人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后复习题

人教版高中数学选择性必修第一册

《圆与直线、圆的位置关系》精选练习

一              、选择题

1.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=(　 　)

A.2　        B.8           C.4           D.10

【答案解析】答案为：C；

解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，

将点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的坐标代入得方程组

解得

所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20=0，即(x－1)2＋(y＋2)2=25，

所以|MN|=2=4.

2.若直线x＋my=2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1=0相交，则实数m的取值范围为(　 　)

A.(－∞，＋∞)           B.(－∞，0)

C.(0，＋∞)              D.(－∞，0)∪(0，＋∞)

【答案解析】答案为：D；

解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2=1，圆心C(1,1)，半径r=1.因为直线与圆相交，

所以d=＜r=1.解得m＞0或m＜0，故选D.

3.若直线l：y=kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3=0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2=3的位置关系是(　　)

A．相交          B．相切          C．相离          D．不确定

【答案解析】答案为：A.

解析：因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2=2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为，

因为直线l与圆C相切．所以=，解得k=±1，因为k＜0，所以k=－1，

所以直线l的方程为x＋y－1=0.圆心D(2，0)到直线l的距离d==＜，

所以直线l与圆D相交．

4.直线l：x－y＋m=0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1=0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．[－，]　　　              B．[－2，2]

C．[－－1，－1]              D．[－2－1，2－1]

【答案解析】答案为：D.

解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2=4，圆心为(2，1)，半径为2，

圆心到直线的距离d==，若直线l与圆C恒有公共点，

则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.

5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为(　　)

A.x+y-3=0                         B.x+y-1=0        C.x-y+5=0                        D.x-y-5=0

【答案解析】答案为：C；

6.已知直线ax＋by＋c=0(abc≠0)与圆x2＋y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是(　　)

A.锐角三角形           B.直角三角形    C.钝角三角形           D.不存在

【答案解析】答案为：B；|c|=⇒c2=a2＋b2，故为直角三角形.

7.过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.(0,]                                    B.(0,]                        C.[0,]                     D.[0,]

【答案解析】答案为：D；

8.从点P(a,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长的最小值是（    ）.

A.4                                        B.                                      C.5                                        D.5.5

【答案解析】答案：B.

9.已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y=2k与圆x2＋y2=k2－2k＋3公共点，则ab最大值为(　 　)

A.15　　　　B.9  C.1　　　　D.－

【答案解析】答案为：B；

解析：由题意得，原点到直线x＋y=2k的距离d=

≤，且k2－2k＋3＞0，解得－3≤k≤1，

因为2ab=(a＋b)2－(a2＋b2)=4k2－(k2－2k＋3)=3k2＋2k－3，

所以当k=－3时，ab取得最大值9，故选B.

10.曲线x2＋(y－1)2=1(x≤0)上的点到直线x－y－1=0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　　)

A.             B．2           C.＋1          D．－1

【答案解析】答案为：C.

解析：因为圆心(0，1)到直线x－y－1=0的距离为=＞1，

所以半圆x2＋(y－1)2=1(x≤0)到直线x－y－1=0的距离的最大值为＋1，

最小值为点(0，0)到直线x－y－1=0的距离为，

所以a－b=＋1－=＋1，故选C.

11.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2=5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为(　　)

A.             B．            C.            D．

【答案解析】答案为：A.

解析：显然点Q(2a，a＋2)是直线x－2y＋4=0上的点，圆心C(2，0)，半径为，

圆心C到直线x－2y＋4=0的距离为d==，

所以PQ长度的最小值为－=.

12.已知直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，则a＋b＋ab的最大值为(　　)

A．1                B．－1           C.＋            D．1＋

【答案解析】答案为：C.

解析：因为直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，所以=1，即a2＋b2=1，

令a=cos θ，b=sin θ(θ是参数)，即a＋b＋ab=cos θ＋sin θ＋cos θsin θ，

令cos θ＋sin θ=t(－≤t≤)，

则cos θsin θ=，即a＋b＋ab=，由二次函数的性质可知，

当t=时，a＋b＋ab的最大值为＋.

二              、填空题

13.已知直线l：x＋my－3=0与圆C：x2＋y2=4相切，则m=________．

【答案解析】答案为：±；

解析：因为圆C：x2＋y2=4的圆心为(0，0)，半径为2，

直线l：x＋my－3=0与圆C：x2＋y2=4相切，

所以2=，解得m=±.

14.P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12=0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是______________.

【答案解析】答案为：x＋y－3=0；解析：过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，

则可得直线方程为x＋y－3=0.

15.已知m＞0，n＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2=0与圆(x－1)2＋(y－1)2=1相切，则m＋n的取值范围是               .

【答案解析】答案为：[2＋2，＋∞)；

解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2=0与圆(x－1)2＋(y－1)2=1相切，

所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，

所以=1，即|m＋n|=.

两边平方并整理得mn=m＋n＋1.

由基本不等式mn≤2可得m＋n＋1≤2，

即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2.当且仅当m=n时等号成立.

16.已知点P(－2，－3)，圆C：(x－4)2＋(y－2)2=9，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，则过P、A、B三点的圆的方程为________．

【答案解析】答案为：(x－1)2＋=；

解析：易知圆C的圆心为C(4，2)，连接AC、BC，由题意知PA⊥AC，PB⊥BC，

所以P，A，B，C四点共圆，连接PC，则所求圆的圆心O′为PC的中点，

所以O′，所以所求圆的半径r′= =.

所以过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)2＋=.

三              、解答题

17.已知圆C：x2＋y2-4x-6y＋12=0，求：

(1)圆C的半径；

(2)若直线y=kx＋2与圆C有两个不同的交点，求k的取值范围．

【答案解析】解：(1)化为标准方程得(x-2)2＋(y-3)2=1，则圆C的半径为1.

(2)联立方程组，消y得(x-2)2＋(kx-1)2=1，化简得(k2＋1)x2-2(k＋2)x＋4=0，

则Δ=4(k＋2)2-16(k2＋1)＞0，化简得3k2-4k＜0，解得0＜k＜4/3.

18.点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1=0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1=0上，求|MN|的最大值.

【答案解析】解：

19.已知圆C：x2+y2+x﹣6y+m=0与直线l：x+2y﹣3=0.

(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；

(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值.

【答案解析】解：

20.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2=4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|=|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程.

【答案解析】解:以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

则O1(－2,0)，O2(2,0).由已知|PM|=|PN|，∴|PM|2=2|PN|2.

又∵两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1=2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，

则(x＋2)2＋y2－1=2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2=33.

∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2=33.

21.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1，0)．
(1)若l1与圆相切，求l1的方程；
(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N.

求证：AM•AN为定值．

【答案解析】解：

22.已知圆C经过点(2，4)，(1，3)，圆心C在直线x－y＋1=0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．

(1)求圆C的方程；

(2)(ⅰ)请问·是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；

(ⅱ)若·=12(O为坐标原点)，求直线l的方程．

【答案解析】解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，则依题意，

得解得

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2=1.

(2)(ⅰ)·为定值．过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2=7，

∴·=||·||cos 0°=|AT|2=7，

∴·为定值，且定值为7.

(ⅱ)依题意可知，直线l的方程为y=kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

将y=kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2=1并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7=0，

∴x1＋x2=，x1x2=，

∴·=x1x2＋y1y2=(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1=＋8=12 ，

即=4，解得k=1，又当k=1时Δ＞0，∴直线l的方程为y=x＋1.