广西崇左市3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编 1解答题

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广西崇左市3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03 解答题
三、解答题
55．（2022·广西崇左·九年级期末）计算：2sin245°-6cos30°+ 3tan45°+4sin60°
56．（2022·广西崇左·九年级期末）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．

(1)以点为位似中心，将放大得到，放大前后的相似比为，画出，使它与在位似中心同侧，并写出的坐标；
(2)写出的值．
57．（2022·广西崇左·九年级期末）如图，点是平行四边形边上一点，连接并延长交延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，求的值．
58．（2022·广西崇左·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数(k≠0)的图象交于C，D两点，点C的坐标为(n，6)．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）连接OC，OD，求COD的面积．

59．（2022·广西崇左·九年级期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从建筑物底端点出发，沿斜坡行走26米至坡顶处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，求建筑物的高度（参考数据：，结果精确到0.1）．

60．（2022·广西崇左·九年级期末）2021年随着神舟十二号飞船搭载“太空出差三人组”成功返回地球，航天模型、航天玩具引起青少年的追捧．某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售神舟飞船纪念章，已知神舟飞船纪念章的成本价格为8元/枚，经销售发现：每日销售量（枚）与销售单价（元/枚）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据．销售单价不低于成本价且不高于20元枚．设公司销售神舟飞船纪念章的日获利为（元）．
（元/枚）
9
10
11
（枚）
2100
2000
1900

(1)请求出日销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大？最大利润为多少元？
61．（2022·广西崇左·九年级期末）如图，在等腰直角中，，是的平分线，，、分别在、的延长线上，与交于点，与交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
62．（2022·广西崇左·九年级期末）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)连结，求的值；
(3)若点线段上，与相似，请直接写出点的坐标．
63．（2021·广西崇左·九年级期末）计算
64．（2021·广西崇左·九年级期末）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，且点的横坐标为4，若的坐标为，连接．

求：（1）反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）求的面积．
65．（2021·广西崇左·九年级期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，与是关于点为位似中心的位似图形．

（1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；
（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2∶1，并写出点B的对应点的坐标．
66．（2021·广西崇左·九年级期末）如图，已知在△ABC中，点D是BC边上一点，DA⊥AB，AC=12，BD=7，CD=9．
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）求tan∠CAD的值．

67．（2021·广西崇左·九年级期末）已知：如图，斜坡的坡度为1∶2.4，坡长为260米，在坡顶A处的同一水平面有一座古塔，在斜坡底P处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶A处测得该塔的塔顶的仰角为．

求：（1）坡顶到地面的距离；
（2）古塔的高度（结果精确到1米）．
（参考数据）
68．（2021·广西崇左·九年级期末）某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，经销商花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等．销售中发现A型汽车的每周销量（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式，B型汽车的每周销量（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式．
（1）求A，B两种型号的汽车的进货单价；
（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A，B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
69．（2021·广西崇左·九年级期末）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．

（1）求证： ∽ ；
（2）若∠BAC＝60°，BC＝，求DE的长．
70．（2021·广西崇左·九年级期末）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，AC∥x轴．
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)求tan∠ABC的值.
(3)若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．

71．（2020·广西崇左·九年级期末）
72．（2020·广西崇左·九年级期末）如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

73．（2020·广西崇左·九年级期末）如图，已知是原点，两点的坐标分别为，.

（1）以点为位似中心，在轴的左侧将扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形，并写出点的对应点的坐标；
（2）如果内部一点的坐标为，写出点的对应点的坐标.
74．（2020·广西崇左·九年级期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，，M为BC上一点，AM交DE于N.
(1)若AE＝4，求EC的长；
(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．

75．（2020·广西崇左·九年级期末）如图，一艘渔船位于小岛Ｍ的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．

（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）：
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：）
76．（2020·广西崇左·九年级期末）某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元，在销售过程中发现，月销售量(件)与销售单价(万元)之间存在着如图所示的一次函数关系
（1）求关于的函数关系式．
（2）试写出该公司销售该种产品的月获利(万元)关于销售单价(万元)的函数关系式，当销售单价为何值时，月获利最大?并求这个最大值．(月获利＝月销售额一月销售产品总进价一月总开支)

77．（2020·广西崇左·九年级期末）如图，在△中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，设运动时间为秒
（1）当为何值时，．
（2）当为何值时，∥．
（3）△能否与△相似？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

78．（2020·广西崇左·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，并且，动点在过三点的拋物线上．

（1）求抛物线的解析式．
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于点，交抛物线于点，求当线段的长有最大值时的坐标．并求出最大值是多少．
（3）在轴上是否存在点，使得△是等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

55．
【分析】直接代入特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：原式=

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数的计算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．
56．(1)图见解析，
(2)

