北师大版高中数学必修第一册第四章对数运算与对数函数学案

§2　对数的运算

2.1　对数的运算性质

2.2　换底公式

　对数的运算性质

[问题1] (1)计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗?

(2)计算lg 10,lg 100,lg 1 000及lg 104的值,你能发现什么规律?

提示:(1)因为log24=2,log28=3,log232=5,

所以log24+log28=log2(4×8)=log232;

log232-log28=log2=log24;

log232-log24=log2=log28.

(2)lg 10=1,lg 100=lg 102=2,lg 1 000=lg 103=3,lg 104=4,可见lg 10n=nlg 10=n.

知识点1:对数的运算性质

若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R则

(1)loga(M·N)=logaM+logaN.

(2)loga=logaM-logaN.

(3)logaMb=blogaM.

[例1] 化简下列各式:

(1)4lg 2+3lg 5-lg ;

(2)2log32-log3+log38-;

(3)log2(1++)+log2(1+-).

解:(1)原式=lg

=lg(24×54)

=lg(2×5)4

=4.

(2)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3

=2log32-5log32+2+3log32-3

=-1.

(3)原式=log2[(1++)(1+-)]

=log2[(1+)2-()2]

=log2=.

变式训练1-1:计算:(1)lo27+lg 4+lg 25;

(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.

解:(1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.

(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2

=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2

=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2

=3lg 2+3lg 5-2

=3(lg 2+lg 5)-2

=1.

(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.

　换底公式及导出公式

[问题2] (1)根据对数的定义,你能利用ln 2,ln 3的值求log23的值吗?

(2)根据对数的定义,你能用以a为底的对数logaN,logab表示logbN吗(a>0,b>0,N>0,且a≠1,b≠1)?

提示:(1)令log23=x,所以2x=3,所以ln 2x=ln 3,所以xln 2=ln 3,x=,即log23=.

(2)设logbN=x,那么bx=N,两边同时取以a为底的对数得xlogab=logaN,所以x=,即logbN=.

知识点2:换底公式及导出公式

(1)换底公式:logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).

(2)logab=.

(3)logaN=loNn.

(4)logaN=loNn.

探究角度1　用已知对数式表示对数值

[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.

解:因为2b=3,

所以b=log23,即log32=,

log1456==

===.

变式训练2-1:若把本例中条件“2b=3”换为“3b=2”,其他条件不变,用a,b表示log1456.

解:因为3b=2,所以b=log32,

又因为a=log37,所以log1456====.

变式训练2-2:本例中a不变,b=log36,试用a,b表示log1456.

解:因为log36=log33+log32=b,

所以log32=b-1.

又因为log37=a,

所以log1456==.

用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.

探究角度2　应用换底公式求值

[例3] 计算:(1)log1627·log8132;

(2).

解:(1)log1627·log8132=×=×=×=.

(2)原式=×=lo×lo9=×=×=-.

变式训练3-1:计算:(1)(log43+log83)·;

(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.

解:(1)原式=(+)·

=·+·

=+=.

(2)原式=·····

===3.

(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般需要统一成一种表达形式.

对数性质的综合应用

[典例] 若a,b是正数,且3a=5b=c,比较3a与5b的大小.

试题情境:课程学习情境.

必备知识:对数的概念,对数的运算性质.

关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.

学科素养:逻辑推理,数学运算.

解:因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,

所以3a-5b=3log3c-5log5c

=-=

=<0,所以3a<5b.

[素养演练] 已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log125.

解:由lg 2=a,lg 3=b,可得log125====.

[例1] 计算:log29·log34;

解:由换底公式可得,

log29·log34=·=·=4.

[例2] 解对数方程:logx4+log2x=3.

解:由logx4+log2x=3,得2logx2+log2x-3=0,

令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,

解得t=1或t=2.

当t=1时,可得log2x=1,即x=2;

当t=2时,可得log2x=2,即x=4.

