北京市通州区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市通州区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共30页。试卷主要包含了计算，已知，求代数式的值，解方程，已知，列分式方程解应用题，每人一天行军会消耗2升米等内容，欢迎下载使用。

北京市通州区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京通州·八年级期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小牧在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”

（1）请你用尺规作图，在图中作出线段的中点，并连接．（保留作图痕迹）
（2）请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证．
已知：_____________．
求证：为直角三角形．
（3）补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点是线段的中点，
∴，
又∵，
∴，
在中，∵，
∴，（___________）（填推理的依据），
同理，在中，．
在中
∵．
∴________，
∴在中， ，
∴为直角三角形．
2．（2022·北京通州·八年级期末）计算：．
3．（2022·北京通州·八年级期末）计算：．
4．（2022·北京通州·八年级期末）已知，求代数式的值．
5．（2022·北京通州·八年级期末）解方程：
6．（2022·北京通州·八年级期末）已知：如图，中，，，分别是，的平分线．请你写出图中的一对全等三角形，并证明．

7．（2022·北京通州·八年级期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．

8．（2022·北京通州·八年级期末）列分式方程解应用题：某种型号的LED显示屏为长方形，其长与宽的比为；若将该显示屏的长、宽各减少2cm，则其长与宽的比值将会变为．求该型号LED显示屏的长度与宽度．
9．（2022·北京通州·八年级期末）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：


（1）；
（2）．
10．（2022·北京通州·八年级期末）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗2升米．
（1）若每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为______天；
（2）若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为______ （用含有的代数式表示）；如果每个士兵雇佣的民夫数量没有上限，在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持的行军天数有没有上限？ ______ （回答“有”或者“没有”）请你说明理由．
11．（2022·北京通州·八年级期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．

（1）求证：直线是线段的垂直平分线；
（2）点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
12．（2021·北京通州·八年级期末）计算：
13．（2021·北京通州·八年级期末）解方程：．
14．（2021·北京通州·八年级期末）如图，点在线段上，，，.求证：.

15．（2021·北京通州·八年级期末）计算：．
16．（2021·北京通州·八年级期末）已知，求代数式的值．
17．（2021·北京通州·八年级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．

(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；
(2)求证：BC＝2AB．
18．（2021·北京通州·八年级期末）为了解某校八年级学生的物理和生物实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）这40个样本数据平均数是　 　，众数是　 　，中位数是　 　；
（2）扇形统计图中m的值为　 　；扇形统计图中“6分”所对的圆心角的度数是　 　；
（3）若该校八年级共有480名学生，估计该校物理和生物实验操作得满分的学生有多少人．

19．（2021·北京通州·八年级期末）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线和直线外一点P．

求作：直线PQ，使直线PQ∥直线．
作法：如图2，

①在直线上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴．
∴．
∴PQ∥（ ）（填推理的依据）．
20．（2021·北京通州·八年级期末）如图，将ABC绕点B顺时针旋转90°得到DBE（点A，点C的对应点分别为点D，点E）．
（1）根据题意补全图形；
（2）连接DC，CE，如果∠BCD＝45°．用等式表示线段DC，CE，AC之间的数量关系，并证明．

21．（2021·北京通州·八年级期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；
（3）直接写出∠AEB的度数；
（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

22．（2020·北京通州·八年级期末）如图，在中，，，请你按照下面要求完成尺规作图．
①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
②再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
③连接并延长交于点．
请你判断以下结论：
①是的一条角平分线；②连接，是等边三角形；③；
④点在线段的垂直平分线上；⑤．其中正确的结论有________（只需要写序号）．

23．（2020·北京通州·八年级期末）计算：．
24．（2020·北京通州·八年级期末）如图，在中，，，点在的延长线上，且，求的度数．

25．（2020·北京通州·八年级期末）当时，求代数式的值．
26．（2020·北京通州·八年级期末）解方程：．
27．（2020·北京通州·八年级期末）已知，且交于点，交于点，交于点．求证：．

28．（2020·北京通州·八年级期末）列方程解应用题
小华和小明两位同学同时为学校元旦联欢会制作彩旗．已知小华每小时比小明多做面彩旗，小华做面彩旗与小明做面彩旗所用时间相等．问小华、小明每小时各做多少面彩旗？
29．（2020·北京通州·八年级期末）如图，在中，．点为边上一点，线段将分为两个周长相等的三角形．若，，求的面积．

