广西防城港市3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

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广西防城港市3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03 解答题

三、解答题
55．（2022·广西防城港·九年级期末）解方程
56．（2022·广西防城港·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．

57．（2022·广西防城港·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求上述方程根的判别式；
(2)若方程有实数根，求出取得最大整数值时该方程的两个根．
58．（2022·广西防城港·九年级期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点，，的坐标分别为，，，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：

(1)画出关于原点对称的；
(2)将绕着点顺时针旋转后得到，请画出，并求出线段在此旋转的过程中所扫过的面积．（结果保留）
59．（2022·广西防城港·九年级期末）红日中学落实国家的“双减政策”，实施“五育并举”，开设了围棋（A）、舞蹈（B）、书法（C）、武术（D）四门课外活动课程，学生会干部小美和小丽报名参加负责这四门课外活动课程宣传报道的志愿者工作．
(1)小美被随机分配到武术（D）这门课程做志愿者工作的概率为________；
(2)若小美主动申请不到围棋（A）这门课程做志愿者工作，并得到允许，请用树状图或列表的方法，求出小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的概率．
60．（2022·广西防城港·九年级期末）如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点．

(1)求证：与相切；
(2)求出与的数量关系，并说明理由．
61．（2022·广西防城港·九年级期末）跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为0.8米，身高为1.5米的小红站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果小明站在之间，且离点的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高是多少？
(3)已知同学们一起在之间跳长绳时，只要绳子甩到最高处时高度不小于他们的身高，且同学之间同方向站立时脚跟之间距离超过0.65米就可以一起玩，结合函数图象的性质，现在有10名同是身高1.5米的同学想一起玩跳绳，请问可以吗？
62．（2022·广西防城港·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点的坐标为．

(1)请直接写出的值和点，点的坐标；
(2)如图，点为的中点，若抛物线上的点在第一象限，过点作轴，垂足为，与，分别交于点，，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若直线与抛物线交于，两点，且有一个交点在第一象限，其中，若且，结合函数图象，探究的取值范围．
63．（2021·广西防城港·九年级期末）解方程：x2﹣1＝3（x+1）．
64．（2021·广西防城港·九年级期末）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．截面圆的直径为200cm，若油面的宽AB＝160cm，求油槽中油的最大深度．

65．（2021·广西防城港·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣1），B（﹣4，﹣4），C（﹣1，﹣3）．

（1）把△ABC向右平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（　 　，　 　）成中心对称．
66．（2021·广西防城港·九年级期末）已知关于x方程x2+ax+a﹣5＝0．
（1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
67．（2021·广西防城港·九年级期末）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
68．（2021·广西防城港·九年级期末）某商店将标价为100元/台的品牌学习机在网上直播间销售，两次降价后，价格为81元/台，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该品牌学习机每次降价的百分率；
（2）从第二次降价后的第1天算起，第x天的销量及网上直播间销售支出劳务费用的相关信息如表所示：
时间（天）
x
销量（台）
150﹣x
网上直播间售支出劳务费用（元）
3x2﹣50x+600

已知该品牌学习机的进价为61元/台，设销售该品牌学习机第x（天）的利润为y（元），求y与x之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
69．（2021·广西防城港·九年级期末）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点M，

（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．
70．（2021·广西防城港·九年级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，5）和（2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）求出点A，B，C的坐标；
（3）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
71．（2020·广西防城港·九年级期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；       
（2）x（x+1）＝0．
72．（2020·广西防城港·九年级期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（1，﹣4）,B（5，﹣4），C（4，﹣1）．

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1 的坐标；
（2）作出△ABC绕着点A逆时针方向旋转90°后得到的△AB2C2．
73．（2020·广西防城港·九年级期末）如图，已知二次函数的图象与轴，轴分别交于A 三点，A在B的左侧，请求出以下几个问题：

（1）求点A的坐标；
（2）求函数图象的对称轴；
（3）直接写出函数值时，自变量x的取值范围．
74．（2020·广西防城港·九年级期末）某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）a的值为 ；
（2）求C等级对应扇形的圆心角的度数；
（3）获得A等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．
75．（2020·广西防城港·九年级期末）如图,已知∠BAC=30°,把△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置,使得点D，A，C在同一直线上．

