人教版新课标B必修11.1.1集合的概念第2课时学案设计

这是一份人教版新课标B必修11.1.1集合的概念第2课时学案设计，共10页。学案主要包含了用列举法表示集合，用描述法表示集合，集合表示方法的选择和转换等内容，欢迎下载使用。

第2课时　集合的表示方法
学习目标　1.掌握集合的两种表示方法2.了解集合的两种表示方法的适用情况，并能在两种表示法中作出选择和转换.3.掌握区间的概念及表示方法．

知识点一　列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；
(2)集合中的元素必须是明确的；
(3)集合中的元素不能重复；
(4)集合中的元素可以是任何事物．
思考　(1)a与{a}是相同的吗？(2){0}与∅是同一个集合吗？
答案　(1)它们完全不同，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．(2){0}是单元素集合，这个集合中只有一个元素0，而∅是空集，表示集合中什么元素也没有，所以它们是不同的集合．
知识点二　描述法
1．特征性质：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．
2．描述法：集合A用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}的形式．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
思考　不等式x－2<3的解集中的元素有什么特征？能用列举法表示吗？
答案　元素的共同特征为x∈R，且x<5.不能用列举法表示．
知识点三　区间的概念及其表示方法
1．设a，b是两个实数，且a 定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|a 开区间
(a，b)

{x|a≤x 半开半闭区间
[a，b)

{x|a 半开半闭区间
(a，b]


2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：
符号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
集合
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x
注意：(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．

1．集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合．(　√　)
2．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　√　)
3．集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)
4．集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．(　√　)
5．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(　×　)

一、用列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
解　(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1,0,1,2，
所以A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)因为2和3是方程的根，
所以M＝{2,3}．
(3)解方程组得
所以B＝{(3,2)}．
(4)因为15的正约数有1,3,5,15，
所以N＝{1,3,5,15}．
反思感悟　用列举法表示集合的方法
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用大括号括起来．
跟踪训练1　用列举法表示下列集合：
(1)方程＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于15的质数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合．
解　(1)方程＝0的实数根为2，
故其实数根组成的集合为{2}．
(2)不大于15的质数有2,3,5,7,11,13，故不大于15的质数集为{2,3,5,7,11,13}．
(3)由解得
故一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．
二、用描述法表示集合
例2　用描述法表示下列集合：
(1)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合；
(2)所有被3除余1的整数组成的集合；
(3)使y＝有意义的实数x组成的集合．
(4)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集．
解　(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．
(2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}．
(3)要使y＝有意义，
则x2＋x－6≠0.
由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.
所以使y＝有意义的实数x组成的集合为{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．
(4)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
反思感悟　利用描述法表示集合应注意三点
(1)写清楚该集合代表元素．例如，集合{(x，y)|x＝2，y＝3}写成{x，y|x＝2，y＝3}是错误的．
(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
跟踪训练2　用描述法表示下列集合
(1)坐标平面内第三象限的点组成的集合；
(2)大于4的所有偶数组成的集合．
解　(1)第三象限内的点的横、纵坐标均小于零，故此集合可表示为{(x，y)|x<0，y<0}．
(2)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
三、集合表示方法的选择和转换
例3　用适当的方法表示下列集合(能用区间表示的用区间表示)：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数组成的集合；
(3)不等式x－2>6的解组成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的实数组成的集合；
(5)方程组的解集．
解　(1){0，－1}．
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．
(3)(8，＋∞)．
(4)(0.5,6]．
(5)解集用描述法表示为，
解集用列举法表示为{(4，－1)}．
反思感悟　(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．
(2)方程(或方程组)的解的个数较少，解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示，能用区间表示的尽量用区间表示．
跟踪训练3　试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解　(1)方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10
讨论思想的应用
典例　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
解　①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，
解得x＝2，满足题意；
②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，
则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，
此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，
故实数k的值组成的集合为{0,1}．
延伸探究
1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．
2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．
解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，
则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
[素养提升]　(1)读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想，提升了逻辑推理的数学核心素养．

1．将集合A＝{x|1 A．(1,3) B．(1,3]
C．[1,3) D．[1,3]
答案　B
解析　集合A为左开右闭区间，可表示为(1,3]．
2．(多选)方程组的解集是(　　)
A．{x＝3，y＝0} B．{3}
C．{(3,0)} D.
答案　CD
解析　方程组解的形式是有序实数对，故可排除A，B.D是用的描述法，所以是正确的．
3．(多选)对于集合{(x，y)|y＝2x－1}的说法错误的是(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
答案　ABC
解析　集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，所以A，B，C的说法都不正确．
4．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
答案　D
解析　A中应是xy<0；B中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x，应为{x|x<5}；C中的“{　}”与“全体”意思重复．
5．集合A＝{x∈N|x－1≤2 019}中的元素个数为(　　)
A．2 018 B．2 019
C．2 020 D．2 021
答案　D
解析　因为集合A＝{x∈N|x－1≤2 019}＝{x∈N|x≤2 020}＝{0,1,2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.

1．知识清单：
(1)集合的两种表示方法：列举法、描述法．
(2)区间的应用．
2．方法归纳：分类讨论、转化与化归．
3．常见误区：
(1)不理解{}的意义．
(2)搞不清点集还是数集把元素写错．


1．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
答案　AC
解析　{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，<，所以∈{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
答案　C
解析　由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合．
3．将集合用列举法表示，正确的是(　　)
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
答案　B
解析　解方程组得
所以集合＝{(2,3)}．

4．已知集合A＝{1,2,3,4}，则集合B＝{y|y＝3x－2，x∈A}表示正确的是(　　)
A．B＝{3,6,9,12} B．B＝{1,2,3,4}
C．B＝{1,4,7,10} D．B＝{－2,1,4,7}
答案　C
5．集合用描述法可表示为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由3，，，，即，，，，从中发现规律，x＝，n∈N＋，
故可用描述法表示为.
6．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2 答案　(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]
7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
答案　{－1,4}
解析　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
8．集合A＝，B＝，用列举法表示A＝________，B＝________.
答案　{2,3,5,9}　{1,2,4,8}
解析　因为集合{x∈N|y＝，y∈N}，
故x－1为8的正约数，
即x－1的值可以为1,2,4,8，
所以x可以为2,3,5,9.
用列举法表示A＝{2,3,5,9}，y＝8,4,2,1，
所以B＝{1,2,4,8}．
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；
(2)方程＋|y－2|＝0的解集．
解　(1)由1,2,3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12,21,13,31,23,32，
用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}．
(2)由＋|y－2|＝0，
得所以
所以方程＋|y－2|＝0的解集用描述法可表示为.
10．设P，Q为两个非空实数集，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
解　当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得 a＋b的值分别为6,7,11.由集合中元素的互异性知 P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．

11．已知集合M＝，N＝，若x0∈M，则以下说法正确的(　　)
A．x0∈N B．x0∉N
C．x0∈N或x0∉N D．M＝N
答案　A
解析　M＝，N＝，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N.
12．已知x，y为非零实数，则集合M＝
为(　　)
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
答案　C
解析　当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
13．若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
答案　2
解析　由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为2，即{x|x2－4x－a}＝{2}，则其所有元素之和为2.
14．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}只含有一个元素，则实数a的值是________．
答案　4
解析　当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，
当a≠0时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0有两个相等的实数解，
则需Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝4.

15.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(　　)

A．{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}
D．{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}
答案　B
解析　由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，
∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合．
16．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N＋，b∈N＋}中的元素有多少个？
解　若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6,6)，这时有2×5＋1＝11(个)；
若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．
所以共有11＋4＝15(个)．