30．（2020·北京通州·八年级期末）我们知道，假分数可以化为带分数．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式和的形式）．
例如：①；
②．
（1）将分式化为带分式；
（2）若分式的值为整数，求的整数值；
（3）在代数式中，若，均为整数，请写出所有可能的取值．
31．（2020·北京通州·八年级期末）如图，在中，，．点是射线上一点，点是线段上一点，且点与点关于直线对称，连接，过点作直线，垂足为点，交的延长线于点．

（1）根据题意完成作图；
（2）请你写出与之间的数量关系，并进行证明；
（3）写出线段，之间的数量关系，并进行证明．

参考答案：
1．（1）见详解；（2）在中，是的中线，且；（3）等边对等角；或．
【分析】（1）根据作出AB的垂直平分线，交AB于D，连接CD，问题得解；
（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，问题得解；
（3）根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，即可得到，问题得证．
【详解】（1）解：如图，CD即为所求作的线段，

证明：∵点E、F分别到A、B的距离相等，
∴点E、F分别在AB的垂直平分线上，
∴点D为AB中点，
∴CD即为所求作的线段；
（2）已知：在中，是的中线，且．
求证：为直角三角形．
故答案为：在中，是的中线，且；
（3）证明：∵点是线段的中点，
∴，
又∵
∴，
在中，∵
∴，（等边对等角）（填推理的依据）
同理，在中，．
在中
∵．
∴或，
∴在中， ，
∴为直角三角形．
故答案为：等边对等角；或；
．
【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的中点，几何文字语言、符号语言的转化，等腰三角形性质等知识，熟知相关知识，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键
2．
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．
3．1
【分析】分别根据数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再进行加减运算即可．
【详解】解：


【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．
4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：原式=

，
当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
5．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：两边同时乘以得：




解得：
经检验，是原方程的解
∴原方程的解为，
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
6．，（任选一对即可）；证明见解析（以为例）
【分析】根据等腰三角形的性质确定，根据角平分线的性质确定，再应用全等三角形的判定定理即可证明．
【详解】解：，．
以为例，
证明：∵在中，，
∴，即．
∵，分别是，的平分线，
∴，．
∴．
在和中，
∵
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定定理，综合应用这些知识点是解题关键．
7．答案见解析

【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
【详解】解：如图，
……
[答案不唯一]
【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．
8．长度为8cm，宽度为6cm
【分析】设LED显示屏的长为cm，则宽为cm，根据题意列出方程，解方程即可解决问题，注意分式方程应检验
【详解】解：设LED显示屏的长为cm，则宽为cm.
根据题意列方程得

解得：.
经检验，是原方程的解
则，
答：该LED显示屏的长度为8cm，宽度为6cm.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理确定，，再根据等角的余角相等即可证明；
（2）延长交延长线于点．先根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，再根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，最后根据勾股定理即可证明．
【详解】证明：（1）如下图所示，标出，，．

∵，，
∴，．
∵和是对顶角，
∴．
∴，即．
（2）在（1）中图延长交延长线于点．
由（1）可知，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴．
∴．
∵，即，
∴．
∴．
由（1）可知，即．
在和中，，
∵
∴．
∴．
∴
∵在中，，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理，综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用．
10．（1）25；（2）；有，见解析
【分析】（1）一个士兵四个农夫总共可背升粮食，每天总共消耗升，故可得出背负的米能支持行军的天数．
（2）一个士兵个农夫总共可背升粮食，每天总共消耗升，可得出背负的米能支持行军的天数为；士兵雇佣的民夫数量没有上限，在没有其他粮食补充的情况下，可支持的行军天数为随着的增加而减小，所以支持的行军天使不是无上限的．
【详解】解：（1）由题意可知支持行军的天数为天；
故答案为：25．
（2）①由题意可知支持行军的天数为天；
故答案为：．
②，随着的增加而减小

最多可以支持29天（或者30天）．
故答案是：有．
【点睛】本题考查了列代数式．解题的关键和难点是找出数与数之间的关系．体现了从一般到特殊的思想．
11．（1）见解析；（2）或
【分析】（1）由轴对称的性质和旋转变换的性质得出三角形全等的条件，由SAS推论出，转换证明出，，即可得证所求；
（2）画图可得，有两种情况．
【详解】（1）证明：连接，，

