浙教版 九上数学 期中测试卷（第1章-第3章）B卷（原卷+解析）

浙教版 九上数学期中测试卷 （第1章-第3章） B 卷

答案解析

一．选择题（共30分）

1.抛物线y＝2（x+1）2﹣1的顶点坐标是（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）

【解答】解：因为y＝2（x+1）6﹣1是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，

故选：B．

2.不透明的袋子中装有2个红球，6个白球，这些球除了颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出1个球（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有8种等可能结果，其中摸出的球是白球的有6个结果，

∴从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为＝，

故选：A．

3.要得到抛物线y＝3（x+2）2+3，可以将抛物线y＝3x2（　　）

A．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 

B．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 

C．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 

D．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度

故选：A．

4.在，，，，这五个数中任取两数，，则二次函数的顶点在坐标轴上的概率为(    )

1.  B.  C.  D.

【答案】 

【解析】解：二次函数的顶点在坐标轴上，
或，
画树状图得：

，，，，这五个数中任取两数一共有种等可能的结果，其中取到其中一个数为的有种结果，
顶点在坐标轴上的概率为．
故选：．
5.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，PM＝x，则x的最大值是（　　）

A．3 B． C．2.5 D．2

【解答】解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．

∵AB⊥CN，

∴CP＝PN，

∵CM＝DM，

∴PM＝DN，

∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为．

故选：C．

6.二次函数的图象顶点在第三象限，且过点，设，则值的变化范围是(    )

1.  B.  C.  D.

【答案】 

【解析】解：，

当时，，
即抛物线与轴的交点是，
过点和点的直线的解析式是，
当时，，
而时，，
，
，即，
故选：．

7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（　　）

A．3 B． C． D．

【解答】解：连接AC，如图，

∵BA平分∠DBE，

∴∠ABE＝∠ABD，

∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，

∴∠ACD＝∠CDA，

∴AC＝AD＝7，

∵AE⊥CB，

∴∠AEC＝90°，

∴AE＝＝＝2．

故选：C．

8.一个盒子里有完全相同的小球，球上分别标有数字，，，从中摸出一个数字记为，则摸出的数字能满足关于的方程无实数根的概率是(    )

1.  B.  C.  D.

【答案】 

【解析】解：关于的方程无实数根，
，
而在，，这个数中，符合条件的只有这个数，
摸出的数字能满足关于的方程无实数根的概率是，
故选：．

9.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：
 

小球在空中经过的路程是；

小球抛出秒后，速度雨来越快；

小球抛出秒时速度为；

小球的高度时，．

其中正确的是  (    )

A.  B.  C.  D.

答案   
解：由图象知小球在空中达到的最大高度是故错误
小球抛出秒后，速度越来越快故正确
小球抛出秒时达到最高点即速度为故正确
设函数解析式为：，
把代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，
解得：或，
小球的高度时，或，故错误
故选D．  

10.已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（其中a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1，（　　）

A．若h＝4，则a＞0 B．若h＝5，则a＜0 

C．若h＝6，则a＞0 D．若h＝7，则a＜0

【解答】解：当x＝1时，y＝8；当x＝8时，y＝1；代入函数式得：，

∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝﹣7，

整理得：a（9﹣2h）＝﹣1，

若h＝4，则a＝﹣1，故A错误；

若h＝5，则a＝1，故B错误；

若h＝6，则a＝，故C正确；

若h＝7，则a＝，故D错误；

故选：C．

二、填空题：（共24分）

11.二次函数y＝2x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的最大值是　　，最小值是　　．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，

∵a＝2＞0，

∴x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大，

∴在﹣3≤x≤4内，x＝1时，y有最小值，x＝﹣3时y有最大值，分别是y＝2﹣4+5＝3和y＝2×9﹣4×（﹣3）+5＝35．

故答案为：35，3．

12.如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为　52°　．

【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，

∴∠C＝∠OBC＝26°，

∴∠AOB＝2∠C＝52°，

故答案为：52°．

13世纪的一天，保罗与著名的赌徒梅尔赌钱，每人拿出枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到枚金币，比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博，于是他们商量这枚金币应该怎样分配才合理，保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的三分之一，即枚金币，但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大，所以他应得全部赌金，请你根据概率知识分析保罗应赢得____________枚金币。

【答案】 
解：要再玩两局，才会决定胜负，
会出现四种可能的结果：梅尔胜，保罗胜，保罗胜，梅尔胜，梅尔胜，梅尔胜，保罗胜，保罗胜，其中前三种结果都是梅尔胜，只有第四种结果是保罗胜，
梅尔取胜的概率是，保罗取胜的概率是，
梅尔赢得枚金币，保罗应赢，枚金币，
故答案为：．  

14.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，则⊙O的半径为　　．

【解答】解：连接OA，OB，

∵∠C＝45°，

∴∠AOB＝2∠C＝90°，

∵OA＝OB，

∴△OAB是等腰直角三角形，

∴OA＝AB•cos45°＝2×＝．

故答案为：．

15.      已知三角形的两边分别是和，现从长度分别为、、、、、六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率是______ ．

【答案】 

解析】解：六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边有、，，
所以六根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率．
故答案为．

16.若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有一个交点，则交点坐标为　　；若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个交点，则m的取值范围是          　

