高中数学新人教A版选择性必修第二册 第四章 章末整合 课件

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章末整合专题一　等差(比)数列的基本运算 例1等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解:(1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,∴an=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.设{bn}的公差为d,规律方法等差数列与等比数列的基本运算的求解策略在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量,a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量.“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d(q),an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量.当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用.变式训练1已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围. 专题二　求数列的通项公式 例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求an.(2)数列{an}的前n项和为Sn且a1=1,an+1= Sn,求an.解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=5不适合上式.(2)∵Sn=3an+1,①∴n≥2时,Sn-1=3an.②①-②得Sn-Sn-1=3an+1-3an,规律方法数列通项公式的求法(1)定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法.这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列{an}变式训练2设数列{an}是首项为1的正项数列,且an+1-an+an+1·an=0(n∈N*),求{an}的通项公式.专题三　数列求和 例3已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数且k≠0,c≠1),且a2=4,a6=8a3,(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)当n>1时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,∴an=2n.当n=1时,a1=S1=2.综上所述,an=2n(n∈N*).(2)nan=n·2n,则Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式作差得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,Tn=2+(n-1)·2n+1.方法总结数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式.(2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项(相消)法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.(4)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法:适用于等差数列前n项和公式的推导.(6)并项转化法:如果一个数列的项是正负交错的,尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时,可以依次两项两项(或几项几项)合并,再利用其他相关的方法进行求和.延伸探究本例中的条件不变,(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列{n+an}的前n项和Tn”.解:由题知Tn=1+2+2+22+3+23+…+n+2n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)专题四　等差(比)数列的判定 例4数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.所以数列{cn}是等差数列,公差为3,首项为2. 方法总结等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法:an+1-an=d(n≥1,n∈N*,d为常数)⇔{an}是等差数列; =q(n≥1,n∈N*,q为常数,q≠0)⇔{an}是等比数列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n≥1,n∈N*)⇔{an}是等差数列; =an·an+2(n≥1,n∈N*,an≠0)⇔{an}是等比数列.(3)通项公式法:an=kn+b(n≥1,n∈N*,k,b是常数)⇔{an}是等差数列;an=c·qn(n≥1,n∈N*,c,q为非零常数)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n≥1,n∈N*)⇔{an}是等差数列;Sn=Aqn-A(A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1,n≥1,n∈N*)⇔{an}是公比不等于1的等比数列.变式训练3已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 (1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.将n=2代入,得a3=3a2,所以,a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.专题五　数学归纳法  (1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.名师点评1.数学归纳法的两点关注(1)关注点一:用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)关注点二:由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.2.与“归纳—猜想—证明”相关的常见题型的处理策略(1)与函数有关的证明:由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想,充分利用已知条件并用数学归纳法证明.(2)与数列有关的证明:利用已知条件,当直接证明遇阻时,可考虑应用数学归纳法.这就是说当n=k+1时,不等式也成立.由①②可知,原不等式对任意大于1的正整数都成立.