北京市通州区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

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北京市通州区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

一、解答题
1．（2022·北京通州·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．
2．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在中，，，．求，和．

3．（2022·北京通州·九年级期末）如图，，点B、C分别在AM、AN上，且．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB．

4．（2022·北京通州·九年级期末）已知关于x的二次函数．
（1）如果二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=2，求m的值；
（2）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

5．（2022·北京通州·九年级期末）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC，．

作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC．ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴OAB是等边三角形．
∴．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（ ）（填推理的依据）．
∴．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（ ）（填推理的依据）．
∴ABC就是所求作的三角形．
6．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．

7．（2022·北京通州·九年级期末）已知一个二次函数的表达式为．
（1）当时，若P(，)，Q(，)两点在该二次函数图象上，求的值；
（2）已知点A(，0)，B(，)，二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，直接写出的取值范围．

8．（2022·北京通州·九年级期末）如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．

9．（2022·北京通州·九年级期末）二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数的图象上．
（1）求点B的坐标（用含的代数式表示）；
（2）二次函数的对称轴是直线 ；
（3）已知点(，)，(，)，(，)在二次函数的图象上．若，比较，，的大小，并说明理由．

10．（2022·北京通州·九年级期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．

11．（2022·北京通州·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．
（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ．
（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；
（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．

12．（2021·北京通州·九年级期末）如图，与交于点，，，，，求的长．

13．（2021·北京通州·九年级期末）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…


…


…
y
…


…


…

（1）该二次函数的对称轴为 ；
（2）求出二次函数的表达式．
14．（2021·北京通州·九年级期末）下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，
①作射线OP；
②以点P为圆心，PO为半径作⊙P，与射线OP交于另一点B；
③分别以点O，点B为圆心，大于PO长为半径作弧，两弧交射线OP上方于点D；
④作直线PD；
则直线PD即为所求．
根据小付设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ ，，
∴ （____________）（填推理的依据）．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PD是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．
15．（2021·北京通州·九年级期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点，．
（1）求出反比例函数表达式及的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．

16．（2021·北京通州·九年级期末）如图，在中，．以为直径作⊙，交于点，连接．作平分线，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．

17．（2021·北京通州·九年级期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
（1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…








…
y
…




n



…

则n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1）

18．（2021·北京通州·九年级期末）如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形．连接，与正方形交于点，，连接，．

（1）求的值（用表示）；
（2）求证：；
（3）写出线段，，之间的数量关系，并证明．
19．（2021·北京通州·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点纵坐标（用含有的代数式表示）；
（3）已知点．将点向下移动一个单位，得到点．若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围．

20．（2021·北京通州·九年级期末）点为平面直角坐标系中一点，点为图形上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“宽度”．

（1）如图，⊙半径为2，与轴，轴分别交于点，，点．
①在点视角下，⊙的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________；
②点为轴上一点．若在点视角下，线段的“宽度”为，求的取值范围；
（2）⊙的圆心在x轴上，半径为，直线与x轴，y轴分别交于点，．若线段上存在点，使得在点视角下，⊙的“宽度”可以为，求圆心的横坐标的取值范围．

21．（2020·北京通州·九年级期末）计算：.
22．（2020·北京通州·九年级期末）如图，在中，于点.若，求的值.

23．（2020·北京通州·九年级期末）把二次函数表达式化为的形式.
24．（2020·北京通州·九年级期末）如图，在正方形网格上有以及一条线段.请你以为一条边.以正方形网格的格点为顶点画一个，使得与相似，并求出这两个三角形的相似比.

25．（2020·北京通州·九年级期末）已知某二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表.求此函数表达式.

26．（2020·北京通州·九年级期末）将矩形纸片沿翻折，使点落在线段上，对应的点为，若，求的长.

27．（2020·北京通州·九年级期末）如图:在平面直角坐标系中，点.
(1)尺规作图:求作过三点的圆;
(2)设过三点的圆的圆心为M，利用网格，求点M的坐标;
(3)若直线与相交，直接写出的取值范围.