【分析】（1）利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置进而求出即可；
（2）证明是等腰直角三角形即可．
（1）
如图所示：即为所求，

点C1的坐标是（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2）
在中，，
∴
∴是等腰直角三角
∴
【点睛】此题主要考查了位似变换以及三角形函数中余弦的求法，证明是等腰直角三角形是解题关键．
57．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）利用平行四边形的性质即可证明所求三角形相似；
（2）根据，可知，根据形似三角形中相似三角形的面积比等于边长比的平方，即可求出相似三角形的面积比．
（1）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
58．（1）；（2）D(-3，-2)；（3）8
【分析】（1）利用一次函数解析式求得点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）用一次函数和反比例函数解析式联立方程组，解方程组即可；
（3）用求解即可．
【详解】解（1）∵点C（n，6）在一次函数y=2x+4的图象上，
∴6=2n+4，解得，n=1，
∴点C坐标为(1，6).
把点C坐标(1，6)代入，得k=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把两个函数解析式联立得，，解得＝-3，(舍去)
当x=-3时，y=2×(-3)+4=-2，
∴点D的坐标是(-3，-2)
（3）一次函数y=2x+4的图象与y轴交点坐标为（0，4）上，


=
=8
COD的面积为8．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，解题关键是根据一次函数解析式求出点的坐标，利用点的坐标解决问题．
59．51.6米
【分析】过点C作于点，作于点，然后根据斜坡的坡度，和勾股定理解得，再根据矩形得，，最后根据解得，最终解得答案米．
【详解】解：如下图，作于点，作于点．

在中，米，，
∴米，米．
∵由题意可得四边形是矩形，
∴米，米，
在中，，．
∴米，
∴米
故答案为51.6米．
【点睛】此题考察的知识点为：坡度的概念、解直角三角形、勾股定理；过C点分别作BD、AB的垂线是本题的解题关键．
60．(1)
(2)当销售单价定为19元时，销售这种神舟飞船纪念章日获利最大，最大利润为12100元

【分析】（1）设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可．
（2）由题意列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：设与之间的函数关系式为，
把，和，代入得：
，解得
∴
故答案为：
(2)
由题意得：

∵，对称轴为直线
∴当时，有最大值为12100元
∵
∴当销售单价定为19元时，销售这种神舟飞船纪念章日获利最大，最大利润为12100元．
故答案为：当销售单价定为19元时，销售这种神舟飞船纪念章日获利最大，最大利润为12100元．
【点睛】本题考查了一次函数关系式，二次函数的性质，解题的关键是用待定系数法求一次函数关系式以及用二次函数的性质求最大利润．
61．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）过点作于，可得，再由可得CE=2，再证得，可得，然后由勾股定理，即可求解．
(1)
证明：在等腰直角中，，是的平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠FCM=∠ECN=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：如图，过点作于，

∵，是的平分线，
∴，
∵，
∴∠CDG=∠DCG=45°，
∴CG=DG，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，，
由勾股定理得，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
62．(1)y=-x2+2x+3
(2)
(3)点H的坐标为(1，2)或(2，1)

【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求得顶点坐标D(1，4)和AD的长，利用三角函数求解即可；
（3）先证明△BOC是等腰直角三角形，再分△BOC△BFH和△BOC△BHF两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
(1)
解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y=-x2+2x+3；
(2)
解：连接AD，

∵y=-x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，
∵A(−1，0)，
∴DF=4，AF=1−(−1)=2，
∴在Rt△ADF中，AD==2，
∴sinA===．
(3)
解：令x=0，则y=-x2+2x+3=3，
∴C(0，3)，
∵B(3，0)，
∴BO=3， OC=3，BF=2，
∴△BOC是等腰直角三角形，且∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∵抛物线的对称轴与x轴相交于点F，
∴F (1，0)，
∴BF=2，
当△BOC△BFH时，

∴∠BOC=∠BFH=90°，∠FBH=45°，
∴FH=BF=2，
∴H (1，2)；
当△BOC△BHF时，

∴∠BOC=∠BHF=90°，∠FBH=45°，
过点H作HG⊥OB于点G，
∴FG=BG=FG=1，
∴H (2，1)；
综上，点H的坐标为(1，2)或(2，1)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键是根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式．
63．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果.
【详解】解：原式，
，
.
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
64．（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）将代入求出，得到，把点代入求出即可求解；
（2）联立方程组求出点的坐标，根据两点的横坐标，结合图像直接写出不等式的解集即可；
（3）因为的坐标为，，所以，求出点B到AC的距离，再根据三角形面积公式直接求解即可．
【详解】（1）由题意，把代入y=2x，得，
∴
把代入，解得，，
∴                                      
（2）解方程组得，