经检验x=2,x=4均符合题意,

故原方程的解为x=2或x=4.

基础巩固

知识点一:对数的运算性质

1.若ab>0,给出下列四个等式:

①lg(ab)=lg a+lg b;②lg =lg a-lg b;③lg ()2=lg ;④lg(ab)=

.

其中一定成立的等式的序号是(　D　)

(A)①②③④ (B)①②

(C)③④    (D)③

解析:当a<0,b<0时,①②不成立,所以①②中的等式不一定成立;因为ab>0,所以>0,lg ()2=×2lg =lg ,所以③中等式一定成立;当ab=1时,lg(ab)=0,但logab10无意义,所以④中等式不一定成立.故选D.

2. log242+log243+log244等于(　A　)

(A)1 (B)2 (C)24   (D)

解析:原式=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.

3.已知a=log23,b=log25,则log415=(　D　)

(A)2a+2b (B)a+b

(C)ab    (D)a+b

解析:log415=log215=(log23+log25)=a+b.故选D.

4.lg 2+=　　　　. 

解析:lg 2+=lg 2+lg 5=lg 10=1.

答案:1

知识点二:换底公式

5.计算:log2·log3·log5=　　　　. 

解析:原式=··==-12.

答案:-12

6.设a=log23,则4a=　    　　　(用数值表示),=　     　　　.

(用a表示) 

解析:因为a=log23,所以4a===9.

=log436=log26=log2(2×3)=log22+log23=1+a.

答案:9　1+a

能力提升

7.已知2x=3,log2=y,则2x+y=(　A　)

(A)3 (B)4 (C)8 (D)9

解析:2x=3⇒x=log23,y=log2,所以2x+y=2log23+log2=log2(32×)=

log28=3.故选A.

8.设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为(　C　)

(A)     (B)

(C)     (D)

解析:log212=====.故选C.

9.2loga(2M-N)=logaM+logaN,则的值为(　C　)

(A) (B)4 (C)1 (D)或1

解析:由2loga(2M-N)=logaM+logaN,

可得loga(2M-N)2=logaMN,

其中2M-N>0,M>0,N>0,

则(2M-N)2=MN,整理得4M2-5MN+N2=0,

即4()2-+1=0,解得=1或=.

又因为2M-N>0,可得>,所以=1.故选C.

10.(多选题)已知3a=5b=15,则a,b满足下列关系式中的(　ABD　)

(A)ab>4 

(B)a+b>4

(C)a2+b2<4 

(D)(a+1)2+(b+1)2>16

解析:由题意知a=log315=1+log35,

b=log515=1+log53,

所以=+=log153+log155=1,

即a+b=ab.

因为a+b=2+log35+>2+2=4,

所以a+b=ab>4,

a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,

(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>18>16.故选ABD.

11.已知5a=3,3b=2,则log510-ab=　　           　　.

解析:因为5a=3,所以a=log53,同理b=log32.

所以ab=log53·log32=log53·=log52,

所以log510-ab=log510-log52=log5=log55=1.

答案:1

12.计算下列各式的值:

(1)lg 2+lg 50;

(2);

(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+.

解:(1)lg 2+lg 50=lg 100=lg 102=2.

(2)==×=2×=.

(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+=++lg 10-

1+=1+1-1+1=2.

13.已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.

解:因为18b=5,所以log185=b.

所以log3645=====

=.

应用创新

14.已知2y·logy4-2y-1=0,·log5x=-1,试问是否存在一个正数P,使得P=?

解:由2y·logy4-2y-1=0得

2y(logy4-)=0,所以logy4=,即y=16.

由·log5x=-1得=-,

则=-logx5>0.

(logx5+1)=(-logx5)2,

整理得2(logx5)2-logx5-1=0,

解得logx5=-(logx5=1舍去),所以=25.

所以P===3,

即存在一个正数P=3,使得P=成立.