北京市丰台区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市丰台区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共34页。试卷主要包含了计算，先化简，再求值，解方程，下面是小东设计的尺规作图过程，，可以用来解释完全平方公式等内容，欢迎下载使用。

北京市丰台区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京丰台·八年级期末）计算：．
2．（2022·北京丰台·八年级期末）计算：．
3．（2022·北京丰台·八年级期末）计算：．
4．（2022·北京丰台·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
5．（2021·广西·柳州二十五中八年级期中）如图，点D在AB上，点E在AC上， AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．

6．（2022·北京丰台·八年级期末）解方程：+1＝．
7．（2022·北京丰台·八年级期末）如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．

8．（2022·北京丰台·八年级期末）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt中，°．

求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等．
作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；
③画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠ =∠ .
∵∠=90°，
∴.
∵，
∴（ ）．
9．（2022·北京丰台·八年级期末）北京市以年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力，在永定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长全封闭的马拉松跑道．马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了智慧跑，接着进行了堤上跑，共用时分钟．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的倍，求小明在进行智慧跑和堤上跑时的平均速度．

10．（2022·北京丰台·八年级期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：．

请你解答下面的问题：
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式：_____________；
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽．
11．（2022·北京丰台·八年级期末）在中，，，点是直线上一点，点关于射线的对称点为点. 作直线交射线于点，连接CF．

(1)如图，点在线段上，补全图形，求的大小（用含的代数式表示）；
(2)如果∠°．
①如图，当点在线段上时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
②如图，当点在线段的延长线上（不与点重合）时，直接写出线段，，之间的数量关系．
12．（2022·北京丰台·八年级期末）在平面直角坐标系中，作直线l垂直轴于点（，），已知点（，），点（，），以为斜边作等腰直角三角形，点在第一象限．关于直线l的对称图形是．给出如下定义：如果点M在上或内部，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．

(1)当时，在点（，），（，），（，）中，关于直线l 的“称心点”是 ；
(2)当上只有1个点是关于直线l的“称心点”时, 直接写出的值；
(3)点H是关于直线l 的“称心点”，且总有的面积大于的面积，求的取值范围．
13．（2021·北京丰台·八年级期末）计算：．
14．（2021·北京丰台·八年级期末）计算： ．
15．（2021·北京丰台·八年级期末）计算： ．
16．（2021·北京丰台·八年级期末）解分式方程：．
17．（2021·北京丰台·八年级期末）如图，，，．求证：．

18．（2021·北京丰台·八年级期末）先化简，再求值： 其中．
19．（2021·北京丰台·八年级期末）下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，直线及直线上一点．

求作：， 使得，．

作法：如图，
①在直线上取点；
②分别以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③作直线，交直线于点；
④连接．
就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，．
，
是等边三角形．
．
，
点在线段的垂直平分线上(①）(填推理的依据）．
．
．
(②）(填推理的依据）．
．
20．（2021·北京丰台·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边BC，AC上，DE=DB，∠DEC=∠B．
求证：AD平分∠BAC．

21．（2021·北京丰台·八年级期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有
运用这个运算规律可以计算：
．
请你运用这个运算规律计算： ；
小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的．．．．．第次倒出的水量是的．按照这种倒水的方法，这水能倒完吗?
请你补充解决过程：
①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．
22．（2021·北京丰台·八年级期末）已知：如图，，点在射线上，点在射线上(点在点的右侧），且．点关于直线的对称点为，连接．

(1）依题意补全图形；
(2）猜想线段的数量关系，并证明．
23．（2021·北京丰台·八年级期末）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：如果图上存在一点使得，那么点是图形的“阶关联点”
若点是原点的“阶关联点”，则点的坐标为 ；
如图，在中，，，．
①若点是的“阶关联点”，把所有符合题意的点都画在图中；
②若点是的“阶关联点”，且点在上，求的取值范围．

24．（2020·北京丰台·八年级期末）计算：．
25．（2020·北京丰台·八年级期末）计算：．
26．（2020·北京丰台·八年级期末）已知，求代数式的值．
27．（2020·北京丰台·八年级期末）如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：△ABC ≌ △EDB．

28．（2020·北京丰台·八年级期末）解方程：．
29．（2020·北京丰台·八年级期末）先化简，再求值：（1＋）÷，其中x＝﹣2．
30．（2020·北京丰台·八年级期末）如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．

31．（2020·北京丰台·八年级期末）已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
（1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”；
（2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由．
32．（2020·北京丰台·八年级期末）2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在某小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼Ａ，B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．
     
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为 ．
33．（2020·北京丰台·八年级期末）据媒体报道，在第52届国际速录大赛中我国速录选手获得了7枚金牌、7枚银牌和4枚铜牌，在国际舞台上展示了指尖上的“中国速度”．看到这则新闻后，学生小明和小海很受鼓舞，决定利用业余时间练习打字．经过一段时间的努力，他们的录入速度有了明显的提高．经测试现在小明打140个字所用时间与小海打175个字所用时间相同，小明平均每分钟比小海少打15个字．请求出小明平均每分钟打字的个数．
34．（2020·北京丰台·八年级期末）阅读下面的材料：

利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足，判断△ABC的形状并说明理由．
35．（2020·北京丰台·八年级期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.

