人教版 八上 数学期中测试卷 （11--13章）B卷（原卷+解析）

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1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
【答案】C
【解析】A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
2.在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】过八边形的一个顶点可以引（8﹣1﹣2）＝5条对角线，
所以可组成6个三角形．
故选：B．
3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【答案】D
【解析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+x，
依题意有12.5°+x+x+130°＝180°，
解得x＝30°．
故选：D．
4.如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（ ）
A．108°B．120°C．126°D．132°
【答案】C
【解析】∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故选：C．
5.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（ ）
A．14B．13C．12D．10
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝7，
∴BG＝2BF＝14，
∴EG＝8，
∴CE＝CG＝4，
∴AC＝BC＝10，
故选：D．
6.如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．50°B．75°C．80°D．105°
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣20°﹣30°＝130°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝30°，
∴∠PAQ＝130°﹣20°﹣30°＝80°，
故选：C．
7.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（ ）

A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【详解】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，

∴点D是AB的中点，
∴，
∵，
∴即△ADE的面积为5，
故选：A．
8．如图，已知，点，，，…，在射线上，点，，，，…，在射线上，，，，…，均为等边三角形．若，则的边长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵△A1B1B2是等边三角形，
∴∠A1B1B2=∠A1B2O=60°，A1B1=A1B2，
∵∠O=30°，
∴∠A2A1B2=∠O+∠A1B2O=90°，
∵∠A1B1B2=∠O+∠OA1B1，
∴∠O=∠OA1B1=30°，
∴OB1=A1B1=A1B2=1，
在Rt△A2A1B2中，
∵∠A1A2B2=30°，
∴A2B2=2A1B2=2，
同法可得A3B3=22，A4B4=23，…，AnBn=2n-1，
∴的边长=22019，
故选：A．
9.将一组线段按如图所示的规律排列下去，若有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，如（3，2）表示的数是5，则（15，6）表示的数是（ ）
A．110B．﹣110C．111D．﹣112
【答案】C
【解析】根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可知：
（3，2）：+2＝5；
（3，1）：﹣+1＝﹣4；
（4，4）：﹣+4＝﹣10；
…
由此可以发现，对所有数对（m，n）（n≤m）有，
（m，n）：（1+2+3+…+m﹣1）+n＝+n．
表示的数是偶数时是负数，奇数时是正数，
所以（15，6）表示的数是：
+6＝111．
故选：C．
10.如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）

A．12B．16C．18D．20
【答案】B
【详解】设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
填空题（共24分）
11.如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正________边形．
【答案】二十．
【解析】∵正多边形的一个内角是162°，
∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，
边数n＝360°÷18°＝20．
12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为________．
【答案】12．
【解析】多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
13.如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为________．
【答案】40°．
【解析】由翻折的性质可知：∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠A′ED＝（180°﹣70°）＝55°，
∵∠A＝55°，
∴∠ADE＝∠EDA′＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∴∠A′DB＝180°﹣140°＝40°，
14.如图，在△ABC中，D，E两点分别在AC，AB上，且CD＝DE＝BE，BD与CE交于点F，若∠A＝α，∠DFE＝β，则α与β之间的数量关系是________．
【答案】α＝2β﹣180°．
【解析】∵CD＝DE，DE＝BE，
∴∠CED＝∠DCE，∠EDB＝∠DBE，
设∠CED＝∠DCE＝x，∠EDB＝∠DBE＝y，
则∠ADE＝∠DCE+∠CED＝x+x＝2x，
在△DFE中，∠DFE+∠EDB+∠CED＝180°，即β+y+x＝180°，
∴2β+2x+2y＝360°①，
在△ADB中，∠A+∠ADB+∠DBA＝180°，即α+2x+y+y＝180°，
即α+2x+2y＝180°②，
①﹣②得：2β﹣α＝180°，
即α＝2β﹣180°，
15.如图所示，在边长为2的正三角形中，E、F、G分别为、、的中点，点P为线段上一个动点，连接、，则的最小值____．

【答案】2
【详解】连接交于M，∵等边，E、F、G分别为、、的中点，
∴，，∴，，
∴A、G关于对称，即当P和E重合时，此时最小，，，则最小值是：．

16．已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为__________．

【答案】或50°或
【详解】中，∵，，
∴∠BAC=40º，
如图，为等腰三角形有三种情形：

①当时，
∵，∠BAC=40º，
∴=，
∴=；
②当时，
，
∴；
③当时，
∵，∠BAC=40º，
∴，
∴=；
故答案为：或50°或
三 、解答题（共66分）
17.（6分）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）写出A、B、C的对应点A'、B'、C′的坐标；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．
【答案】见解析
【解析】
（1）如图所示，△A'B'C′即为所求；
（2）由图可得，A'（4，1）、B'（3，3）、C′（1，2）；
（3）如图所示，点Q即为所求．
18.（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．
（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；
（2）求证：BC＝2AB．
【答案】见解析
【解析】
（1）解：∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴，
∵EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝20°，
∵∠DEC是△EBC的一个外角，
∴∠DEC＝∠ECB+∠EBC＝40°；
（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，
∴EA＝EF，
在Rt△AEB 和Rt△FEB中，
∵
∴Rt△AEB≌Rt△FEB （HL），
∴AB＝FB（全等三角形的对应边相等），
∵EB＝EC，EF⊥BC，
∴BC＝2FB，
∴BC＝2AB．
19.（8分）（8分）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】
BM＝BN，BM⊥BN．理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴AE＝CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM＝BN，
∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°
∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，
∴∠MBE+∠DBN＝90°，
即：BM⊥BN，
∴BM＝BN，BM⊥BN．
20.（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
【答案】见解析
【解析】
（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
21.（10分）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
求证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE．


【答案】①详见解析；②详见解析
【详解】①∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
22.（12分）如图，已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
（1）如图①，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC还成立吗？请画图说明．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，OE＝OF．∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE＝∠OCF，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB＝AC，否则AB≠AC．（如示例图）
23.（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝________度；
（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝________度；
（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之间的数量关系，不用证明．
【答案】见解析
【解析】
（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，
故答案为：120．
（3）①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB＝β，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，
连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，
即：∠BCE+∠BAC＝180°，
∴α+β＝180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．