人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程精练

21.3.2 数字、营销、动点问题（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　   　）

A． B．

C． D．

2．小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（         ）

A． B．

C． D．

3．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（       ）

A．17 B．18 C．19 D．20

4．某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接元旦的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每降价5元，则每天可多卖10件．若要平均每天获利2000元，设每件棉衣降价x元，则x满足的等式为（　　 　）

A． B．

C． D．

5．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（         ）

A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500

C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500

6．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（        ）

A． B．

C． D．

7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为12时，则点P运动的时间是（　   　）

A．2s B．3s C．4s D．6s

8．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（         ）

A． B． C． D．

9．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于(           )

A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm

10．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（         ）

A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元

二、填空题(共10个小题)

11．已知一个数的平方减去30的差等于这个数本身，则这个数为_________．

12．一个两位数等于它的两个数字积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，设个位上的数字为x，由此得到方程___________________．

13．两个相邻偶数的积是168，设这两个相邻偶数中较大的数是x，可列方程是______________．

14．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是______元．

15．“疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓．老板决定在抖音直播间降价促销，据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元若要使销售该商品的总利润达到28000元，并能尽快清仓，则每件商品应降价 _____元．

16．商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为__________元时，商场每天盈利达1500元．

17．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过______小时它就会进入台风影响区．

18．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S△DPQ＝28cm2．

三、解答题(共3个小题)

21．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．

22．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．

(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，则平均每年下降的百分率是      ；

(2)2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．

(1)几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；

(2)是否存在时间t使得△DPQ的面积是22？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．

21.3.2 数字、营销、动点问题解析

1．

【答案】B

【详解】解：依题意得：较大的奇数为x+2，

则有：x（x+2）=323．

故选：B．

2．

【答案】C

【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，

由题意得，

故选：C．

3．

【答案】C

【详解】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，

则，，，，

∵最大的数与最小的数乘积是297，

∴，

解得，取正数，．

故选C．

4．

【答案】B

【详解】设每件棉衣降价x元，

根据题意有：．

故选B．

5．

【答案】A

【详解】解：由题意可知，当售价每千克降低元时，每千克的售价为元，此时每天销量为千克，

则可列方程为，

故选：A．

6．

【答案】D

【详解】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，

依题意得：．

故选：D

7．

【答案】A

【详解】解：设动点，运动秒后，能使的面积为15，

则为cm，为cm，由三角形的面积计算公式列方程得：，

解得，（当时，，不合题意，舍去），

动点，运动3秒时，能使的面积为，

故选：A．

8．

【答案】B

【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm，

∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，

∴∠A＝45°，

∵PRBC，

∴∠APR＝90°，

∴PR＝PA＝xcm，

∵▱PQCR的面积为△ABC面积的一半，

∴，

解得：，

∴点P移动的路程为4cm．

故选：B．

9．

【答案】D

【详解】

设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.

故选D.

10．

【答案】B

【详解】解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：

（40-x）（20+2x）=1200，

解得x1=20，x2=10，

∵尽可能让利顾客， ∴x=20．

答：每双鞋应降价20元；

故选B

11．

【答案】6或-5

【详解】解：设这个数为x，

根据题意得：x2-30=x，

解得：x=6或x=-5，

故答案是：6或-5．

12．

【答案】10（x－2）+x=3x(x－2)

【详解】解：由题意，十位上的数字为x－2，则10（x－2）+x=3x(x－2)，

故答案为：10（x－2）+x=3x(x－2)．

13．

【答案】

【详解】设这两个相邻偶数中较大的数是x，则较小的偶数为，根据题意得，

，

故答案为：

14．

【答案】4

【详解】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元

今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元

∴

整理得x2-x-12=0

解得x=4或x=-3

经检验x=4或-3都是分式方程的解（x=-3不合题意，舍去）．

故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．

故答案为：4．

15．

【答案】15

【详解】解：由题意，得

（50-x）（500+20x）=28000

解得x1=10，x2=15

∵需要尽快清仓

∴x=15

故答案为：15．

16．

【答案】150或170

【详解】解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500，

整理得：x2－60x+800=0，

解得：x1=20，x2=40，

所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元，

故答案为：150或170．

17．

【答案】7

【详解】解：由题意，作图如下：

设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：，AB⊥AC，

∵在Rt△ABC中，BC=500km，AB=300km，

∴，

∴，

∴在中，由勾股定理得：，

∴

解得：，（不符合题意，舍去）．

故答案为：7．

18．

【答案】2或4或

【详解】解：如图，过点作于点，则，

，

，

设经过秒后的面积等于，

则，，，

当点在线段上运动时，，

根据题意：，

，，

当点在的延长线上运动时，，

根据题意：，

，（舍，

故经过2秒或4秒或秒后，的面积等于．

故答案为：2秒或4秒或秒．

19．

【答案】1

【详解】解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm

∵△PQC的面积为3cm2，

∴，即，

解得或（不合题意，舍去），

∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．

故答案为：1

20．

【答案】2或4

【详解】解：当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm，

依题意得：12×6-×12t-×6（12-2t）-×2t•（6-t）=28，

整理得：t2-6t+8=0，

解得：t1=2，t2=4．

故答案为：2或4．

21．

【答案】最小的数是5，理由见解析

【详解】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，

由题意得x(x+8)=33，

解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去；

由题意得x(x+8)=65，

解得x1=-13（舍去），x2=5，

所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．

22．

【答案】(1)10%；(2)单价应降低15元

【详解】（1）解：设平均下降率为x，

依题意得：，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．

答：平均下降率为10%．

故答案为：10%．

（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，

依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，

整理得：，

解得：m1＝15，m2＝13．

∵要减少库存，

∴m＝15．

答：单价应降低15元．

23．

【答案】(1)3秒或秒；(2)不存在，理由见解析

【详解】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，

，

四边形是矩形，

，

，，

，

①时，

，

解得：，；

时，

，

②时，

，

，

，

点从点出发沿以1cm/s的速度向终点运动，

，

答：3秒或秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；

（2）不存在，理由如下：

设秒后的面积是22，

．

，

整理得，

该方程无解，

不存在时间使得的面积是22．