）如图 2，在△ ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC，M、N 为 BC 上的两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF.求证：MN= NC+BM（提示：旋转前后的图形全等）
【答案】（1）∠AEB＝150°；（2）见解析.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AE＝AF＝EF＝3，AB＝AC，∠AFE＝60°，∠BAC＝∠EAF＝60°，求出∠BAE＝∠CAF，证出△BAE≌△CAF，得出CF＝BE＝4，∠AEB＝∠AFC，求出CE2＝EF2＋CF2，得出∠CFE＝90°，即可得出结果；（2）根据将△ABM绕A点逆时针旋转90°，得到△ACF，可知AM＝AF，CF＝BM，∠BAM＝∠CAF，∠B＝∠ACF，求出∠NAF＝∠MAN，证出△MAN≌△FAN，得出MN＝FN，求出∠FCN＝90°，由勾股定理得出NF2＝CF2＋CN2即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1所示：∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝EF＝3，AB＝AC，∠AFE＝60°，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF＝60°−∠CAE，
在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝4，∠AEB＝∠AFC，∴EF＝3，CE＝5，∴CE2＝EF2＋CF2，∴∠CFE＝90°
∵∠AFE＝60°，∴∠AFC＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝∠AFC＝150°；
（2）如图2所示：∵将△ABM绕A点逆时针选择90°，得到△ACF，
∴AM＝AF，CF＝BM，∠BAM＝∠CAF，∠B＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠CAN＋∠FAC＝∠CAN＋∠BAM＝90°−45°＝45°＝∠MAN，
在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝FN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠B＝∠ACF，∴∠ACF＝45°，∴∠FCN＝90°，由勾股定理得：NF2＝CF2＋CN2，
∵CF＝BM，NF＝MN，∴MN2＝NC2＋BM2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理及勾股定理的逆定理、等边三角形的性质等知识；能综合运用定理进行推理是解此题的关键，有一定的难度．
题型12 .勾股定理综合问题
解题技巧：当问题的条件中出现勾股数（或不完勾股数，如：3，4；8，10等），或者结论中有垂直要求时，可考虑选取或构造直角三角形，运用勾股定理的逆定理求解。
1．（2022·河北八年级月考）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： ．
尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．
【答案】（1）BD⊥CE（或“垂直”），BC=CE+CD （或CE = BC –CD或CD = BC- CE）； （2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，新关系为BC=CE-CD．理由见解析；（3）线段ED的长为13．
【分析】(1)根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD＝BC；(2)根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再根据BD＝BC+CD，即可得到CE＝BC+CD；(3)根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，在Rt△DCE中，由勾股定理即可解决问题．
【详解】解：(1)如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE．∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
故答案为：BD⊥CE（或“垂直”），BC=CE+CD （或CE = BC –CD或CD = BC- CE）；
(2)BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，∴BC＝CE﹣CD；BD⊥CE；
(3)如图3中，由（1）同理可得，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝5，∠ACE＝∠ABD＝135°，∴CD＝BC+BD＝BC+CE＝12，
∵∠ACB＝45°∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝122+52＝132，∴DE＝13．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
2．（2022·河南宛城初二期末）（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为 ．
【答案】【问题背景】：EF＝BE+FD；【探索延伸】：结论EF＝BE+DF仍然成立，见解析；【学以致用】：5.
【分析】[问题背景]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
[探索延伸]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
[学以致用]过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．
【解析】 [问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，
∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．
[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；
[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．
【点睛】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．
3．（2022·江苏淮安初二期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝ °；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为 ．
【答案】（1）∠BCE＝90°；（2）①∠BCE的度数不变，为90°；理由见解析；②△ADE的面积为.
【分析】（1）由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；则∠ACE=∠ABD=45°，从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；
（2）①由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；则∠ACE=∠ABD=45°，从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；
②得出BD，由△ACE≌△ABD可得CE=BD，运用三角形面积公式解答．
【解析】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．
在△ACE和△ABD中， ，∴△ACE≌△ABD（SAS）；
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；
（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，
在△ACE和△ABD中 ∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE的度数不变，为90°；
②∵BC＝3，CD＝6，∴BD＝9，∵△ACE≌△ABD，∴CE＝BD＝9，
在Rt△ECD中，=117，
在Rt△ADE中，∵AD=AE∴ =117，，
∴△ADE的面积＝；故答案为：.
【点睛】本题是三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识解答．
4．（2022·湖南长沙初二期中）在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
【答案】（1）AC＝3; （2）见解析；（3）73.
