初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题当堂检测题

专题13.4  最短路径问题（专项训练）

1．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）

A． B． 

C． D．

、2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

3．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．6

4．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3

5．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝4，P是AD上一动点，E为AB的中点，连接PE，PB，则PB+PE的最小值为 　 　．

6．如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是　  　°．

7．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP＝6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是　 　．

8．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是　 　   　．

9．如图，在等边三角形ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是　  　．

10．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是　  　．

11．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，﹣4）．

（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D，请分别描出并写出点C、D的坐标；

（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB最小（不写作法，保留作图痕迹）

专题13.4  最短路径问题（专项训练）答案

1．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′交直线l于M．

根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．

故选：C．

2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解答】解：连接PC．

∵EF是BC的垂直平分线，

∴BP＝PC．

∴PA+BP＝AP+PC．

∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．

故选：A．

3．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°

【答案】C

【解答】解：如图：

过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AE＝EC，

AF＝FC，

∴∠FAC＝∠FCA，

∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，

∴∠BAD＝∠CAD＝30°，

∴∠ECF＝30°．

故选：C．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．6

【答案】B

【解答】解：连接AD，AM，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴AM＝CM，

当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD，

∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．

故选：B．

4．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3

【答案】C

【解答】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴点E关于AD的对应点为点F，

∴CF就是EP+CP的最小值．

∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，

∴F是AB的中点，

∴CF是△ABC的中线，

∴CF＝AD＝6，

即EP+CP的最小值为6，

故选：C．

5．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝4，P是AD上一动点，E为AB的中点，连接PE，PB，则PB+PE的最小值为 　 　．

【答案】4

【解答】解：连接EC交AD于点P，

∵△BAC是等边三角形，

∴BP＝CP，

∴PB+PE＝PC+PE≥EC，

当E、P、C三点共线时，PB+PE的值最小，

∵E是AB的中点，AD⊥BC，

∴AD＝EC，

∵AD＝4，

∴EC＝4，

∴PB+PE的最值为4，

故答案为：4．

6．如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是　  　°．

【答案】100

【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．

由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，

∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，

∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，

又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，

∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．

故答案为：100．

7．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP＝6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是　 　．

【答案】6

【解答】解作点P关于OB的对称点P'，作点P关于OA的对称点P''，连接P'P''，

则P'P''的长就是△PMN周长的最小值；

在△OP'P''中，OP'＝OP''，

∠AOB＝30°，

∴∠P'OP''＝60°，

∵OP＝6，

∴P'P''＝6；

故答案为6；

8．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是　 　   　．

【答案】128°

【解答】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，

∴AM＝EM，AN＝NF，

∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，

由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，

∵∠BAD＝116°，

∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，

∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，

∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，

故答案为：128°．

9．如图，在等边三角形ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是　  　．

【答案】6

【解答】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴点E关于AD的对应点为点F，

∴CF就是EP+CP的最小值．

∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，

∴F是AB的中点，

∴CF是△ABC的中线，

∴CF＝AD＝6，

即EP+CP的最小值为6，

故答案为6．

10．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是　  　．

【答案】10

【解答】解：∵直线m垂直平分AB，

∴B、C关于直线m对称，

设直线m交AB于D，

∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，

∴△APC周长的最小值是6+4＝10．

故答案为10．

11．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），B（2，﹣4）．

（1）若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C、D，请分别描出并写出点C、D的坐标；

（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB最小（不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：（1）如图所示；C点坐标为；（4，﹣4），D点坐标为：（﹣4，4）；

（2）连接BD交y轴于点P，P点即为所求；