（1）△ABC旋转了多少度?
（2）连接CE，试判断△AEC的形状；
（3）求 ∠AEC的度数．
76．（2020·广西防城港·九年级期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克25元，连续两次涨价后每千克水果现在的价格为36元．
（1）若每次涨价的百分率相同．求每次涨价的百分率；
（2）若进价不变，按现价售出，每千克可获利15元，但该水果出现滞销，商场决定降价m元出售，同时把降价的幅度m控制在的范围，经市场调查发现，每天销售量 （千克）与降价的幅度m（元）成正比例，且当时，． 求与 m的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若商场每天销售该水果盈利元，为确保每天盈利最大，该水果每千克应降价多少元？
77．（2020·广西防城港·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C = 90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接OD，点E在BC上， B E=DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=6，求线段DE的长；
（3）若∠B=30°,AB =8,求阴影部分的面积（结果保留）．
78．（2020·广西防城港·九年级期末）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上一动点（异于点A，C），过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE与AC相交于点D，连接AP．

（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）①求直线AC的解析式；
②是否存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案：
55．
【分析】根据提公因式法进行求解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
56．见解析
【分析】根据AB＝CD得到，推出，得到，由此得到结论．
【详解】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴,
即，
∴，
∴CE＝BE．
【点睛】此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出是解题的关键．
57．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，将相应的值代入方程根的判别公式中，即可得到方程根的判别式．
（2）由题意，，解不等式，即可得到最大整数值，代入即可求得该方程的解．
(1)
解：

；
(2)
依题意，.
∴，取得最大整数值
当时，方程为
解这个方程得．
【点睛】本题考察了一元二次方程根的判别，以及对根的判别的进一步应用；关键在于对根判别情况的灵活掌握．
58．(1)见解析
(2)图见解析，

【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点O对称的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）将点A、C分别绕点B顺时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可，然后根据扇形面积公式进行计算即可；
（1）
如图所示.

（2）
如图所示.
线段在此旋转的过程中所扫过的面积：.
【点睛】本题考查了画中心对称图形，旋转图形，扇形面积公式，理解题意，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键．
59．(1)
(2)

【分析】（1）由题意根据共有四门课外活动课程，而选择其中一门课程的概率为；
（2）根据题意画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的结果数，然后根据概率公式求解即可.
(1)
解：由题意可得共有四门课外活动课程，
所以小美被随机分配到武术（D）这门课程做志愿者工作的概率为，
故答案为：；
(2)
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的结果有3种．
∴ .
所以小美和小丽被分配到相同的课外活动课程做志愿者工作的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
60．(1)见解析
(2)，证明见解析

【分析】（1）连接，在中，，是斜边上的中线，可得，，又，得，，
证得，又得，得出结论；
（2）利用等腰三角形的三线合一，证得，证明是的中位线，得到结论．
(1)
证明：连接，

∵ 在中，，是斜边上的中线
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∴
又∵
∴
又∵是的半径
∴与相切．
(2)
证明：
理由：∵为的直径，
∴
又∵，
∴△ADC是等腰三角形
∴
又∵
∴是的中位线
∴
【点睛】本题以圆为载体考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，中位线定理等知识点，属于简单的综合题，关键在于熟练掌握相关定理的内容．
61．(1)
(2)小明的身高是1.7米
(3)这10位同学可以一起玩跳绳

【分析】（1）由题意，把点，代入得方程组，解得，的值，即得抛物线的表达式；
（2）把代入，解得的值，即可求得小明的身高；
（3）依题意，当时，， 解得，由，，得到，可得这10位同学可以一起玩跳绳．
(1)
（1）由题意，把点，代入得，
，
解得 ，
∴所求的抛物线的解析式是；
(2)
解：把代入，
得：.
（米），
∴小明的身高是1.7米.
(3)
解：依题意，当时，，
解得
∵，
∴.
∴这10位同学可以一起玩跳绳．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质，要注意数形结合，读懂题意是解答此类问题的关键．
62．(1)，，；
(2)存在，；
(3)．

【分析】（1）把点的坐标代入，解得的值，得到抛物线的解析式为，再令，，分别求得点B、
点C的坐标；
（2）先求出点D的坐标，再利用待定系数分别求出直线BC、BD的表达式，设点的坐标是，表示出PE、EF、FH的长度，再利用列方程，即可；
（3）时，，即随的增大而增大，则，当，得直线经过点，即点与点重合，如图2所示，点在第一象限，当，即，当时，，此时，由图2可知,当时，，即得的取值范围．
(1)
解：把点的坐标代入得，

