广西西宁市3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份广西西宁市3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共37页。试卷主要包含了计算，解方程，小明想用描点法画抛物线等内容，欢迎下载使用。

广西南宁市3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
55．（2022·广西南宁·九年级期末）计算：
56．（2022·广西南宁·九年级期末）解方程：
57．（2022·广西南宁·九年级期末）小明想用描点法画抛物线．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线；

…
-1
0
1
2
3
4
…

…


0


-3
…


(2)当时，请观察函数图像，直接写出的取值范围．
58．（2022·广西南宁·九年级期末）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．现学校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级有2个为七年级班级，1个为八年级班级．
(1)选中八年级班级来展示为______事件；（填“不可能”、“必然”、“随机”）；
(2)由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校决定在两个班同时开展活动，请用树状图或列表法求选中的都是七年级班级的概率．
59．（2022·广西南宁·九年级期末）海鲜市场某销售商销售一种成本为6元/千克的海产品，市场调查反映，若按12元/千克销售，每天可售出200千克，如调整价格，销售价每降低1元，每天可多售出50千克．设每千克的售价为元，每天的销售量为千克．
(1)求与之间的关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天能获得最大利润？并求出最大利润．
60．（2022·广西南宁·九年级期末）我们学习利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三等分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，足够长的与垂直于点．

【任务目标】三等分（如图2）
【操作方法】如图3，
第一步：使三等分角器的经过的顶点；
第二步：调整三等分角器的位置，使点落在边上；
第三步：继续调整三等分角器的位置，使半圆与另一边相切，连接．则三等分．
【证明与应用】
(1)为了说明了上述方法的正确性，需要对其进行严谨的数学证明，请根据上述内容，补充已知条件并完成证明；
已知：如图3，是半圆的直径，点在直线上，且，______，______，连接，交圆于点，求证：；
(2)若，半圆的半径为3，求的长．
61．（2022·广西南宁·九年级期末）如图1，已知为的直径，为上一点，平分，于点，并与交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)如图2，为中点，连接，在（2）的条件下，求的长．
62．（2022·广西南宁·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点和，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，上点分别是上点平移后的对应点，若，求的值；
(3)若（2）中抛物线上有两点，当，时，均有，请直接写出的取值范围．
63．（2021·广西南宁·九年级期末）计算:．
64．（2021·广西南宁·九年级期末）解方程：
65．（2021·广西南宁·九年级期末）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以点O为原点建立平面直角坐标系．
（1）在图中画出向上平移6个单位后的;
（2）在图中画出绕点O逆时针旋转后的，并求出点C旋转到点所经过的路径长（结果保留）．

66．（2021·广西南宁·九年级期末）不透明袋子中有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若从袋子中随机取出1个球，请通过计算比较，取出哪种颜色球的概率较大;
（2）若从袋子中同时随机取出2个球，请用列表法或画树状图法，求取出的球恰好为一个红球一个绿球的概率．
67．（2021·广西南宁·九年级期末）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．

68．（2021·广西南宁·九年级期末）2020年是南宁市作为垃圾分类重点城市建设的攻坚年，我市某商场计划销售A，B两种型号的户外垃圾桶，若商场购进2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶需用170元，若购进3个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶需用150元，当A型垃圾桶每个售价为50元时，可销售500个，若售价每提高1元，则销售量减少10个．
（1）A型垃圾桶与B型垃圾桶每个进价各为多少元?
（2）商场要想在A型垃圾桶销售中获得8000元利润，A型垃圾桶每个售价应定为多少元?
（3）在（2）的条件下，若B型垃圾桶的销量m（个）与售价n（元）之间的关系式为，则当B型垃圾桶的售价为多少元时，A､B两种垃圾桶的销售总利润最大?
69．（2021·广西南宁·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式;
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线BC于点E，若，求点P的坐标;
（3）点M是抛物线上一动点，若满足不大于，求点M的横坐标m的取值范围．

70．（2021·广西南宁·九年级期末）如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交 BA的延长线于点P，AD平分．
（1）如图1，若AC是的直径，求证：PD与相切;
（2）在（1）的条件下，若，求线段BC的长;
（3）如图2，若，求的最大值．