【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；（2）在Rt△DOA中根据勾股定理有OD2+OA2＝AD2，同理有OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，又AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2，AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 即可证明AB2+ CD2＝AD2+ BC2；
（3）连接CG、AE，根据∠GBC=∠EBA=900得∠ABG=∠EBC，则证明△ABG≌△EBC，则∠1＝∠2 ，∠3＝∠4，由（2）可知AC2+GE2＝CG2+AE2，则可求出CG2、AE2 、AC2从而求出GE2.
【解析】解：（1）在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5 ∴AC＝=3
（2）在Rt△DOA中，∠DOA＝900，∴OD2+OA2＝AD2 同理：OD2+OC2＝CD2
OB2+OC2＝BC2 OA2+OB2＝AB2
∵AB2+ CD2＝OA2+OB2+ OD2+OC2 AD2+ BC2＝OD2+OA2+ OB2+OC2 ∴AB2+ CD2＝AD2+ BC2

（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA
∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG和△EBC中
∴△ABG≌△EBC（SAS） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4
∴∠5＝∠AIJ＝900 ∴AG⊥CB 连接CG、AE，由（2）可知 AC2+GE2＝CG2+AE2
在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2 CG2＝42+42＝32
在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2 AE2＝52+52＝50
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 52＝AC2+42 AC2＝9
∴AC2+GE2＝CG2+AE2 9+ GE2＝32+50 GE2＝73
【点睛】本题考查了三角形全等、勾股定理、添加辅助线等知识点，读懂题意找出等量关系，并学会综合运用所学知识点解题的解答本题的关键.
5．（2022·河南濮阳·八年级期末）已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作．
(1)如图1，①点D在边上，线段和线段数量关系是___________，位置关系是___________；
②直接写出线段之间的数量关系___________；
(2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系还成立吗？说明理由；
(3)在（2）的条件下，若．求出的长．
【答案】(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2(2)成立，理由见解析 (3)
【分析】（1）①根据已知条件，证明即可求解；②在，根据勾股定理，结合即可求解；
（2）连接BE，根据（1）的方法证明即可求解；
（3）根据题意勾股定理求得，进而可得，在Rt△BDE中，由勾股定理即可求解．
（1）解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2，∴AD2+BD2＝DE2，故答案为：①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2；
（2）（1）的结论仍成立，理由如下，如图2，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2，∴AD2+BD2＝DE2，
（3）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴，∴，∴，在Rt△BDE中，由勾股定理得：∴DE＝＝＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，且点O在长方形内部．已知，．
(1)如图1，若，求四边形的面积．
(2)如图2，延长交于F，连结，将沿折叠，当点D的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连结，将沿折叠，当点C的对称点恰好为点O时，求四边形的面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得△OBE△ABE，在Rt△ABE中根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形面积公式计算即可；（2）根据折叠的性质可得△OEF≌△DEF，设OF=DF=x,则FC=DC-DF=4-x，BF =BO＋OF =4＋x, 在Rt△BCF中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形面积公式计算，由S四边形ABFE=SRt△ABE+S△BEF计算得出结果即可；（3）根据折叠的性质可得△CGF≌△OGF，可得，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据S四边形BEFG＝S△BEF＋S△BFG计算得出结果即可；
(1)四边形ABCD是长方形，AB=4，
，
将△ABE沿BE折叠后得到△OBE△OBE△ABE 在Rt△ABE中， AE= BE
=
四边形的面积；
(2)由（1）知△OBE≌△ABE，∴OE = AE, OB = AB = 4，
又∵将△DEF沿EF折叠，点D的对称点恰好点O，∴△OEF≌△DEF，∴OE = DE，OF = DF，
∴OE= AE= DE=AD=，设OF=DF=x,则FC=DC-DF=4-x，BF =BO＋OF =4＋x,
在Rt△BCF中，根据勾股定理得,∴解得x＝2.
∴S四边形ABFE=SRt△ABE+S△BEF= × AB×AE+ ×OE× BF=×4×+××(4+2)=4+6=10.
∴四边形ABFE的面积是；
(3)由(2)知，△OEF≌△DEF∴OF = DF∵将△CGF沿GF折叠，点C的对称点恰好为点O,∴△CGF≌△OGF
∴OF = FC, ∠FOG = 90°,∴DF = FC=DC=AB=2,∠BOG =180°-90°= 90°,
设，则∵OB= 4，CB=4，CF =2，
在中，解得即OG＝
∴S四边形BEFG＝S△BEF＋S△BFG=×OE×BF+×OG×BF=××(4+2)+ ××(4+2)=
∴四边形BEFG的面积是
【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．n
2
3
4
5
6
a
4
5
8
10
12
b
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1
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20
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7
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a
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a
b
c
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…
…
…
…
…
…