∵点与点关于射线对称，
∴，
∴
∴
∴为等边三角形，
∵
∴

∴在和中，
∴
∴
∵，
∴
又
∴垂直平分
（2）分两种情况来讨论：
第一种情况，如图，当点D在内部时：

∵点与点关于射线对称，
∴
∴
∵
∴

第二种情况，如图，当点D在外部时：
∵点与点关于射线对称，
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考察了线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质和判定以及旋转变换的性质特点，利用旋转变换的性质推论出全等所需的条件，是本题的关键．
12．
【分析】分别进行零指数幂运算、算术平方根运算、立方根运算、绝对值运算即可解答．
【详解】解：原式=
=．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根、立方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解答的关键．
13．无解
【分析】本题的最简公分母是x-2，等式两边都乘以x-2，化简求解，最后检验即可．
【详解】解：原方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，       
检验：把代入最简公分母中，
，
∴是增根，                      
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查的是分式方程，把分式方程转化为整式方程，最后检验是解答本题的关键是．
14．证明见解析
【分析】若要证明∠A=∠E，只需证明△ABC≌△EDB，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC，可得∠ABC=∠BDE，因此利用SAS问题得解.
【详解】∵DE//BC
∴∠ABC=∠BDE
在△ABC与△EDB中
，
∴△ABC≌△EDB（SAS)
∴∠A=∠E
15．
【分析】先利用平方差公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式合并即可．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握化二次根式为最简二次根式是解题的关键．
16．
【分析】直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则进行化简，再把a的值代入即可得出答案．
【详解】解：原式=                      
=                           
=                                        
∵，
∴原式=
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．(1)40°
(2)见解析

【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠EBC，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC=20°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）作EF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BC=2BF，证明Rt△ABE≌Rt△FBE，根据全等三角形的性质证明结论．
（1）
解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC=20°，
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=20°，
∵∠DEC是△EBC的一个外角，
∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；
（2）
证明：过点E作EF⊥BC于点F，

∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，
∴EA=EF，
在Rt△AEB 和Rt△FEB中，
∵，
∴Rt△AEB≌Rt△FEB （HL），
∴AB=FB（全等三角形的对应边相等），
∵EB=EC，EF⊥BC，
∴BC=2FB，
∴BC=2AB．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（1）8.3；9；8；（2）30；36°；（3）84人
【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可；
（2）用1减去6、7、8、10分所占的扇形统计图中的百分比得m所占的百分比，再用360°乘以6分所占的百分算即可得解；
（3）用八年级总人数乘以满分的人数所占的份数计算即可得解．
【详解】解：（1）这40个样本数据平均数是分
由条形图可知：众数是9分，
，所以中位数在从小到大排列第20和第21的平均值，由条形图可知是8分；
故答案为：8.3；9；8；
（2）
故m的值为：30；
，
故所对的圆心角的度数是36°；
故答案为：30；36°；
（3）40名同学中，满分占比为7÷40＝17.5%，
因此八年级全体同学物理和生物实验操作得满分的学生为：17.5%×480＝84（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（1）见解析；（2）AO，∠AOB，OB，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据题中描述即可作图；
（2）根据垂直平分线的性质证明，得到，即可根据平行线的判定定理证明．
【详解】（1）用直尺和圆规，补全图形如下；

（2）证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴，，  
∵，       
∴，
∴，
∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AO，∠AOB，OB，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、平行线的判定定理．
20．（1）见解析；（2）；证明见解析
【分析】（1）根据旋转的定义即可作图；
（2）根据旋转的性质得到，△CBE是等腰直角三角形，得到，由已知条件可得，根据勾股定理和等量替换即可证明．
【详解】（1）根据题意补全图形

（2）结论：.                                                           
证明：由题意可知，.
∴ ，.                             
∴△CBE是等腰直角三角形.
∴.                                    
∵，
∴.                               
在Rt△DCE中.                             
∴．
【点睛】此题主要考查旋转与几何综合，解题的关键是熟知旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质．
21．（1）见解析；（2）；（3）60°；（4）；证明见解析
【分析】（1）根据对称性即可补全图形；
（2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解；
（3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解；
（4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到．
【详解】（1）依题意补全图形；

（2）解： 连接CD.

∵线段AC和DC关于射线CP的对称，
∴，.
∵△ABC是等边三角形，
∴，.
∴，.
∴.
（3）根据对称性可得=
∵
∴∠AEB==60°
（4）结论：.
在EB上截取，连接AF.              

