贵港市覃塘区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份贵港市覃塘区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共34页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

贵港市覃塘区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
三、解答题
55．（2022·广西贵港·九年级期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
56．（2022·广西贵港·九年级期末）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知△ABC和点O，以点O为位似中心，将△ABC放大为原图形的2倍．

57．（2022·广西贵港·九年级期末）如图，直线与双曲线交于和B两点，动点P在第一象限内的该双曲线上，且点P在点A的右侧，轴于点C，与直线AB交于点E．

(1)求双曲线的表达式；
(2)连接PA、BC，若，求点P的坐标．
58．（2022·广西贵港·九年级期末）某市在中小学举行了“我和我的祖国”主题演讲比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分，得分均为正整数且无满分，最低分为75分），将所抽成绩进行分析统计，并绘制如下频率分布表和尚不完整的频数直方图请根据图表提供的信息，解答下列问题：

频率分布表
分组
分数段
频数
频率
A
74.5~79.5
24
0.05
B
79.5~84.5
72
m
C
84.5~89.5
168
0.35
D
89.5~94.5
n
0.25
E
94.5~99.5
96
0.20

(1)本次抽取的样本容量为______，______，______；
(2)将频数直方图补充完整；
(3)若成绩在89.5分以上定为优秀，据此推测，该市3000名参赛学生中成绩为优秀的学生约有多少名？
59．（2022·广西贵港·九年级期末）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月未累计进馆910人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件有限，学校图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
60．（2022·广西贵港·九年级期末）将一副直角三角板如图所示放置，，，，若，求点A到BD所在直线的距离．

61．（2022·广西贵港·九年级期末）如图，已知抛物线与直线相交于和两点，动点P在线段AB上，轴与抛物线相交于点E．

(1)求抛物线的表达式及m的值；
(2)求线段PE长的最大值；
(3)求△PAE为直角三角形时点P的坐标．
62．（2022·广西贵港·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点O，，AE平分BF，AF平分∠DAE．

(1)求证：；
(2)求证：．
63．（2021·广西贵港·九年级期末）（1）计算：；
（2）解方程：．
64．（2021·广西贵港·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，若与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且的坐标为，请画出，并给出顶点的坐标．

65．（2021·广西贵港·九年级期末）如图，直线与双曲线相交于点将直线向右平移个长度单位后，与双曲线相交于点，与轴相交于点．

（1）求点的坐标（用含的式子表示）﹔
（2）若，点的横坐标为，求双曲线的表达式．
66．（2021·广西贵港·九年级期末）某校在“校艺术节”期间，举办了演讲、唱歌、书法、绘画共四个项目的比赛．要求每位同学必须参加且限报一项．以九年级（一）班为样本进行统计，并将结果绘制如下尚不完整的条形和扇形统计图，请根据统计图解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，项的百分率是﹔
（2）在扇形统计图中，项的圆心角的度数是﹔
（3）请补充完整条形统计图；
（4）若该校九年级有名学生，那么九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有多少人？
67．（2021·广西贵港·九年级期末）某玩具经销商2017年全年的销售总额为万元，总成本为万元；由于改善经营模式，与2017年相比2019年总成本下降了销售总额增加了．
（1）求该经销商年利润的平均增长率；
（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2020年该经销商获得的利润是多少万元（结果精确到万元）．
68．（2021·广西贵港·九年级期末）将一副直角三角板如图所示放置，点在同一直线上，，，若，求的长．

69．（2021·广西贵港·九年级期末）如图，已知抛物线经过和三点，其顶点为，直线轴，且在第一象限内与抛物线相交于点．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）求的值；
（3）当直线将的面积分成两部分时，求点的坐标．
70．（2021·广西贵港·九年级期末）如图，在正方形中，是边上的一个动点(与均不重合），将线段绕点顺时针旋转后，得到线段，且交于点，过点作的延长线于点，连接．

（1）求证：且；
（2）当点在何处时，？请说明理由．
71．（2020·广西贵港·九年级期末）(1)计算: ;
(2)解方程:.
72．（2020·广西贵港·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为.