解得，
∴抛物线的解析式为
当时，，
解得，
∴点B的坐标为，
当时，，
所以点C的坐标是
所以，点B的坐标为，点C的坐标是；
(2)
解：如图1，
                    
由得二次函数解析式为
是的中点，
∴点的坐标是
设直线的解析式为，
把，两点坐标代入得到

解得
∴直线的解析式为
∴同理由， 两点坐标可以求出直线的解析式为，
设点的坐标是，则，，
∴，
，

∴，
解得（），
当时，，
∴点的坐标为
(3)
解：如图2，

当时，，即随的增大而增大，
∴，
当时，，
∴直线经过点，即点与点重合，
如图2所示，点在第一象限，当，即，
当时，，此时，
由图2可知,当时，
∴的取值范围为
【点睛】本题是二次函数与几何图形综合题，考查了二次函数图像与性质，存在性问题，图像法解不等式等知识点，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
63．
【分析】把方程整理为再利用因式分解把方程化为：从而可得答案．
【详解】解：
整理得：

或

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
64．油槽中油的最大深度为
【分析】过作于 交于 则 由 结合勾股定理求解 从而可得答案．
【详解】解：过作于 交于
则
截面圆的直径为200cm，油面的宽AB＝160cm，




所以油槽中油的最大深度为
【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用，掌握利用垂径定理解决油槽深度问题是解题的关键．
65．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）
【分析】（1）分别确定向右平移4个单位后的对应点 再顺次连接即可得到答案；
（2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点 再顺次连接即可得到答案；
（3）连接与的交点坐标为 结合图形特点可得答案．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，
（2）如图，△A2B2C2，即为所求作的三角形，

（3）连接与的交点坐标为
所以△A1B1C1与△A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：
【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，确定对称中心，掌握以上知识是解题的关键．
66．（1），另一根是；（2）见详解．
【分析】（1）将方程的根代入可求得a的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；
（2）用a表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论．
【详解】解：将x=3代入方程x2+ax+a-5=0可得：
9+3a+a5=0，
解得：a=1；
∴方程为，设另一根为x，
则3×x=6，解得x=2，
即方程的另一根为2；
（2）证明：
∵△=，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键，即①△＜0⇔一元二次方程无实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＞0⇔一元二次方程有两个相等的实数根．
67．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为，
故答案为：
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，
画树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能，
所以：两名同学均来自八年级的概率
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．
68．（1）10%；（2）y=，第5天销售利润最大，最大利润是2475元．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；
（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设该品牌学习机每次降价的百分率为x，根据题意得

解得，，（舍去）
答：该品牌学习机每次降价的百分率为10%；
（2）结合表格数据，根据题意得，

=
=
=
=
∴当x=5时，y有最大值，最大值是2475
答：第5天销售利润最大，最大利润是2475元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
69．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）过作于 由正方形ABCD，可得 证明 再证明 从而可得结论；
（2）正方形ABCD，可得 求解 再证明 求解 利用 列方程，解方程可得答案．
【详解】解：（1）过作于
正方形ABCD，


是的切线，


为的半径，
BC与⊙O相切；
（2） 正方形ABCD，


设的半径为






【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，二次根式的运算，掌握以上知识是解题的关键．
70．（1）；（2）；（3）的坐标为：的坐标为：
【分析】（1）把（﹣2，5）和（2，﹣3）代入，列方程组，解方程组可得答案；
（2）令 则 求解 令 则 解方程求解的坐标即可得到答案；
（3）先证明 是腰长为的等腰直角三角形，如图，过作于，与抛物线的另一个交点为 当时，有 再求解的对称轴为： 的横坐标为 从而可得的坐标，同理可得： 从而可得答案．
【详解】解：（1） 抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，5）和（2，﹣3），

整理得：
解得：
抛物线的解析式为：
（2）令 则

令 则

或


（3）

为等要直角三角形，

如图，过作于，与抛物线的另一个交点为

当时，

的对称轴为：
的横坐标为



同理可得：
综上：的坐标为：的坐标为：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，求解二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形全等的判定与性质，分类讨论思想的运用，掌握以上知识是解题的关键．
71．（1）；（2）
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根据因式分解的性质，直接得到答案即可．
【详解】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0


；
（2）

．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
72．（1）图详见解析，C1（4，1）；（2）图详见解析
【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标，确定对称点的坐标，描点连线成图即可；
（2）根据旋转的性质确定B2，C2的位置再连接,B2，C2．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所求，C1（4，1）

