高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精练

第6章　6.3.2

A级——基础过关练

1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　　)

A．第n－k项

B．第n－k－1项

C．第n－k＋1项

D．第n－k＋2项

【答案】D　【解析】第k项的二项式系数是C，由于C＝C，第n－k＋2项的二项式系数为C，故选D．

2．设二项式n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)

A．第9项

B．第8项

C．第9项和第10项

D．第8项和第9项

【答案】A　【解析】因为展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以令－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．

3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为64，则n等于(　　)

A．4 B．5

C．6 D．7

【答案】C　【解析】由2n＝64，得n＝6.

4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)

A．3 B．6

C．9 D．12

【答案】B　【解析】x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6.

5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)

A．－2 B．1

C．2 D．2×39

【答案】A　【解析】令x＝－1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.

6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．

【答案】5　【解析】(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.

7．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．

【答案】　【解析】设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.

8．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．

【答案】6x　【解析】因为8＜C＋C＋…＋C＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.

9．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．

(1)求a0；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；

(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；

(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.

解：(1)令x＝0，则a0＝2100.

(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100①，

所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.

(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②.

①－②，可得a1＋a3＋…＋a99＝.

(4)由①②，可得(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.

(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.

10．已知n展开式的二项式系数之和为256.

(1)求n；

(2)若展开式中常数项为，求m的值；

(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.

(2)设常数项为第k＋1项，则Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k，故8－2k＝0，即k＝4，

则Cm4＝，解得m＝±.

(3)易知m＞0，设第k＋1项系数最大．则化简可得≤k≤.由于只有第6项和第7项系数最大，所以

即所以m只能等于2.

B级——能力提升练

11．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)展开式中的一次项系数为(　　)

A．C B．C

C．C D．C

【答案】C　【解析】一次项的系数为1＋2＋3＋…＋n＝＝C 2 n＋1.

12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(　　)

A．第11项 B．第13项

C．第18项 D．第20项

【答案】D　【解析】(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为C＋C＋C＝C＋C＋C＝55.以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.

13．若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2 B．0

C．－1 D．－2

【答案】C　【解析】(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，令x＝，则2 021＝a0＋＋＋…＋＝0，令x＝0，则a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.

14．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)

A．5 B．6

C．7 D．8

【答案】B　【解析】 由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C＝C＝b，因此13C＝7C，所以13·＝7·，所以m＝6.

15．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．

【答案】20　【解析】∵n展开式的二项式系数之和为2n，∴2n＝64，∴n＝6.∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r.由6－2r＝0得r＝3，∴其常数项为T3＋1＝C＝20.

16．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________(填数字)．

【答案】－8 128　【解析】在所给的等式中，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27①，再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7②，把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7，所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.

17．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．

解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C()22＝6.

C级——探究创新练

18．已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．

解：∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C423＝；T5的系数为C324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C727＝3 432.