28．（2020·北京通州·九年级期末）已知：点和是一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，点关于轴的对称点为，直线以及分别与轴交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若，求的取值范围。

29．（2020·北京通州·九年级期末）如图，在钝角中，点为上的一个动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交线段于点. 已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离ycm.

小牧根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，请补充完整:
(1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是 ；
(2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表:


0.51
1.02
1.91
3.47
3
4.16
4.47



3.97
3.22
2.42
1.66
a
2.02
2.50


通过测量。可以得到a的值为 ；
(3)在平而直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

(4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为 cm.
30．（2020·北京通州·九年级期末）在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点和.
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求的取值范围.

31．（2020·北京通州·九年级期末）如图，于点,为等腰直角三角形，，当绕点旋转时，记.
(1)过点作交射线于点，作射线交射线于点.
①依题意补全图形，求的度数;
②当时，求的长.
(2)若上存在一点，且，作射线交射线于点，直接写出长度的最大值.

32．（2020·北京通州·九年级期末）如图，在平面内。点为线段上任意一点.对于该平面内任意的点，若满足小于等于则称点为线段的“限距点”.

（1）在平面直角坐标系中，若点.
①在的点中，是线段的“限距点”的是 ；
②点P是直线上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标的取值范围.
（2）在平面直角坐标系中，若点.若直线上存在线段AB的“限距点”，请直接写出的取值范围

参考答案：
1．，
【分析】直接把点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点；
∴，
解得：，
∴
∴对称轴为直线，
∴，
∴顶点的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
2．，，
【分析】根据题意先利用勾股定理得出，进而依据正弦、余弦和正切的定义进行计算即可.
【详解】解：在中，，，，
∴
∴，，.
【点睛】本题考查求三角函数值和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值的求法是解题的关键.
3．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答；
（2）根据三角形外角的性质及角平分线的性质证明，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图：

（2）∵，
∴，
∵BD平分∠MBC，
∴，
∵是△ADB的一个外角，
∴，
∴.
∵，
∴△ABC∽△ADB．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．（1）；（2）
【分析】（1）求出抛物线的对称轴直线，根据AB=2求出A、B点坐标，代入函数关系式求出m的值即可；
（2）求出函数图象的顶点坐标，根据“对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1”列出不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：（1）二次函数图象的对称轴为直线，
∵A，B两点在x轴上（点A在点B的左侧），且AB=2，
∴A（，），B（，）
把点（，）代入中，
∴，
∴.
（2）∵对称轴为直线，
∴，
∴二次函数图象顶点坐标为（2，），
∵二次函数图象的开口方向向上，
∴二次函数图象有最低点，
∵若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是二次函数与数轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
5．（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】（1）根据题意补全图形；
（2）根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可．
【详解】（1）作图正确；

（2）证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴OAB是等边三角形．
∴．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．
∴．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）．
∴ABC就是所求作的三角形，
故答案是：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【点睛】本题是圆的综合题、作图、考查了圆周角定理、垂直平分线、等腰三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及作图的基本能力．
6．见解析
【分析】由题意易得AB⊥CD，，则有，由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求证．
【详解】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴，
∴，
∵CF∥BD，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键．
7．（1）；（2）或或
【分析】（1）当时，确定函数解析式，然后求出对称轴，由P（，），Q（，）两点纵坐标相同，则两个点关于对称轴对称，由此求解即可得；
（2）由函数解析式可得：二次函数一定经过，分三种情况讨论：①当抛物线对称轴的右半部分经过点；②当抛物线对称轴的左半部分经过点；③当抛物线只与x轴有一个交点时，分别结合图形进行分析求解即可得．
【详解】解：（1）当时，
二次函数表达式为，
∴对称轴为直线，
∵P（，），Q（，）两点在该二次函数图象上，且关于对称轴对称，
∴，
∴；
（2）①根据题意可得：二次函数一定经过，当抛物线对称轴的右半部分经过点，如图所示：

