数学人教A版 (2019)6.3 二项式定理练习题

这是一份数学人教A版 (2019)6.3 二项式定理练习题，共5页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。

6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质
A级　基础巩固
1.在(1-x)201的展开式中,系数的最大值是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析:在(1-x)201的展开式中,第r+1项为Tr+1=(-x)r=(-1)rxr,所以系数的最大值是,故选B.
答案:B
2.若(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值(　　)
A.8 　　　B.9 　　　C.10 　　D.11
解析:由题意,知(1+1)n(3-1)=1 024,即2n+1=1 024,所以n=9.故选B.
答案:B
3.(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=
(　　)
A.40B.41C.-40D.-41
解析:因为(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
所以a0+a2+a4=+·22+·24=1+24+16=41,故选B.
答案:B
4.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100·x100,求下列各式的值.
(1)a0;
(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99;
(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.
解:(1)令x=0,得a0=2100.
(2)令x=1,
可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100, ①
所以a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.
(3)令x=-1,
可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100. ②
由①-②,得a1+a3+…+a99=.
(4)结合①②可得,
(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2
=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-…+a100)
=(2-)100×(2+)100
=1.
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|,即(2+x)100的展开式中各项系数的和,
在(2+x)100的展开式中,令x=1,
可得各项系数的和为(2+)100.
5.已知的展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n的值;
(2)若展开式中常数项为,求m的值;
(3)若(x+m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值情况.
解:(1)二项式系数之和为2n=256,
解得n=8.
(2)设常数项为第r+1项,则
Tr+1=x8-r=mrx8-2r.
令8-2r=0,得r=4.
所以m4=,解得m=±.
(3)由题意,易知m>0.
设第k+1项系数最大,
则化简可得≤k≤.
因为只有第6项和第7项系数最大,
所以即
所以m=2.
B级　拓展提高
6.设的展开式的各项系数的和为M,二项式系数的和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为(　　)
A.-150 　　B.150　　C.300 　　D.-300
解析:由已知条件,得4n-2n=240,解得n=4.
二项展开式的通项为Tk+1=(5x·=(-1)k54-k,
令4-=1,得k=2,
所以展开式中x的系数为(-1)2×52×=150.
答案:B
7.已知(1+2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364,则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项
解析:设(1+2x)2n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n,则展开式中奇次项系数之和就是a1+a3+a5+…+a2n-1.
分别令x=1,x=-1,
得
由两式相减,得a1+a3+a5+…+=.
由已知,得=364,所以32n=729=36,所以n=3.
所以(1+2x)2n=(1+2x)6的展开式共有7项,中间一项的二项式系数最大,即第4项的二项式系数最大.
答案:B
8.若的二项展开式中,常数项为,则二项式系数最大的项为x3或-x3.
解析:的二项展开式的通项为Tk+1=·(x2)6-k=
a-kx12-3k.
令12-3k=0,得k=4,
所以a-4=,解得a=±2.
当a=2时,二项式系数最大的项为×2-3×x3=x3;
当a=-2时,二项式系数最大的项为×(-2)-3×x3=-x3.
9.若(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则=-.
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,
令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,
两式相减,得2(a1+a3+a5)=-63,
两式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=65,
故=-.
10.已知(+3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
解:令x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=4n.
由二项式系数的性质,知展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意,知4n-2n=992.
所以(2n)2-2n-992=0,
所以(2n+31)(2n-32)=0,
所以2n=-31(舍去)或2n=32,所以n=5.
(1)因为n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,它们分别为T3=·(3x2)2=90x6,T4=·(3x2)3=270.
(2)展开式的通项为Tk+1=·3k·,
假设Tk+1项的系数最大,
则有
所以≤k≤.
因为k∈N,所以k=4,
所以展开式中系数最大的项为T5=(3x2)4=405.
C级　挑战创新
11.多选题下列关于(a+b)10的说法正确的是(　　)
A.展开式中的各二项式系数之和为1 024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
解析:根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中的各二项式系数之和为210=1 024,故A项说法正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间一项,即第6项的二项式系数最大,故B项说法正确,C项说法错误;经分析,易知展开式中各项的系数等于二项式系数,故第6项的系数最大,故D项说法错误.
答案:AB
12.多空题(2022·浙江卷)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+
a3x3+a4x4+a5x5,则a2=8,a1+a2+a3+a4+a5=-2.
解析:因为(x-1)4=x4-4x3+6x2-4x+1,
所以a2=-4+12=8.
令x=0,则a0=2,
令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
13.多空题若在的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则n=11;中间项系数是462.
解析:由题意,得展开式各项的系数与对应的二项式系数相等.因为二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,所以由题意,得2n-1=1 024,所以n=11,所以展开式共有12项,中间项为第6项、第7项,其系数为==462.
14.设f(n)=(a+b)n(n∈N*,n≥2),若f(n)的展开式中,存在某连续3项,其二项式系数依次成等差数列,则称f(n)具有性质P.
(1)求证:f(7)具有性质P;
(2)若存在n≤2 020,使f(n)具有性质P,求n的最大值.
(1)证明:f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7,=21,=35,
因为+=2,即,,成等差数列,
所以f(7)具有性质P.
(2)解:设f(n)具有性质P,
则存在k∈N*,1≤k≤n-1,使,,成等差数列,所以+=2.
整理得4k2-4nk+(n2-n-2)=0,
即(2k-n)2=n+2,所以n+2为完全平方数.
又n≤2 020,
442<2 020+2<452,
所以n的最大值为442-2=1 934,此时k=989或945.