71．（2020·广西南宁·九年级期末）计算：．
72．（2020·广西南宁·九年级期末）解方程x2﹣4x+1=0．
73．（2020·广西南宁·九年级期末）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为个单位中, , 且三点均在格点上．

(1)画出绕顺时针方向旋转后的图形;
(2)求点运动路径的长(结果保留) ．
74．（2020·广西南宁·九年级期末）某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级(2)班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：
八年级(2)班参加球类活动人数情况统计表
项目
篮球
足球
乒乓球
排球
羽毛球
人数
a
6
5
7
6

八年级(2)班学生参加球类活动人数情况扇形统计图

根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)a＝   ，b＝    ．
(2)该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约    人；
(3)该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
75．（2020·广西南宁·九年级期末）如图,将绕点顺时针旋转得到,点恰好落在的延长线上，连接．分别交于点交于点．

求的角度;
求证：．
76．（2020·广西南宁·九年级期末）佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出元的各项费用．设每间房每天的定价增加元，宾馆获利为元．
(1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ;
(2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元?
77．（2020·广西南宁·九年级期末）如图,在中, , 在，上取一点,以为直径作,与相交于点,作线段的垂直平分线交于点,连接．

(1) 求证:是的切线;
(2)若，的半径为．求线段与线段的长．
78．（2020·广西南宁·九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】
55．3
【分析】根据有理数的乘方，绝对值，二次根式化简，分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算即可．
【详解】解：原式


【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值，乘方，二次根式化简等考点的运算．
56．，
【分析】根据配方法以及公式法即可解一元二次方程．
【详解】解：
（解法一）移项、配方得：
∴
∴
∴
∴，
（解法二）解：∵，
∴
∴方程有两个不相等的实数根
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
57．(1)见解析
(2)

【分析】（1）将值直接代入解析式中求出对应的值即可；在平面直角坐标系中描出表中的点的坐标，用光滑的曲线连接即可得到二次函数的图象；
（2）根据二次函数的图象即可得到得出不等式的解集．
（1）
解：将，，，分别带入解析式中解得，，，；   
如图，抛物线即为所求．

（2）
解：由（1）中二次函数的图象可知．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，掌握二次函数的图象的画法是解决问题的关键．
58．(1)随机
(2)

【分析】（1）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，根据题意即可得到答案；
（2）根据题意画出树状图，共有6种结果，恰好选中的都是七年级班级（记为事件）的结果有2种，然后根据概率公式即可求解．
(1)
解：根据题意可知，该事件为随机事件，
故答案为：随机；
(2)
解：根据题意得树状图：

由树状图知，选两个班开展活动的所有等可能结果有6种，
其中恰好选中的都是七年级班级（记为事件）的结果有2种，
∴．
【点睛】本题考查用树状图法求概率，解题的关键是正确画出树状图．
59．(1)
(2)当售价定为11元，每天能获得最大利润，最大利润为1250元

【分析】（1）根据题意即可直接列出关于x、y的等式，再整理即可；
（2）设每天的利润为元，根据题意可列出关于w、x的等式，整理，再根据二次函数的性质即可解答．
(1)
根据题意得：
整理，得：
∴与之间的关系为；
(2)
设每天的利润为元，根据题意得：
∴
∵
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大利润1250元．
答：当售价定为11元，每天能获得最大利润，最大利润为1250元．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
60．(1)于点，与半圆相切于点，证明见解析
(2)

【分析】（1）根据，，证明，得到，根据，切半圆于点，证明，得到．
（2）由，，求出，根据，得到，得到．
（1）
于点，与半圆相切于点，理由：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且是半圆的半径，
∴BE是⊙O的切线，
∵切半圆于点，
∴，∴．
（2）
∵，
且，
∴，
∵在中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了用全等三角形的性质，角平分线三等分角，解决问题的关键是熟练运用全等三角形的判定和性质，切线长定理．（1）用两边及夹角对应的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，再用圆外一点与圆心的连线平分从这点作的两条切线的夹角．（2）用三等角的和等于120°，直角三角形两锐角互余和弧长公式求出结果．
61．(1)见解析
(2)13
(3)