∵，
∴△AEF是等边三角形，
∴，.
∵△ABC是等边三角形，                  
∴，.
∴.
∴ .                 
在△BAF 和△CAE中
∵
∴ △BAF≌△CAE（SAS）                             
∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等）               
∵点A和点D关于射线CP的对称，
∴ AE=DE.                                          
∴．
【点睛】此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用．
22．画图见解析；①②④.
【分析】先按照步骤，进行尺规作图；然后根据角平分线定义、等边三角形判定定理、面积公式、垂直平分线的性质、外角定义逐个判断即可.
【详解】按照已给的步骤，尺规作图结果如图1所示：

如图，连接PC、PM、CM、DM
（1）由圆的半径定义可知，
又


则平分，故①正确；
（2）在中，

又
是等边三角形，故②正确；
（3）由（1）、（2）可得，
则在中，





，故③不正确；
（4）由（3）已证，
则点在线段的垂直平分线上，故④正确；
（5）由（3）已证，，即
则，故⑤不正确
综上，正确的结论有①②④.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、等边三角形的判定定理、垂直平分线的性质等知识点，读懂题意，利用尺规作出图形是解题关键.
23．．
【分析】先化简二次根式，再做二次根式的加减法即可.
【详解】原式

.
【点睛】本题考查了二次根式的加减法法则，利用二次根式的性质进行化简是解题关键.
24．．
【分析】先利用等边对等角可得，再利用外角的定义求解即可.
【详解】在中，

在中，

在中，为的外角

.
【点睛】本题考查了外角的定义、等腰三角形的性质：等边对等角，掌握理解等腰三角形的性质是解题关键.
25．
【分析】先通分去括号，再做分式的除法，最后将a的值代入即可.
【详解】原式



将代入得，原式.
【点睛】本题考查了分式的减法、除法法则，熟记运算法则是解题关键.
26．-1．
【详解】试题分析：去分母，把分式方程化为整式方程．注意要验根．
试题解析：去分母，得，移项、整理得，经检验：是增根，舍去；是原方程的根，所以，原方程的根是．
考点：解分式方程．
27．见解析.
【分析】先利用全等三角形的性质可得，再利用三角形全等的判定定理即可得证.
【详解】


，即
在和中，

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键.
28．小华每小时做面彩旗，小明每小时做面彩旗．
【分析】设小明每小时做面彩旗，从而可得小华每小时做面彩旗，再根据“小华做面彩旗与小明做面彩旗所用时间相等”建立方程求解即可.
【详解】设小明每小时做面彩旗，则小华每小时做面彩旗
由题意得



经检验，为原方程的解
则
答：小华每小时做面彩旗，小明每小时做面彩旗.
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意正确列出方程是解题关键.
29．S=24.
【分析】设，根据和的周长求出AC的长，然后在中，利用勾股定理列出等式求解即可.
【详解】根据题意可知，与的周长相等


设



在中，
，即
，即

故的面积为24.
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意求出的长是解题关键.
30．（1）；（2）的可能整数值为，，，；（3）或．
【分析】（1）根据假分式、真分式的定义，参考例题化简即可；
（2）先将分式化为带分式，再根据整数的性质求解即可；
（3）先将代数式化为带分式，再根据整数的性质求解即可.
【详解】（1）；
（2）
当为整数时，也为整数
则整数为的因数，即可取得的整数值为，
故的可能整数值为，，，；
（3）
当，均为整数时，必有为整数
则整数为的因数，即
故或.
【点睛】本题考查了新定义下的分式化简，理解新定义，分式的化简方法及整数的性质是解题关键.
31．（1）如图见解析；（2）．证明见解析；（3）．证明见解析.
【分析】（1）根据对称性可知，由此可画出点E；再利用三角板画，并延长FE、CB，两者的交点即为点G；
（2）先利用直角三角形的性质求出，再根据外角定义和直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案；
（3）如图（见解析），连接，过点作，垂足为点，再利用对称性和直角三角形两锐角互余的性质得出，再利用三角形全等的判定定理与性质可得，然后在中，得出，从而可得出答案.
【详解】（1）对称性可知，由此可画出点E；再利用三角板画，并延长FE、CB，两者的交点即为点G，作图结果如下所示：

（2），证明过程如下：
∵在中，

又为的外角

在中，

由得；
（3），证明过程如下：
如图，连接，过点作，垂足为点
∵点与点关于直线对称

设
在中，，则
在中，
又




在与中，


又∵在中，

.

【点睛】本题考查了点的对称性、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键.