(1)在轴的右侧，画出的位似图形，使位似中心为原点，位似比为
(2)写出两点的坐标.
73．（2020·广西贵港·九年级期末）如图，在中，是斜边的中线，交边于点.

(1)求证:;
(2)若，求的长.
74．（2020·广西贵港·九年级期末）某市为了了解初中学校“高效课堂”的有效程度，并就初中生在课堂上是否具有“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”等学习行为进行评价.为此，该市教研部门开展了一次抽样调查， 并将调查结果绘制成尚不完整的条形统计图和扇形统计图( 如图所示)，请根据图中信息解答下列问题:
(1)这次抽样调查的样本容量为 .
(2)在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为 度;

(3)请补充完整条形统计图;

(4)若该市初中学生共有万人，在课堂上具有“独立思考”行为的学生约有多少人?
75．（2020·广西贵港·九年级期末）两栋居民楼之间的距离，楼和均为10层，每层楼高为．上午某时刻，太阳光线与水平面的夹角为30°，此刻楼的影子会遮挡到楼的第几层？（参考数据：，）

76．（2020·广西贵港·九年级期末）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆藏书总量由2017年万册增加到2019年万册.
(1)求该校图书馆这两年藏书总量的年均增长率;
(2)经统计知:在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书总量的年均增长率，2019年中外古典名著册数占藏书总量的，而在2017年中外古典名著册数仅占当年藏书总量的，请求出的值.
77．（2020·广西贵港·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线经过原点，与交于点轴于点，点D的坐标为反比例函数的图象恰好经过两点.

(1)求的值及所在直线的表达式;
(2)求证:.
(3)求的值.
78．（2020·广西贵港·九年级期末）把一副三角板按如图1所示放置，其中点在边上，，斜边.将三角板绕点顺时针旋转，记旋转角为.
（1）在图1中，设与的交点为，则线段AF的长为 ；

（2）当时，三角板旋转到，的位置(如图2所示)，连接，请判断四边形的形状，并证明你的结论;

(3)当三角板旋转到的位置(如图3所示)时，此时点恰好在的延长线上.①求旋转角的度数;②求线段的长.


【答案】
55．（1）1；（2），
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂的性质，代入特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）原式=；
（2）原方程化为：，
即，
∴或，
则，．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，三角函数，解一元二次方程，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
56．见解析
【分析】延长OA到使=2OA，同样作出点、，从而得到满足条件的△；反向延长OA到使=2OA，同样作出点、，从而得到满足条件的△．
【详解】解：如图所示：△和△即为所求．

【点睛】本题考查了位似图形的画法，画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
57．(1)；
(2)点P的坐标为．

【分析】（1）由点在直线上求出，然后利用点在双曲线上即可求出双曲线的表达式；
（2）设 ,其中，由得，由构建方程，解此方程从而求出点P的坐标．
（1）
解：∵点在直线上，∴ ，则，
∵点在双曲线上，∴，
∴双曲线的表达式为．
（2）
解：如图，连接AC，

，
∴，
∵动点P在双曲线上，且点P在点A的右侧，
∴可设 ,其中，
∵轴于点C，
∴，，
∵点B与点A关于原点O对称，
∴点B的坐标为，
又，，
∴由，且，解得：，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数及反比例函数的交点，将点的坐标代入函数关系式求解函数关系的系数是解题的关键．
58．(1)480，0.15，120
(2)见解析
(3)1350名

【分析】（1）根据频率、频数、样本容量之间的关系列式计算即可；
（2）由D组的频数为120，可补全频数分布直方图；
（3）优秀人数所占频率为( 0.25+0.2 )，因此即为优秀的人数.
(1)
解：（人），，（人），
故答案为： 480，0.15，120；
(2)
解：补全频数直方图如图所示