∴或
（3）， ，
，
点到AC的距离为，
∴.
【点睛】本题是一道反比例函数与一次函数的综合，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，利用图像求不等式的解集，及图像的交点问题，掌握待定系数法及用图像法求不等式的解集是解本题的关键．
65．（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
【分析】（1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系写出点P和的坐标；
（2）延长OA到，使，延长OB到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；
【详解】解：（1）位似中心P如图所示，；
（2）如图所示，；

【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键．
66．（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据三角形的边长，即可正确两个三角形的两边的比对应相等，而夹角相等，即可证得两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质可以证得：△ABD是直角三角形，根据三角函数的定义即可求解．
【详解】（1）∵BD=7，CD=9，
∴BC=16．
∵AC=12，
∴
，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA．
（2）∵△ACD∽△BCA，
∴∠CAD=∠B，．
∵DA⊥AB，
∴tanB==，
∴tan∠CAD=．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，正确证得两个三角形相似是关键．
67．（1）100米；（2）187米
【分析】（1）过点A作，垂足为点H，根据坡比，设米，米，则米，从而求出x的值，进而即可求解；
（2）延长交于点D，可得四边形是矩形，设米，可得米，在中，利用正切函数的定义，即可求解．
【详解】解：（1）过点A作，垂足为点H．
∵斜坡的坡度为1∶2.4，

∴
设米，米，则米，
∴，
解得：，         
∴米，米，
答：坡顶A到地面的距离为100米；
（2）延长交于点D，由题意得，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，    
∴米，，
在中， ，设米，则．
∴米，
在中，，则，
即，解得，
经检验a=187是方程的解．
答：古塔的高度为187米．
【点睛】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理，是解题的关键．
68．（1）A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元
（2）；A种型号的汽车售价为14万元/台， B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元
【分析】（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，B型汽车的进货单价为（m-2）万元，根据购买数量相同列方程即可；
（2）求出每辆汽车的利润，根据每周销售的台数列函数关系式，再依据二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，
依题意得：，
解得：，
检验：时，，
故是原分式方程的解， ．
答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；
（2）根据题意得：
  
∵，抛物线开口向下，∴当时，有最大值为32  
答：A种型号的汽车售价为14万元/台， B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元．
【点睛】本题考查了分式方程和二次函数的应用，解题关键是找出题目中的等量关系列方程和列函数关系式，依据函数性质求最值．
69．（1）见解析；（2）
【分析】（1）找出公共角即可求出相似
（2）根据得出一个比例式，再根据两边对应成比例且夹角相等得出，再结合的余弦值即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：是的高



（2）







又


【点睛】本题主要考察了相似三角形，三角函数等知识点，能找出根据第一个相似三角形的比例式来证第二个相似三角形是解题关键．
70．(1)；(2)；(3)E(4，1)或E(﹣3，1)．
【分析】(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得a、c的值即可；
(2)过点B作BH⊥AC交AC延长线于点H，过点C作CG⊥AB于点G，先证明△ABH和△ACG均为等腰直角三角形，再求出CG和BG的长，然后依据锐角三角函数的定义求解即可；
(3)过点D作DK⊥AC，垂足为K，先证明△DCK为等腰直角三角形，则∠DCK＝∠BAC，当或时，△CDE与△ABC相似，然后可求得CE的长．
【详解】解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(0，1)和点B(9，10)，
∴，解得．
∴这条抛物线的解析式为．
(2)过点B作BH⊥AC交AC延长线于点H，

∵AC∥x轴，A(0，1)，B(9，10)，∴H(9，1)，∴BH＝AH＝9．
又∵∠BHA＝90°，∴△HAB是等腰直角三角形，∴∠HAB＝45°．
∵AC∥x轴，A(0，1)，对称轴为直线，∴C(6，1).
过点C作CG⊥AB，垂足为点G，
∵∠GAC＝45°，∠AGC＝90°，∴，∴．
又∵在Rt△ABH中，，∴．
∴在Rt△BCG中，．
(3)如图2所示：过点D作DK⊥AC，垂足为K，