【分析】（1）连接，，，利用平分，，再证明，得到，利用切线判定定理证得结论；
（2）连接交于点，四边形是矩形，利用垂径定理得，设，则，在中，由勾股定理列方程求得半径；
（3）连接，BF，过点作于点，证，得HB＝HE, 在中，由勾股定理得，故，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理，即可得到EF．
(1)
证明：如图3，连接，
          
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
(2)
解：如图4，连接交于点，
                  
∵为的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
即，解得：
的半径为13．
(3)
解：如图5，连接，BF，过点作于点，
则，
           
由（2）知，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
在中，由勾股定理得：

即，
解得：，
∴
在中，由勾股定理得
，
解得：，
在中，由勾股定理得
，
∴
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、勾股定理、矩形的的判定和性质、圆周角定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识是基础，添加适当的辅助线是解决问题的关键．
62．(1)
(2)2或6
(3)

【分析】（1）把和代入，即可求解；
（2）先求出直线的解析式，然后直线的解析式为，可得到，再由，即可求解；
（3）根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=0，且开口向上，从而得到当x=6和x=-6时，函数值相等，进而得到，即可求解
(1)
解：把和代入得
，解得
∴抛物线的解析式为：
(2)
解：设直线的解析式为：
∴，解得：
∴直线的解析式为：
根据题意得直线的解析式为：
，即，
∴直线与轴的交点为，
∴，
对于抛物线，当时，，
∴与轴的交点坐标为，
∴
∵，
∴
∴或
∴的值为2或6．
(3)
解：对于抛物线，
∴抛物线c1的对称轴为直线x=2，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，且开口向上，
∴当x=6和x=-6时，函数值相等，
∵当，时，均有，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
63．
【分析】根据含乘方运算的有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】原式


【点睛】本题考查含乘方运算的有理数混合运算，掌握运算法则以及顺序是解题关键．
64．.
【分析】用公式法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
∴．
65．（1）答案见解析；（2）作图见解析，路径长为．
【分析】（1）分别作出三个顶点向上平移6个单位所得到的对应点，再收尾依次连接即可；
（2）将三个顶点分别绕点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可，继而根据弧长公式求解即可．
【详解】解：（1）根据平移的性质将三个顶点分别向上平移6个单位所得到的对应点，再收尾依次连接，答案如图所示：

（2）将三个顶点分别绕点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可，答案如图所示：
∵，
∴

【点睛】本题主要考查了旋转和平移作图，勾股定理以及弧长公式，解题的关键在于能够准确找出对应点的位置．
66．（1）绿球的概率较大;（2）取出的球恰好为一个红球一个绿球的概率为．
【分析】（1）口袋中有1个红球，3个绿球，从口袋中任取一只球，共有4种可能结果，求出从口袋中任取一只球是红球的可能性，利用概率公式求取到红球的概率为．求出从口袋中任取一只球是绿球的可能性，利用概率公式求取到绿球的概率为．然后比较即可;
（2）先画出树状图，从袋子中同时随机取出2个球的所有可能的结果共有12种，它们每一种出现的可能性都相等；其中取出的球恰好为一个红球一个绿球的结果共有6种，然后利用概率公式进行计算即可得．
【详解】解（1）口袋中有1个红球，3个绿球，从口袋中任取一只球，共有4种可能结果，
其中1个红球，从口袋中任取一个红球出现的结果有1种，
所以从口袋中任取一只球，取到红球的概率为．
其中3个绿球，从口袋中任取一个绿球出现的结果有3种，
所以从口袋中任取一只球，取到绿球的概率为．
通过计算比较，取出绿球的概率较大;
（2）由题意，画树状图如下所示：