（1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；
（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.

参考答案：
1．
【分析】先计算多项式乘以多项式，然后合并同类项即可．
【详解】解：

．
【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握计算法则是解题关键．
2．
【分析】根据求一个数的算术平方根，负整数指数幂，0次幂进行计算即可
【详解】原式=
=.
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，负整数指数幂，0次幂，正确的计算是解题的关键．
3．
【分析】先根据分式的性质化简分式，再根据异分母分式的加减进行计算即可
【详解】原式




【点睛】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．
4．，
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将的值代入求解即可
【详解】原式=
=
=
当时，原式=
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．
5．见解析
【分析】先根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
6．x＝﹣1.5
【分析】根据解分式方程的步骤先去分母，等式两边同时乘以最简公分母3(x+1),将分式方程化为整式方程再求解即可.
【详解】解：方程两边同乘3（x+1）得：
2x+3（x+1）＝3x，
解得：x＝﹣1.5，
经检验x＝﹣1.5是分式方程的解．
【点睛】本题考查的知识点是解分式方程，步骤如下：①去分母方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号.②按解整式方程的步骤移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,把系数化为1 求出未知数的值;③验根求出未知数的值后必须验根.
7．．
【分析】先根据直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义可得，从而可得，，，然后根据线段和差可得，根据平行线的性质可得，最后在中，利用直角三角形的性质即可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键．
8．(1)补全图形见解析
(2)∠，∠，角的平分线上的点到角的两边的距离相等

【分析】（1）按照要求补全图形即可；
（2）读懂证明中的每一个步骤及推理的依据，即可完成．
（1）
补全的图形如下：

（2）
过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠PAM=∠PAN．
∴=90°，
∴.
∵，
∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：∠，∠，角的平分线上的点到角的两边的距离相等

【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，灵活运用它们是关键．
9．小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h．
【分析】设小明进行智慧跑的平均速度为km/h，则小明进行堤上跑的平均速度为km/h. 根据题意，列出分式方程，解方程求解即可，注意要检验
【详解】设小明进行智慧跑的平均速度为km/h，则小明进行堤上跑的平均速度为km/h.
根据题意，列出方程：．
解方程，得．
经检验，是原方程的解且符合实际意义．
∴．
答：小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
10．(1)
(2)长为，宽为．

【分析】（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可；
（2）根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出等式即可．
(1)
解:
(2)
解:

答：由图形可知，长为，宽为．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，面积与代数式恒等式的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．(1)补全图形见解析；
(2)①，证明见解析；②．

【分析】（1）根据题意画图，由点为点关于的对称点，得到，，设，解得，继而得到，据此解题；
（2）①延长至点，使，连接AG，证明△≌△ () ，由全等三角形对应边相等得到，据此解题；
②连接AE，由对称的性质，解得，继而证明△≌△ () ，由全等三角形对应边相等得到，即可解题．
(1)
解：补全图形；

连接AE，
∵点为点关于的对称点，
∴，
设
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
(2)
①
证明：延长至点，使，连接AG

∵
∴
∴△为等边三形，
由（1）知
∴△为等边三角形
∴，
∴
在△与△中，

∴△≌△ ()   
∴
∴
∵
∴
②结论为：．
连接AE，

∵点为点关于的对称点，
∴，EF=FC,
设
∴
∵=AE
∴
∴

∵，
∴

在BE上取点G,使得FG=FA, 连接AG
∴△为等边三角形
∴，
∴
在△与△中，

∴△≌△ ()   
∴
∴

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
12．(1)点，点
(2)
(3)①；②或

【分析】(1)由题意确定C点坐标,从而确定，即可判断关于直线l 的“称心点”；
(2)由图形的轴对称判定即可；
(3) 过点A作直线m∥BC，延长AC至点M，使CM=AC，过点M作n∥BC．分别计算当点B'在直线m上，S△B'BC= S△ABC时 ；当点C''在直线n上，S△C''BC= S△ABC时 a的值，在结合S△HBC＞S△ABC得出的取值范围；
（1）
解：(1)由题意可确定C(3，3) ，
当时，
关于直线l 的“称心点”是点，点；
故答案为：点，点
（2）
解：当上只有1个点是关于直线l的“称心点”时，
点C在直线l上，
所以
故答案为：
（3）
解：过点A作直线m∥BC，延长AC至点M，使CM=AC，过点M作n∥BC．
①当点B'在直线m上时，S△B'BC= S△ABC ．
如图，此时BB'=AB=4，
∴点B'的坐标为
∴.
∵S△HBC＞S△ABC ，
∴．
②当点C''在直线n上时，S△C''BC= S△ABC．
如图，此时C C''=AB=4，