【解答】解：（1）令y＝|x2﹣2x﹣5|＝0，即x2﹣3x﹣3＝0，

解得x8＝﹣1，x2＝5，

∴函数与x轴的坐标为（﹣1，0），5），

作出y＝|x2﹣2x﹣5|的图象，如图所示，

当直线y＝x+m经过点（3，0）时与函数y＝|x7﹣2x﹣3|的图象只有一个交点，

故若直线y＝x+m与函数y＝|x5﹣2x﹣3|的图象只有一个交点，则交点坐标为（5，

故答案为（3，0）；

（2）由函数图象可知y＝，

联立，

消去y后可得：x2﹣x+m﹣3＝8，

令Δ＝0，

可得：1﹣2（m﹣3）＝0，

解得，m＝，

即m＝时，直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣6x﹣3|的图象只有3个交点，

当直线过点（﹣5，0）时，

此时m＝1，直线y＝x+m与函数y＝|x4﹣2x﹣3|的图象只有6个交点，

∴直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣2|的图象有四个公共点时，m的范围为：1＜m＜，

故答案为：4＜m＜．

二．解答题（66分）

17.（6分）如图，一圆弧形钢梁

（1）请用直尺和圆规补全钢梁所在圆；

（2）若钢梁的拱高为8米，跨径为40米，求这钢梁圆弧的半径．

【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．

（2）如图，连接OB，

由题意知CD＝8米，AB＝40米，

∵OD⊥AB，

∴BC＝AC＝AB＝20米，

设圆的半径为r，

则OC＝r﹣8，

在Rt△BOC中，由BO2＝BC2+OC2可得r2＝（r﹣8）2+202，

解得：r＝29，

答：这钢梁圆弧的半径为29米．

18.（8分）如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成等份，乙盘被平均分成等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．
小明转出的颜色为红色的概率为______；
小明转出的颜色为黄色的概率为______；
小颖转出的颜色为黄色的概率为______；
两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？

【答案】   

【解析】解：甲盘被平均分成等份，其中红色有等份，
小明转出的颜色为红色的概率为；
故答案为：；
甲盘被平均分成等份，其中黄色有等份，
小转出的颜色为黄色的概率为；
故答案为：；
乙盘被平均分成等份，其中黄色有等份，
小颖转出的颜色为黄色的概率为；
故答案为：；
不公平，因为小明转出的颜色为红色的概率为，小颖转出的颜色为红色的概率为，而，所以不公平．
19.（8分）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，且n＝m﹣2，大正方形的面积为S．

（1）求S关于m的函数关系式；

（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．

【解答】解：（1）∵小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，

∴直角三角形较长边长为m+n，

由勾股定理及正方形的面积公式可知：

S＝（m+n）2+n2，

∵n＝m﹣2，

∴S＝（m+m﹣2）2+（m﹣2）2

＝4m2﹣8m+4+m2﹣4m+4

＝5m2﹣12m+8，

∵n＝m﹣2＞0，

∴m＞2．

∴S关于m的函数关系式为S＝5m2﹣12m+8（m＞2）；

（2）由（1）知，S＝5m2﹣12m+8＝5（m﹣1.2）2+0.8，

∵S关于m的二次函数的对称轴为直线m＝1.2，二次项系数为正，

∴当2＜m≤3时，S随m的增大而增大，

∴当m＝3时，S最大．

∴当大正方形面积最大时，m＝3．

20.（10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）证明：∠E＝∠C；

（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；

【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵CD＝BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵∠B＝∠E，

∴∠E＝∠C；

（2）∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFD＝180°﹣∠E，

又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，

∴∠CFD＝∠E＝55°，

又∵∠E＝∠C＝55°，

∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；

21.（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在直线BC上方的抛物线上有一动点Q，问：△BCQ的最大面积是多少？此时点Q的坐标是多少？

（3）若在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线解析式得：，

解得，

故抛物线的解析式为；

（2）令，解得x＝﹣1或4，

故B（4，0），

由B、C的坐标得：，

令，

∴x＝2时，h有最大值为3，此时Q的坐标为；

则S△BCQ＝＝6；

（3）∵∠DCB＝2∠ABC，

∴CD所在直线与CB所在直线关于y轴对称，

则，

联立，

解得：x1＝0（舍去），x2＝2，

∴则点D坐标为．

22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于，两点，点的坐标是，连结，．

求过，，三点的抛物线的函数表达式，并判断的形状．

动点从点出发，沿以每秒个单位的速度向点运动；同时，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，？

在抛物线的对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】直线与轴、轴相交于，两点，点，．
抛物线经过原点，可设抛物线的函数表达式为．
抛物线过点，，

解得
抛物线的函数表达式为．
点，，，
，，，
，
是直角三角形，且．
如解图，由题意，得，．

由可得，．
又，≌，
，，
，
即当时， 
存在．
，
抛物线的对称轴为直线．
设点．
若时，
，
，，
，，
若时，
，
，，
，，
若时，
，
，
，此时点恰好是线段的中点，构不成三角形，舍去，
点的坐标为：，，，

23.（12分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点

（1）判断△ABC的形状：　    　；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系；

（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．

证明如下：在⊙O中

∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角所对的圆周角，

∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形；

（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，

又∵∠APC＝60°，

∴△APD是等边三角形，

∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°．

又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，

∴∠ADC＝∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP＝CD，

又∵PD＝AP，

∴CP＝BP+AP；

（3）当点P为的中点时．

理由如下，如图2，垂足为E．

过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，

∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），

当点P为的中点时，PC为⊙O的直径，

∴此时四边形APBC的面积最大．

又∵⊙O的半径为1，

∴其内接正三角形的边长AB＝，

∴S四边形APBC＝×8×＝．