(3)
解：若成绩在89.5分以上定为优秀，
则成绩优秀落在D、E两组，
（名）
答：该市成绩为优秀的学生约有1350名．
【点睛】本题考查频数分布表、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解题的关键．
59．(1)20%
(2)能，见解析

【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
(1)
设进馆人次的月平均增长率为x．
根据题意，得，
化简得
解得，（不符题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为20%．
(2)
因为第四个月的进馆人次为（人次），
而，
所以校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
60．
【分析】过点A作交DC的延长线于点E，分别在Rt△ABC，Rt△BCD及Rt△ACE中解直角三角形，求出CD和CE的值，由点A、E到直线BD的距离相等可得答案.
【详解】解：如图，过点A作交DC的延长线于点E，
∵在Rt△ABC中，，，
∴，
∵，
∴，，
∵在Rt△BCD中，，，
∴，
∴，
∵，
∴在Rt△ACE中，，
∵，
∴点A、E到直线BD的距离相等，
∴点A到直线BD的距离为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键．
61．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或

【分析】（1）将点B横坐标代入一次函数解析式可求出m的值，得到点B坐标，然后利用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）设出点P的坐标，可得到对应的点E坐标，表示出PE，将问题转化为求二次函数的最值问题即可；
（3）由于，故分∠PAE或∠AEP为直角两种情况进行讨论，分别求出对应的点E的横坐标，再代入直线AB解析式即可求得点P的坐标．
(1)
解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∵抛物线经过和，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：；
(2)
解：如图1，∵动点P在线段AB上，轴与抛物线相交于点E，
∴可设点P的坐标为，其中，则点E的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，线段PE的长最大，且最大值为；

(3)
解：∵由题意可知，
∴△PAE为直角三角形时，有∠PAE或∠AEP为直角（如图2所示），
①如图2，当时，即，
∵直线AB为，
∴设直线为，
代入得：，解得：b＝3，
∴直线为：，
∴联立，解得，
当x＝3时，，
∴点的坐标为，
∵轴，
将x＝3代入得，
∴点的坐标为；
②如图2，当时，即，
∵轴，
∴轴，
∵抛物线的对称轴为，点在抛物线上，
∴点与点关于直线对称，
∴点，
将x＝代入得，
∴点的坐标为；
综上所述，满足题意的点P的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，掌握分类讨论的数学思想是正确解题的关键．
62．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）如图1，过点F作，FP与AE交于点P，先证明 再证明 从而可得结论；
（2）如图2，过点F作，FP与AE交于点P，连接EF，PB，证明，结合，证明△BEP∽△AEB，可得， 从而可得结论.
(1)
证明：如图1，过点F作，FP与AE交于点P，

∴，
∵AE平分BF，即，
又，
∴△POF≌△EOB，
∴，，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵AF平分∠DAE ，
∴，
∴，
∴．
(2)
如图2，过点F作，FP与AE交于点P，连接EF，PB．

∵，AF平分∠DAE ，，
∴△AEF≌△ADF，
∴，
又在中，，
又由（1）知：△POF≌△EOB，


四边形BEFP是平行四边形，
∴，
∴，又，
∴△BEP∽△AEB，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，“熟练运用以上知识，作出适当的辅助线”是解本题的关键.
63．（1）3；（2），
【分析】（1）利用实数的运算法则依次计算即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）原式

（2）


即

则，
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，以及实数的运算，熟练掌握一元二次方程的解法，及特殊角的三角函数值，零指数幂的值是解题关键．
64．见解析，
【分析】根据点A、的坐标求出位似比为：1，再利用位似图形的性质得出对应点的位置即可得出答案．
【详解】与是以坐标原点О为位似中心的位似图形，
点A坐标为，点的坐标为
与的位似比为：1
如图所示：即为所求；

.
【点睛】本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，解题关键是熟练掌握位似的性质．
65．（1）(，)；（2）
【分析】（1）解方程组即可求解；
（2）作轴，轴，垂足分别为，证得，由，得到，又由点的横坐标为，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴由题意得：，
解得：，或，
∵，
∴点的坐标为(，)；
（2）作轴，轴，垂足分别为，