∴点C''的坐标为
∴．
∵S△HBC＞S△ABC．
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的轴对称，掌握图像轴对称的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式的运算法则计算即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
14．
【分析】首先把分式通分，把除法转化成乘法，然后进行约分即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、约分是解答的关键．
15．
【分析】化简平方根、去绝对值符号，再合并即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
16．
【分析】先去分母，解整式方程求出解，再检验即可求解．
【详解】解：


，
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
【点睛】此题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤、正确运算是解题的关键．
17．见解析
【分析】先证明，再根据“SAS”证明即可．
【详解】证明：，
，
即．
在和中，
，
．
．
【点睛】题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
18．；1
【分析】先计算括号中的异分母分式减法，再计算乘法，由得到3x=4y，代入求值即可．
【详解】解：原式

；


原式．
【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握分式的计算法则正确化简分式是解题的关键．
19．（1）见解析；（2），①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②直角三角形的两个锐角互余
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明△ABD是等边三角形，再证明BE是线段AD的垂直平分线，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求．
  
（2）证明：连接，，．
，
是等边三角形，
．
ED，
点在线段的垂直平分线上 (与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
．
，
(直角三角形的两个锐角互余），
．
故答案为：ED；①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②直角三角形的两个锐角互余．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质等知识，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．证明见解析
【分析】过点D作，证明即可得解；
【详解】证明：过点D作，

∴，
∵∠ACB=90°，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点D在的平分线上，
∴AD平分；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．
21．（1）；（2）①，见解析；②按这种方法，容器中的水是倒不完的，见解析
【分析】（1）根据材料中的运算规律，把写成直接运算即可．
（2）①先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简．
②根据①的计算结果可判断始终是小于1的，由此可判断容器中的水是倒不完的．
【详解】
=
=
=；
①
=
=
=(L)
②这水不能倒完，因为，所以无论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于．
因此，按这种方法，容器中的水是倒不完的．
【点睛】本题主要考查阅读材料的能力，分式的运算，读懂材料并理解材料中的运算规律是解决本题的关键．
22．（1）见解析；（2），见解析
【分析】(1)根据要求画出图形即可．
(2)首先根据对称得，可得再根据已知条件得，再根据三角形的内角和与外角可得，，可得出是等边三角形，根据等量代换可得；
【详解】解：图即为所做；

猜想：．
证明：连接．
点关于直线的对称点为，点在射线上，
．

，
．
即．
在中，，





是等边三角形

．
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，三角的内角和，外角定理，等边三角形的判定和性质，属于常考题型．
23．（1）；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据“阶联点”的公式代入数值计算即可；
（2）①根据公式求出点P分别是点A、B、C的“阶关联点”时的坐标，画出三点构成的图形即可；
②由公式可知：点P是某点的 “阶关联点”时，两点的横坐标相同，设点P的坐标为（m，n），由点P分别是点A、B、C的“阶关联点”时得到点P的坐标，即可求出k值，由此得到答案．
【详解】（1）设点P的坐标为（k，c），由题意得，
∴点P的坐标为（0，-1），
故答案为：（0，-1）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
①若点是点A（1，-1）的“阶关联点”，
∴，解得，
∴P1（1,1）；
若点P是点B（-2，-4）的“阶关联点”，
∴，解得，
∴P2（-2,4）；
若点P是点C（0，-6）的“阶关联点”，
∴，解得，
∴P3（0,6）；
故点P的坐标为P1（1,1）或P2（-2,4）或P3（0,6）；