由图可知，从袋子中同时随机取出2个球的所有可能的结果共有12种，它们每一种出现的可能性都相等；其中取出的球恰好为一个红球一个绿球的结果共有6种，
则取出的球恰好为一个红球一个绿球的概率为，
答：取出的球恰好为一个红球一个绿球的概率为．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，和简单概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．
67．【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6
【分析】类比探究：通过证明可得，则．
拓展应用：通过证明可得，则．
【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．

拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点

∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为6．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
68．（1）A型40元，B型30元；（2）60或80；（3）65元
【分析】（1）设A型垃圾桶与B型垃圾桶每个进价各为x，y元，根据题意，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设每个售价为z元，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（3）设两种垃圾桶的销售总利润为w元，根据题意列出二次函数表达式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）A型垃圾桶与B型垃圾桶每个进价各为x，y元，
由题意得：，
解得：，
∴A型垃圾桶每个进价为40元，B型垃圾桶每个进价为30元；
（2）设A型每个售价为z元，则销量为个，
由题意，，
整理得：，
解得：或，
∴当售价为60或80元时，利润可达到8000元；
（3）设两种垃圾桶的销售总利润为w元，
由题意：，，
∴，
整理得：，
∵，
∴当时，w有最大值10450，
∴当B型垃圾桶售价为65元时，总利润最大．
【点睛】本题考查二元一次方程组，一元二次方程，以及二次函数的实际应用，理清题中描述的数量关系，准确建立方程或关系式是解题关键．
69．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出BC解析式，设，分别求出PE、DE，再根据即可得解；
（3）设，，连接AG、AN，分别延长交抛物线于，，分别求出，的坐标，即可得解；
【详解】（1）把、代入中得，
，
∴，
∴；
（2）如图，设BC解析式为，

∵与y轴交于点C，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵轴，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴当时，，
∴；
（3）如图，设，，连接AG、AN，分别延长交抛物线于，，

∵，，，
∴，
∴当M在到这一段上移动时，不大于，
设AG解析式为，
∴，
∴，
∴，
与二次函数解析式联立方程组可得：，
∴，，
∴，
设AN的解析式为，
∴，
∴，
∴，
与二次函数解析式联立方程组可得：，
∴，，

∵M在和之间，
∴，
∵M的横坐标为m，
∴，
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确求解一元二次方程是解题的关键．
70．（1）证明见详解；（2）BC长为6；（3）10．
【分析】（1）连接OD，根据AD平分，AC为直径，易证，可得 ，根据可得 ，易得 ，则 ，可证得 PD与相切；
（2）延长OD至BC于M，连接，可知四边形PDMB为矩形，可得M为BC中点，根据得 ，则 PD为，可得，解得 ， (不合题意，舍去)，则根据， 可得解；
（3）连接BD，证明△BDC是等边三角形，把△DAC绕点C逆时钟旋转60得到△BQC，证明A、B、Q三点共线，再证明△ACQ是等边三角形，得到当弦AC为直径时，AB+ AD取得最大值，即可求解．
【详解】解：（1）连接OD，

∵AD平分
∴
又∵AC为直径，∠ADC为其所对圆周角
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴PD与相切；
（2）延长OD至BC于M，连接

∵∠ABC为直径AC所对圆周角
∴
又∵
∴四边形PDMB为矩形，
∴
∵，
∴M为BC中点,
又∵
∴
∴
∵
设则PD为
∴，
∴
∴
∴
解得， (不合题意，舍去)
∴，，
∴BC长为6；
（3）连接BD，
∵AD平分，
∴∠PAD=∠CAD，
∵是四边形的外接圆，
∴∠CBD=∠CAD，∠PAD=∠DCB，
∴∠CBD=∠DCB，
∵，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB=∠DCB，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD=CD=BC，
把△DAC绕点C逆时钟旋转60得到△BQC，如图，

由旋转的性质得：∠ACQ=60，∠ADC=∠QBC，AC=QC，AD=QB，
∵是四边形的外接圆，
∴∠ADC+∠ABC=180，
∴∠QBC+∠ABC=180，
∴A、B、Q三点共线，
∵∠ACQ=60，AC=QC，
∴△ACQ是等边三角形，
∴AB+ AD= AB+BQ=AQ=AC，
当弦AC为直径时，AB+ AD取得最大值，
∴AB+ AD的最大值为10．
【点睛】本题考查的圆的综合题，涉及到切线的判定和性质，圆周角定理，矩形，正方形的性质和三角形相似的判定与性质，旋转的性质等知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
71．21
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【详解】解：