∵BC∥AO，
∴∠BCF=∠AOE，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴由，且，
解得：，
∴双曲线的表达式为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，还考查了相似三角形的判定和性质．
66．（1）；（2）72°；（3）见解析；（4）九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有380人
【分析】（1）根据A的人数和百分比求出总人数，再用D人数除以总人数即可得到答案；
（2）根据总人数求出C的人数，再求出C的百分率，用C的百分率乘以即可；
（3）根据总人数求出C的人数，即可补全图形；
（4）利用样本估计总体即可
【详解】（1）由图可知：
参加A项目的人数为13人，占全班总人数的百分比为
总人数为人
参加D项目的人数为2人
参加D项目的百分率为
（2）全班总人数为50人，参加A项目、B项目、D项目的人数分别为13人、25人、2人，
参加C项目的人数为人
参加C项目的的百分比为
C项目的圆心角度数为
（3）因为参加C项目的人数为10人，补全图形如图所示：

（4）人
九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有人．
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
67．（1）该经销商年利润的平均增长率为；（2）2020年该经销商获得的利润是万元
【分析】（1）设该经销商利润的平均增长率为x，根据增长率问题的数量关系建立方程求出其解；
（2）根据增长率问题的数量关系得到2020年该经销商获得的利润即可．
【详解】解：该经销商年利润的平均增长率为．
依题意，得：，
即：，
，
则(不符合，舍去)，
答：该经销商年利润的平均增长率为．
2019年获得的利润万元．
(万元)．
答：2020年该经销商获得的利润是万元．
【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系在实际问题中的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据据增长率问题的数量关系建立方程是关键．
68．
【分析】过点B作BH⊥FD于点H，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
【详解】解：如图，作于点

在中，，，




，
又在中，，
，
在中，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度一般，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
69．（1）；（2）3；（3）或
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）求出抛物线顶点坐标，分别求出BC，CE，EB的长，判断△BCE是直角三角形，进而可求的值；
（3）分直线经过点和直线不经过点两种情况求解即可．
【详解】解：抛物线经过和三点，
，
解得：，
抛物线的表达式为.
，
顶点的坐标为，
又，
，
是直角三角形，且，
.
，
直线将分成面积分别为和两部分，
①当直线经过点时，将分成面积分别为和的两个三角形，
此时点的坐标为；
②当直线不经过点时(如图所示)，设直线与分别交于点，

则满足题意时，，，
的表达式为，
的表达式为，
设此时点的横坐标为，
则，
，
，（舍去）
此时点的坐标为；
综上所述，满足题意的点的坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，考查到了三点确定二次函数解析式．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．
70．（1）见解析；（2）当点恰好是边的中点时，，见解析
【分析】（1）证明△PEF△DPA，再证明四边形PFCD是平行四边形，即可证得结论；
（2）由推出，证明推出，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：在正方形中，在边上，且，
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴△PEF△DPA，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即点是边的中点，
∴当点恰好是边的中点时，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
71．（1）0；（2）
【分析】(1)先计算0次幂，再写出特殊角的三角函数值，去绝对值，最后合并同类项即可；
(2)两边开方得出再分两种情况分别计算即可.
【详解】解：（1）原式，
  .
（2）两边开方得：
当时，解得：，
当时，解得：，
原方程的根为.
【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算及解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值及解方程的步骤是解题的关键.
72．（1）见解析；（2）
【分析】(1)根据位似图形的定义作出点A、B、C在原点的另一侧的对应点，再依次连接即可；
(2)根据画出的图直接写出坐标即可.
【详解】解：(1)如图所示为所求.