则△P1P2P3是所求P点的图形.
②由公式可知：点P是某点的 “阶关联点”时，两点的横坐标相同，
设点P的坐标为（m，n），
∵点在上，
∴当点P是点的 “阶关联点”，则点P的坐标为（1，-1）
∴k=-1-1=-2，
若，则根据题意有，即P的纵坐标大于-1，此时无法满足P在上；
当点P是的 “阶关联点”，则点P的坐标为（-2，-4），
∴k=-4-4=-8，
当点P是的 “阶关联点”，则点P的坐标为（0，-6），
∴k=-6-6=-12，
若，则根据题意有，即P的纵坐标小于-6，此时无法满足P在上；
∴综上所述，的取值范围．
【点睛】此题考查点与坐标，新定义坐标，二元一次方程组的应用，正确理解新定义列得方程求解坐标是解题的关键．
24．.
【分析】分别计算绝对值、平方根、负指数幂和零次幂，再将结果相加减.
【详解】解：原式
=.
【点睛】本题考查实数的混合运算. 解决此题的关键是熟练掌握平方、绝对值、负指数幂和零次幂的计算.
25．.
【分析】先利用乘法分配律用与括号内两项分别相乘，再化简二次根式即可.
【详解】解：原式=
        =
=.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，二次根式混合运算的运算顺序与实数的混合运算顺序相同，在本题中能用乘法分配律计算是解题关键.
26．5.
【分析】先将化为，再对代数式进行化简，将整体代入即可.
【详解】解：∵，
∴ .
原式
    

.
【点睛】本题考查整式的混合运算，代数式求值——已知式子的值，求代数式的值.在化简过程中掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题关键，在代入值的过程中掌握整体思想，能整体代入是解题关键.
27．详见解析.
【分析】根据平行线的性质易证明∠ABC=∠D，再结合已知条件利用“SAS”即可证明△ABC ≌ △EDB.
【详解】证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠D.     
在△ABC和△EDB中，
AB=ED，
∠ABC=∠D，
BC=DB.     
∴△ABC≌△EDB（SAS）.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质定理.熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键.
28．x=2
【分析】方程两边乘以最简公分母x(x-1)去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解，然后代入最简公分母中进行检验，最后写出分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘x(x﹣1)，得x2﹣x2+x=2x﹣2，
整理，得﹣x=﹣2，
解得，x=2，
检验：当x=2时，x(x﹣1)=2≠0，
则x=2是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟记解法的一般步骤是解决此题的关键，注意分式方程一定要验根．
29．，
【分析】首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入x的值可得答案．
【详解】解：原式＝（＋）•，
＝•，
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝＝．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简．
30．详见解析.
【分析】可先利用“AAS”证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF=∠CEF.
【详解】证明：在△AEB和△DEC中，
∠A=∠D，
∠AEB=∠DEC，
AB=DC.    
∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴EB=EC.
∵F是BC中点，
∴∠BEF=∠CEF.
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键.
31．（1），；（2）不是，理由详见解析.
【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算4和关于1的“平衡数”；
（2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断.
【详解】解：（1）2-4=-2，所以4与-2是关于1的“平衡数”，
，所以与是关于1的“平衡数”
故依次填：，；
（2）不是.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴
=
=
=3.    
∴与不是关于1的“平衡数”.
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算.掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“平衡数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并.
32．（1）详见解析；（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，连接AB，作线段AB的垂直平分线，与l的交点即为O点的位置；
（2）依据线段垂直平分线性质定理即可作答.
【详解】解：（1）如下图，点O为所求：

（2）依据为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质定理，作线段的垂直平分线.理解线段垂直平分线的性质定理，并会用尺规作线段的垂直平分线是解决此题的关键.
33．小明平均每分钟打60个字.
【分析】设小明平均每分钟打个字，则小海平均每分钟打个字,根据“小明打140个字所用时间与小海打175个字所用时间相同”列出分式方程，求解（并验证）即可.
【详解】解：设小明平均每分钟打个字，则小海
平均每分钟打个字.   
根据题意，得.     
解得          .    
经检验：是原方程的解，且符合题意.    
答：小明平均每分钟打60个字.
【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
34．（1）；（2）△ABC是等腰三角形.
【分析】（1）先利用完全平方公式将前三项因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）分别利用提公因式法对等式的左边前两项和后两项因式分解，再利用提公因式法进一步因式分解，即可得出a，b，c的关系，依此判断三角形的形状．
【详解】解：（1）原式=
=
=.    
（2）∵，
∴.
∴ .
∴ 或.
∴ 或.
∴ △ABC是等腰三角形.
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定.（1）中熟练掌握完全平方公式和平方差公式，并能据此正确分组分解是解决此问的关键；（2）能正确分组分解，并根据两数（或式）之积为0，那么这两数（或式）至少有一个为0，得出a，b，c的关系是解题关键.
35．（1）∠DBC；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.
【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；
（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；
（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.
【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD=，BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC；

（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.
理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，
∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，
即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；

（3）AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE.
证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，
∵∠BEC=∠BDC+∠DCE=，
∴△CME是等边三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE，
∴，
∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE，
∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE，
∵AE=DE，
∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.