∵点D是抛物线的顶点，∴D(3，﹣2)．
∴K(3，1)，∴CK＝DK＝3．
又∵∠CKD＝90°，∴△CDK是等腰直角三角形，∴∠DCK＝45°
又∵∠BAC＝45°，
∴∠DCK＝∠BAC．
∴要使△CDE与△ABC相似，则点E在点C的左侧．
当时，则，∴EC＝2，∴E(4，1)；
当时，则，∴EC＝9，∴E(﹣3，1)．
综上所述，当△CDE与△ABC相似时，点E的坐标为(4，1)或(﹣3，1)．
【点睛】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义和相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键；添加适当辅助线、熟练求解相关点的坐标和线段的长是解（2）题的关键；正确分类、熟练运用相似三角形的判定和性质是解（3）题的关键.
71．
【分析】将特殊三角函数值代入进行计算即可得解．
【详解】
=
=
．
【点睛】此题考查了特殊角三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．
72．（1）， ；（2）或
【分析】（1）先把A（-4，2）代入求出m=-8，从而确定反比例函数的解析式为；再把B（n，-4）代入求出n=2，确定B点坐标为（2，-4），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值．
【详解】（1）把A（-4，2）代入得m=-4×2=-8，
∴反比例函数的解析式为；
把B（n，-4）代入得-4n=-8，解得n=2，
∴B点坐标为（2，-4），
把A（-4，2）、B（2，-4）分别代入y=kx+b得
，
解方程组得，
∴一次函数的解析式为y=-x-2；
（2）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式；求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标就是把两个图象的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．也考查了待定系数法以及观察函数图象的能力．
73．（1）如图，即为所求，见解析；点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为；（2）点的对应点的坐标为.
【分析】（1）延长BO，CO到B′、C′，使OB′、OC′的长度是OB、OC的2倍．顺次连接三点即可；
（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
【详解】（1）如图，即为所求，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为.

（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
【点睛】考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．
74．（1）2（2）8
【分析】（1）首先根据DE∥BC得到△ADE和△ABC相似，求出AC的长度，然后根据CE=AC－AE求出长度；（2）根据△ABC的面积求出△ABM的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADN的面积．
【详解】解:（1）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵AE=4  
∴AC=6  
∴EC=AC－AE=6－4=2
(2)∵△ABC的面积为36,点M为BC的中点
∴△ABM的面积为：36÷2=18
∵△ADN和△ABM的相似比为
∴
∴=8
考点： 相似三角形的判定与性质

75．（1）90海里；（2）7．4小时．
【分析】(1)过点M作MD⊥AB于点D，根据AM=180海里以及△AMD的三角函数求出MD的长度；(2)根据三角函数求出MB的长度，然后计算.
【详解】解： (1)过点M作MD⊥AB于点D，

∵∠AME=45°，
∴∠AMD=∠MAD=45°，
∵AM=180海里，
∴MD=AM•cos45°=90（海里），
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里；
(2)在Rt△DMB中，
∵∠BMF=60°，
∴∠DMB=30°，
∵MD=90海里，
∴MB=60海里，
∴60÷20≈7.4（小时），
答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．
考点：三角函数的实际应用

76．（1）；（2）当x=10万元时，最大月获利为7万元
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=单价利润×销售量-总开支”列出函数解析式，由二次函数的性质可得最值．
【详解】（1）设y=kx+b，
将点（6，5）、（8，4）代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）根据题意得：
z=（x-4）y-11
=（x-4）（-x+8）-11
=-x2+10x-43
=-（x-10）2+7，
∴当x=10万元时，最大月获利为7万元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质是解题的关键．
77．（1）秒；（2）秒；（3）能，秒或5秒
【分析】（1）分别用x表示出线段BP和CQ的长，根据其相等求得x的值即可；
（2）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
【详解】（1）依题意可得：BP=20-4x，CQ=3x
当BP=CQ时，20-4x=3x
∴（秒）
答：当秒时，BP=CQ
（2）AP=4x，AB=20，AQ=30-3x，AC=30
所以当时，有
即：
解得：x=（秒）
答：当x=秒时，；
（3）能．
①当△APQ∽△CQB时，有
即：
解得：x=（秒）
②当△APQ∽△CBQ时，有
即：
解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去）
答：当x=秒或x=5秒时，△APQ与△CQB相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比是解题的关键．
78．（1）；（2）存在，最大值为4，此时的坐标为；（3）存在，或或或
【分析】（1）先确定A（4，0），B（-1，0），再设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，易得直线AC的解析式为y=-x+4，设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），再用x表示出PD，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先计算出AC=4，再分类讨论：当QA=QC时，易得Q（0，0）；当CQ=CA时，利用点Q与点A关于y轴对称得到Q点坐标；当AQ=AC=4时可直接写出Q点的坐标．
【详解】（1）∵C（0，4），
∴OC=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=4，OB=1，
∴A（4，0），B（-1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），
即y=-x2+3x+4；
（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，

设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵A（4，0），C（0，4）
∴
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+4，
设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），
∴PD=-x2+3x+4-（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
当x=2时，PD有最大值，最大值为4，此时P点坐标为（2，6）；
（3）存在．
∵OA=OC=4，
∴AC=4，
∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；
当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（-4，0）；
当AQ=AC=4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4-4，0），
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（4+4，0）或（4-4，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．