(2).
【点睛】本题考查了作图-位似变换，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键.
73．（1）见解析；（2）5
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线得出，从而得出，再根据即可得出相似.
(2) 根据直角三角形斜边上的中线得出CD的值，再根据同角的正弦与余弦的关系得出；根据得出，进一步即可解得的长.
【详解】解：(1) 证明：如图，在中，是斜边上的中线，



交边于点
，
，
（2）
，
在中，


，
在中，，

.
【点睛】本题考查了三角函数及相似三角形的判定及性质，熟练掌握同角三角函数关系是解题的关键.
74．（1）560；（2）54；（3）见解析；（4）24000
【分析】(1)根据专注听讲的人数是224人，所占的比例是40%，即可求得抽查的总人数； 
(2)利用乘以对应的百分比即可求解； 
(3)利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出频数分布直方图； 
(4)利用80000乘以对应的比例即可．
【详解】解：（1）这次抽样调查的样本容量==；
故答案为：560.
（2）“主动质疑”所对应的圆心角为：，
（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224=84（人），
如图所示．

（4）（人），
答：在课堂上具有“独立思考”行为的学生约有人.
【点睛】本题考查了扇形统计图及条形统计图的综合，熟练掌握圆心角的计算公式是解题的关键.
75．此刻楼的影子会遮挡到楼的第5层．
【分析】设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，解Rt△BFH，求出BH≈17，那么FC=HD=BD-BH≈13，由，可得此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．
【详解】解：设太阳光线交于点，过作于，

由题意知，，，，
在中，，
∴，
∴，
∵，所以在四层的上面，即第五层，
答：此刻楼的影子会遮挡到楼的第5层．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，难度一般，解答本题的关键是利用直角三角形的性质和三角函数解答．
76．（1）该校图书馆这两年藏书总量的年均增长率为；（2）5.6
【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；
（2）根据“中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书总量的年均增长率，2019年中外古典名著册数占藏书总量的，而在2017年中外古典名著册数仅占当年藏书总量的”即可列出关于m的一元一次方程，解出即可.
【详解】解：（1）设该校图书馆藏书总量从2017年至2019年的年平均增长率为，
由题意得:，
解得：(舍去)，
，
答：该校图书馆这两年藏书总量的年均增长率为.
(2)由题意知：
，
解得： .
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找到关系式是解题的关键.
77．（1）-2，；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据菱形的性质及反比例函数的对称性可以推出，再根据点D的坐标即可得到点P的坐标，从而得出k的值；根据点P的坐标可以得出直线的表达式，最后根据OP和AC的关系即可得出直线的表达式；
（2）由己等边对等角即可推出；
（3）由已知可求得点B的坐标，根据勾股定理可求得OB的值，最后根据同角的余弦即可得出答案.
【详解】解：（1）∵在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过两点，
由反比例函数图象的对称性知：，

.
点的坐标为，
点的坐标为，
，则；
设直线的表达式为，将点代入得，
∴直线的表达式为，
设直线的表达式为，
于点，
将点及，代入，
得:，
直线的表达式为.
（2）证明：由条件得，，
，
；
（3），
又与关于原点对称，

在中，，从而.
则.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角函数关系，菱形的性质及反比例函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
78．（1）；（2）菱形是正方形，见解析；（3）①75°，②
【分析】（1）根据题意可求得BC,CE的值，从而求得BE的值，再根据为等腰直角三角形可求得BF的值，最后根据线段的和与差求出AF.
（2）由题意可得出，在根据旋转的性质即可推出，得出及，推出四边形是菱形，最后根据，可以推出为正方形.
（3）①取边的中点，连接，根据题意得出，，再证明，得出，结合题意即可得出旋转角；
结合题意根据线段的和与差即可得出.
【详解】解：（1），斜边
,,
,
=
.
故答案为：；

(2) 四边形是正方形.


，
又，
，
同理可证：，
又四边形是菱形，
又菱形是正方形.
（3）①取边的中点，连接，

是等腰直角三角形，且斜边，且，
是直角三角形，且斜边，
，
又
，

又，
又，
则旋转角；
，，

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，作合适的辅助线是解题的关键.