=4+8+9

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
72．x1=2+，x2=2-.
【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可．
【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
73．（1）见解析；（2）
【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画图；
(2)点C的运动路径是弧形，找到半径，圆心角即可求解.
【详解】解：如图所示，即为所求;
,
∴点C的运动路径是以A为圆心，AC长为半径的弧，
点的运动路径的长为:

【点睛】本题考查了网格中图形的旋转及旋转轨迹，还考查了弧长公式的运算.
74．(1)a＝16，b＝17.5(2)90(3)
【分析】（1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解；
（2）利用总数乘以对应的百分比即可求解；
（3）利用列举法，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%，
∴b=17.5，
故答案为16，17.5；
（2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人），
故答案为90；
（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有12种情况，
∴则P（恰好选到一男一女）==．

75．（1）；（2）见解析
【分析】(1)根据题意将绕点顺时针旋转得到，可知≌，根据全等三角形性质和外角性质可求得∠AFE的度数.
(2)根据(1)中≌可知对应角相等，对应边相等，来证明(ASA).
【详解】解：(1)由绕顺时针旋转得到



又
∠AFB=∠ACB=

证明：



在和中


【点睛】本题考查的是三角形旋转造全等，利用全等三角形的性质和外角的性质来求得外角的度数和判定另外两个三角形全等.
76．（1）；（2）每间房价为元时，宾馆可获利元
【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案；
(2)代入(1)求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的.
【详解】解：由题意得


答: 与的函数关系式为：
由可得：
令，即
解得

解得

此时每间房价为: (元)
答:每间房价为元时，宾馆可获利元。
【点睛】本题考查的是盈利问题的二次函数式及二次函数的最值问题，通常做法是先列出二次函数式，然后利用y最值或化成顶点式进行求解.用代数表示每间房间的利润和房间数是关键.
77．（1）见解析；（2）
【分析】(1)根据题意，证出EN与OE垂直即可；
(2)求线段的长一般构造直角三角形,利用勾股定理来求解.在Rt△OEN、Rt△OCN△中，EN²=ON²-OE²,ON²=OC²+CN²,CN=4-EN代入可求EN；同理构造直角三角形Rt△AED、Rt△EDB、Rt△DCB,AE²=AD²-DE²,DE²=DB²-BE²,DB²=CD²+CB²=1²+4²=17,代入求AE.
【详解】证明:连接
是的垂直平分线






即
是半径
是圆的切线
解：连接
设长为，则
，圆的半径为



解得,所以
连接设

∴AB=5,
∵AD是直径,
∴△ADE是直角三角形
则


为直径，
∴△DEB是直角三角形，

即(2²-y²)+(5-y) ²=17
解得


【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理的运用，在运用勾股定理时需要构造与所求线段有关的直角三角形，问题关键是找到已知线段和所求线段之间的关系.
78．(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)
(3)，存在，Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）

【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入求解即可得出解析式；
（2）连接PO，由（1）可得对称轴为，得出，，设，分别求出，，，结合图象可得：，代入得出，即可得出三角形面积的最大值；
（3）设D点的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则，，在中，利用勾股定理可得，代入即可得出点D的坐标；连接AD，在中，，，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，设，AQ为圆A的半径，根据勾股定理求解即可得出结果．
（1）
解：抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
将代入可得
解得：，
∴，
即；
（2）
解：如图所示，连接PO，

对称轴为：，
可得：，，
设，
∴，
，
；
，,
∴，,
∴当时，的最大值为；
（3）
解：设D点的坐标为，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则，，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，，
如图所示：连接AD，在中，

∴，
∴，，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，连接AQ，
此时，，
设，AQ为圆A的半径，
，
∴，
∴，
∴或，
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的应用（三角形面积最值问题），勾股定理解三角形，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．