2020-2021学年3.3 幂函数导学案

这是一份2020-2021学年3.3 幂函数导学案，共1页。

1．理解幂函数的概念．
2．掌握y＝xα(α＝－1，eq \f(1,2)，1,2,3)的图象与性质．
3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．常见幂函数的图象与性质
温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
1．y＝2x2和y＝－eq \f(1,x)是幂函数吗？
[答案] 不是
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．( )
(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( )
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( )
(4)当α>0时，y＝xα是增函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一 幂函数的概念
【典例1】 (1)在函数①y＝eq \f(1,x)，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) 中，是幂函数的是( )
A．①②④⑤B．③④⑥
C．①②⑥D．①②④⑤⑥
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．
[思路导引] 紧扣幂函数的定义求解．
[解析] (1)幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－eq \f(1,2)的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C.
(2)∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．
[答案] (1)C (2)见解析
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[针对训练]
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝eq \r(x)B．y＝x eq \s\up15(eq \r(3))
C．y＝22xD．y＝x－1
[解析] 函数y＝22x＝4x不是幂函数，故选C.
[答案] C
2．若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝________.
[解析] 设f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3，
∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，
∴f(100)＝100 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝10.
[答案] 10
题型二 幂函数的图象与性质
【典例2】 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
[思路导引] 求出α，结合图象确定定义域和值域．
[解] 由f(2)＝eq \f(1,4)，得2α＝eq \f(1,4)，
解得α＝－2，所以f(x)＝x－2.
f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
[变式] (1)本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性．
(2)本例中点P变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，判断函数f(x)的奇偶性与单调性．
[解] (1)由f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)，
得f(x)是偶函数．
(2)由f(8)＝eq \f(1,2)，得8α＝eq \f(1,2)，解得α＝－eq \f(1,3)，所以f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．
解决幂函数图象问题应把握的2个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 或y＝x3)来判断．
[针对训练]
3．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2
B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2)
D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
[解析] 令x＝2，则22>2 eq \s\up15( eq \f (1,2)) >2 eq \s\up15(－eq \f (1,2)) >2－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2.故选B.
[答案] B
4．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
[解析] 在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0[答案] B
题型三 利用幂函数的性质比较大小
【典例3】 (1)比较下列各题中两个值的大小：
[思路导引] 构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)因为y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 在定义域[0，＋∞)上是增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2m≥0，,m＋1≥0，,3－2m>m＋1，))解得－1≤m故实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))).
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．
(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
[针对训练]
5．比较下列各组数的大小：
6．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ，若f(a＋1)[解析] ∵f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＝eq \f(1,\r(x))(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a<5，,a>3.))
∴3[答案] (3,5)
课堂归纳小结
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．
2．幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量
为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5xB．y＝x5
C．y＝5xD．y＝(x＋1)3
[解析] 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
[答案] B
2．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．a[解析] a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c[答案] A
3．函数y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) 的图象是( )
[解析] 由幂函数y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) 的性质知，图象过点(0,0)，(1,1)，故排除A，D.因为y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) 中0<α＝eq \f(1,3)<1，所以函数图象在第一象限内上凸递增，排除C.故选B.
[答案] B
4．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝________.
[解析] 设幂函数为y＝xα(α为常数)．
∵函数f(x)的图象过点(4,2)，∴2＝4α，
∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8))) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝eq \f(\r(2),4).
[答案] eq \f(\r(2),4)
5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．
[解] ∵幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1,2.
又y＝33m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，
∴3m－9是偶数．∴m＝1.
∴f(x)＝x－6.
课后作业(二十三)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
[解析] y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \r(3,x2)，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．
[答案] D
2．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (3,4)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (3,4)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2)) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>cB．c>a>b
C．ac>a
[解析] 构造幂函数y＝x eq \s\up15( eq \f (3,4)) ，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c＝2 eq \s\up15( eq \f (1,2)) >1，知aa>b.
[答案] B
3．函数y＝xeq \f(5,3)的图象大致是图中的( )
[解析] ∵函数y＝x eq \s\up15( eq \f (5,3)) 是奇函数，且α＝eq \f(5,3)>1，∴函数在R上单调递增．故选B.
[答案] B
4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )
A．m＝－2B．m＝－1
C．m＝－2或m＝－1D．－3≤m≤－1
[解析] 根据幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．
[答案] A
5．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
[解析] 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.
[答案] C
二、填空题
6．若y＝ax eq \s\up15(a2－eq \f(1,2)) 是幂函数，则该函数的值域是________．
[解析] 由已知y＝ax eq \s\up15(a2－eq \f(1,2)) 是幂函数，得a＝1，所以y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．
[答案] [0，＋∞)
7．函数y＝3xα－2的图象过定点________．
[解析] 依据幂函数y＝xα性质，x＝1时，y＝1恒成立，所以函数y＝3xα－2中，x＝1时，y＝1恒成立，即过定点(1,1)．
[答案] (1,1)
8．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的上方，则α的取值范围是________．
[解析] 由幂函数的图象特征知α>1.
[答案] (1，＋∞)
三、解答题
9．已知幂函数y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，试求出此函数的解析式，判断奇偶性．
[解] 设y＝xα(α∈R)，∵图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，
∴2α＝eq \f(\r(2),2)，α＝－eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) .
∵函数y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＝eq \f(1,\r(x))，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．
10．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2①是区间(0，＋∞)上的增函数；
②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
[解] 因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；
当m＝1时，f(x)＝x0条件①、②都不满足．
当m＝0时，f(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
综合运用
11．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0B．1
C．2D．3
[解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5<0(m∈N)，则m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不合题意．当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1，故选B.
[答案] B
12．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq \f(1,a)的图象可能是( )
[解析] 当a<0时，函数y＝ax－eq \f(1,a)是减函数，且在y轴上的截距－eq \f(1,a)>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A、D项均不正确．对于B、C项，若a>0则y＝ax－eq \f(1,a)是增函数，B项错，C项正确，故选C.
[答案] C
13.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nB．mC．n>m>0
D．m>n>0
[解析] 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m>2n，所以n[答案] A
14．已知函数f(x)＝x eq \s\up15(eq \f(1－α,3)) 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.
[解析] 取值验证．α＝1时，y＝x0，不满足；α＝2时，y＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x eq \s\up15(－eq \f(2,3)) 满足题意．
[答案] 3
15．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足(a＋1) eq \s\up15(－eq \f(m,3)) <(3－2a) eq \s\up15(－eq \f(m,3)) 的a的取值范围．
[解] ∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数．故m＝1.
∴有(a＋1) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) <(3－2a) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) .
又∵y＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a
或a＋1<0<3－2a.
解得eq \f(2,3)故a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))∪(－∞，－1)．