（2）如图，△AB2C2为所求，

【点睛】此题考查旋转—作图，点的对称，掌握旋转图形的性质是解题的关键．
73．（1）A()  B()；（2）x；（3）．
【分析】（1）令则，解方程即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式代入计算即可；
（3）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．
【详解】解：（1）令则，解得
∴A()  B()；
（2）
∴对称轴为；
（3）∵，
∴图像位于x轴下方，
∴x取值范围为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，对称轴求法，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．
74．（1）8 ；（2）；（3）
【分析】（1）根据D等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B等级的百分比即可得a的值；
（2）用C等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数；
（3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可
【详解】解：（1）班级总人数为 人，B等级的人数为 人，故a的值为8；
（2）
∴C等级对应扇形的圆心角的度数为．
（3）画树状图如图：(画图正确）
由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．
∴P（一男一女）

答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率为．也考查了统计图．
75．（1）150°；（2）详见解析；（3）15°
【分析】（1）根据旋转的性质，利用补角性质即可解题；
（2）根据旋转后的对应边相等即可解题；
（3）利用外角性质即可解题．
【详解】解：（1）∵点D，A，C在同一直线上，
∴∠BAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°，
∴△ABC旋转了150°；
（2）根据旋转的性质，可知AC=AE，
∴△AEC是等腰三角形；
（3）根据旋转的性质可知，∠CAE=∠BAD=150°，AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-∠CAE）÷2=（180°-150°）÷2=15°．
【点睛】本题考查了旋转变换的性质，理解旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度的概念、掌握旋转变换的性质是解题的关键．
76．（1）20%；（2）（3）商场为了每天盈利最大，每千克应降价7元
【分析】（1）设每次涨价的百分率为x，根据题意列出方程即可；
（2）根据题意列出函数表达式即可；
（3）根据等量关系列出函数解析式，然后根据解析式的性质，求出最值即可．
【详解】解：（1）设每次涨价的百分率为x，根据题意得：25（1+x）2＝36，
解得：（不合题意舍去）
答：每次涨价的百分率20%；
（2）设，
把，代入得，
∴k=30，
∴y与m的函数解析式为；
（3）依题有，
∵抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，w随m的增大而增大，又，
∴当时，每天盈利最大，
答：商场为了每天盈利最大，每千克应降价7元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意得出等量关系是解题关键．
77．（1）详见解析；（2）3；（3）
【分析】（1）根据OA=OD，BE=DE，得∠A=∠1，∠B=∠2，根据∠ACB=90°，即可得∠1+∠2=90°，即可得OD⊥DE，从而可证明结论；
（2）连接CD，根据现有条件推出CE是⊙O的切线，再结合DE是⊙O的切线，推出DE＝CE又BE=DE，即可得出DE；
（3）过O作OG⊥AD，垂足为G，根据已知条件推出AD，AG和OG的值，再根据，即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵OA=OD，BE=DE，

∴∠A=∠1，∠B=∠2，
∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ODE=180°-(∠1+∠2)=90°，
∴OD⊥DE，又OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，则∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，又AC为⊙O的直径，
∴CE是⊙O的切线，又DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE又BE=DE，
∴DE＝CE=BE＝；
（3）过O作OG⊥AD，垂足为G，则，
∵Rt△ABC中，∠B=30°，AB=8，
∴AC=，∠Ａ=60°（又OA=OD)，
∴∠COD=120°，△AOD为等边三角形，
∴AD=AO=OD=2，
∴，
∴OG，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，三角函数和等边三角形的性质，掌握知识点是解题关键．
78．（1）(0,3)；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）①；②当点P的坐标为（1，4）时，△PAD的面积等于△DAE的面积．
【分析】（1）将代入二次函数解析式即可得点C的坐标；
（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3即可得出抛物线的解析式；
（3）①设直线直线AC的解析式为，把A（3，0），C代入即可得直线AC的解析式；
②存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积；设点P（x，﹣x2+2x+3）则点D（x，﹣x+3），可得PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，根据Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE时，即可得PD=DE，即可得出结论．
【详解】解：（1）由y＝ax2+bx+3，令
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（3）①设直线直线AC的解析式为，
把A（3，0），C代入得
，
解得，
∴直线AC的解析式为；
②存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积，理由如下：
设点P（x，﹣x2+2x+3）则点D（x，﹣x+3），
∴PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，
当Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE时，有，得PD=DE，
∴﹣x2+3x=﹣x+3解得x1=1，x2=3（舍去），
∴y＝﹣x2+2x+3=﹣12+2+3=4，
∴当点P的坐标为（1，4）时，△PAD的面积等于△DAE的面积．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数的综合，掌握知识点是解题关键．