北师大版高中数学必修第一册第四章对数运算与对数函数学案

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§2　对数的运算2.1　对数的运算性质2.2　换底公式核心知识目标核心素养目标1.掌握对数的运算性质.2.能运用运算性质进行化简、求值和证明.3.了解对数的换底公式.1.通过对数的运算性质的应用,培养数学运算素养.2.通过对数的运算性质及换底公式的推导,培养逻辑推理素养.　对数的运算性质[问题1] (1)计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗?(2)计算lg 10,lg 100,lg 1 000及lg 104的值,你能发现什么规律?提示:(1)因为log24=2,log28=3,log232=5,所以log24+log28=log2(4×8)=log232;log232-log28=log2=log24;log232-log24=log2=log28.(2)lg 10=1,lg 100=lg 102=2,lg 1 000=lg 103=3,lg 104=4,可见lg 10n=nlg 10=n.知识点1:对数的运算性质若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R则(1)loga(M·N)=logaM+logaN.(2)loga=logaM-logaN.(3)logaMb=blogaM.[例1] 化简下列各式:(1)4lg 2+3lg 5-lg ;(2)2log32-log3+log38-;(3)log2(1++)+log2(1+-).解:(1)原式=lg =lg(24×54)=lg(2×5)4=4.(2)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.(3)原式=log2[(1++)(1+-)]=log2[(1+)2-()2]=log2=.变式训练1-1:计算:(1)lo27+lg 4+lg 25;(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.解:(1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.(1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.　换底公式及导出公式[问题2] (1)根据对数的定义,你能利用ln 2,ln 3的值求log23的值吗?(2)根据对数的定义,你能用以a为底的对数logaN,logab表示logbN吗(a>0,b>0,N>0,且a≠1,b≠1)?提示:(1)令log23=x,所以2x=3,所以ln 2x=ln 3,所以xln 2=ln 3,x=,即log23=.(2)设logbN=x,那么bx=N,两边同时取以a为底的对数得xlogab=logaN,所以x=,即logbN=.知识点2:换底公式及导出公式(1)换底公式:logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).(2)logab=.(3)logaN=loNn.(4)logaN=loNn.探究角度1　用已知对数式表示对数值[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.解:因为2b=3,所以b=log23,即log32=,log1456=====.变式训练2-1:若把本例中条件“2b=3”换为“3b=2”,其他条件不变,用a,b表示log1456.解:因为3b=2,所以b=log32,又因为a=log37,所以log1456====.变式训练2-2:本例中a不变,b=log36,试用a,b表示log1456.解:因为log36=log33+log32=b,所以log32=b-1.又因为log37=a,所以log1456==.用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.探究角度2　应用换底公式求值[例3] 计算:(1)log1627·log8132;(2).解:(1)log1627·log8132=×=×=×=.(2)原式=×=lo×lo9=×=×=-.变式训练3-1:计算:(1)(log43+log83)·;(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.解:(1)原式=(+)·=·+·=+=.(2)原式=·····===3.(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般需要统一成一种表达形式.对数性质的综合应用[典例] 若a,b是正数,且3a=5b=c,比较3a与5b的大小.试题情境:课程学习情境.必备知识:对数的概念,对数的运算性质.关键能力:逻辑思维能力,运算求解能力.学科素养:逻辑推理,数学运算.解:因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,所以3a-5b=3log3c-5log5c=-==<0,所以3a<5b.[素养演练] 已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log125.解:由lg 2=a,lg 3=b,可得log125====.[例1] 计算:log29·log34;解:由换底公式可得,log29·log34=·=·=4.[例2] 解对数方程:logx4+log2x=3.解:由logx4+log2x=3,得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;当t=2时,可得log2x=2,即x=4.经检验x=2,x=4均符合题意,故原方程的解为x=2或x=4.基础巩固知识点一:对数的运算性质1.若ab>0,给出下列四个等式:①lg(ab)=lg a+lg b;②lg =lg a-lg b;③lg ()2=lg ;④lg(ab)=.其中一定成立的等式的序号是(　D　)(A)①②③④ (B)①②(C)③④    (D)③解析:当a<0,b<0时,①②不成立,所以①②中的等式不一定成立;因为ab>0,所以>0,lg ()2=×2lg =lg ,所以③中等式一定成立;当ab=1时,lg(ab)=0,但logab10无意义,所以④中等式不一定成立.故选D.2. log242+log243+log244等于(　A　)(A)1 (B)2 (C)24   (D)解析:原式=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.3.已知a=log23,b=log25,则log415=(　D　)(A)2a+2b (B)a+b(C)ab    (D)a+b解析:log415=log215=(log23+log25)=a+b.故选D.4.lg 2+=　　　　. 解析:lg 2+=lg 2+lg 5=lg 10=1.答案:1知识点二:换底公式5.计算:log2·log3·log5=　　　　. 解析:原式=··==-12.答案:-126.设a=log23,则4a=　    　　　(用数值表示),=　     　　　.(用a表示) 解析:因为a=log23,所以4a===9.=log436=log26=log2(2×3)=log22+log23=1+a.答案:9　1+a能力提升7.已知2x=3,log2=y,则2x+y=(　A　)(A)3 (B)4 (C)8 (D)9解析:2x=3⇒x=log23,y=log2,所以2x+y=2log23+log2=log2(32×)=log28=3.故选A.8.设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为(　C　)(A)     (B)(C)     (D)解析:log212=====.故选C.9.2loga(2M-N)=logaM+logaN,则的值为(　C　)(A) (B)4 (C)1 (D)或1解析:由2loga(2M-N)=logaM+logaN,可得loga(2M-N)2=logaMN,其中2M-N>0,M>0,N>0,则(2M-N)2=MN,整理得4M2-5MN+N2=0,即4()2-+1=0,解得=1或=.又因为2M-N>0,可得>,所以=1.故选C.10.(多选题)已知3a=5b=15,则a,b满足下列关系式中的(　ABD　)(A)ab>4 (B)a+b>4(C)a2+b2<4 (D)(a+1)2+(b+1)2>16解析:由题意知a=log315=1+log35,b=log515=1+log53,所以=+=log153+log155=1,即a+b=ab.因为a+b=2+log35+>2+2=4,所以a+b=ab>4,a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>18>16.故选ABD.11.已知5a=3,3b=2,则log510-ab=　　           　　.解析:因为5a=3,所以a=log53,同理b=log32.所以ab=log53·log32=log53·=log52,所以log510-ab=log510-log52=log5=log55=1.答案:112.计算下列各式的值:(1)lg 2+lg 50;(2);(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+.解:(1)lg 2+lg 50=lg 100=lg 102=2.(2)==×=2×=.(3)+()+lg 20-lg 2-log32·log23+=++lg 10-1+=1+1-1+1=2.13.已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.解:因为18b=5,所以log185=b.所以log3645======.应用创新14.已知2y·logy4-2y-1=0,·log5x=-1,试问是否存在一个正数P,使得P=?解:由2y·logy4-2y-1=0得2y(logy4-)=0,所以logy4=,即y=16.由·log5x=-1得=-,则=-logx5>0.(logx5+1)=(-logx5)2,整理得2(logx5)2-logx5-1=0,解得logx5=-(logx5=1舍去),所以=25.所以P===3,即存在一个正数P=3,使得P=成立.