时，，
解得：；
②当抛物线对称轴的左半部分经过点，如图所示：

时，，
解得：；
③如图所示，当抛物线只与x轴有一个交点时，

∴；
综上可得：a的取值范围是或或．
【点睛】题目主要考查二次函数图象的基本性质，及根据函数图象确定参数的取值范围，理解题意，作出相应图象进行分析是解题关键．
8．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】证明：（1）连接OC，

∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝，
∵∠ABC＝，
∴∠AOC＝2∠ABC＝，
∵∠AOC+∠OCE＝，
∴AD∥EC；
（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠AOC＝，OA＝OC，
∴∠OAC＝，
∵∠BAC＝，
∴∠BAD＝，
∵AD∥EC，
∴，
∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，
∴四边形OAFC是矩形，
∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AFE中，，
∴AE=2AF=6．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．（1）B(4，)；（2）；（3），见解析
【分析】（1）根据题意，令，即可求得的坐标，根据平移的性质即可求得点的坐标；
（2）根据题意关于对称轴对称，进而根据的坐标即可求得对称轴；
（3）根据（2）可知对称轴为，进而计算点与对称轴的距离，根据抛物线开口朝下，则点离对称轴越远则函数值越小，据此求解即可
【详解】解：（1）∵令，
∴，
∴点A的坐标为（0，），
∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（4，）.
（2） A的坐标为（0，），点B的坐标为（4，）
点都在在二次函数的图象上．即关于对称轴对称
对称轴为
（3）∵对称轴是直线，，
∴点（，），（，）在对称轴的左侧，
点（，）在对称轴的右侧，
∵，
∴，
∴，
，

∵，
∴.
【点睛】本题考查了平移的性质，二次函数的对称性，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（1）2；（2），理由见解析
【分析】（1）由已知条件∠BOE＝∠BAO，且公共角，证明△OBE∽△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得；
（2）延长OE到点F，使得，连接AF，FB，证明△AOF≌△DOC，进而可得，即
【详解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，
∴△OBE∽△ABO，
∴，
∵AB＝，E为AB的中点，
∴
∴，
∴（舍负）.
（2）线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，
证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.

∵
∴四边形AFBO是平行四边形，
∴，，
∴，
∵∠AOB+∠COD＝，
∴，
∵OB＝OC，
∴，
在△AOF和△DOC中，
，
∴△AOF≌△ODC，
∴
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键．
11．（1）0，；（2）；（3）
【分析】（1）根据新定义，即可求解；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；
（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．
【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．
∴，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，
∴d（A，⊙O）＝，
∴d（B，⊙O）＝；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，

∵点A(，0)，B(0，)．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴，
∵d（⊙O，线段AB）=0，
∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，
∴r的取值范围是，
（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，

∵点A(，0)，B(0，)．
∴ ，
∴ ，
∴∠OAB=60°，
∵C(m，0)，
当点C在点A的右侧时， ，
∴ ，
∴ ，
∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，
∴ ，解得： ，
当点C与点A重合时， ，
此时d（⊙C，线段AB）=0，
当点C在点A的左侧时， ，
∴
，
∴ ，解得： ，
∴．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．
12．
【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出AB的长．
【详解】据题意，；
又∵ ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，，，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
13．（1）直线x＝1；（2）
【分析】（1）利用表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）根据抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），则可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x-3），然后把（0，3）代入求出a即可．
【详解】解：（1）表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
这两个点关于抛物线的对称轴对称，
所以，抛物线的对称轴为直线x＝1；
故答案为：直线x＝1
（2）方法一：∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
∴设抛物线解析式为：；
∵把代入得，

解得，；
∴抛物线的解析式为：，即；
方法二：据题意，该函数过点，，代入
得；
解得：  ；
∴抛物线解析式为：．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性和用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线上已知点的特征，设不同的解析式，有利于迅速解题．
14．（1）见解析；（2）垂直平分线的判定；经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）由题中所给尺规作图方法可直接作图；
（2）由题意可直接进行求解．
【详解】（1）由题意可得：

作出⊙，标记点；
作出点；
作出直线；
∴DP即为所求直线；
（2）证明：∵ ，，
∴ （垂直平分线的判定），
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PD是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线）；
故答案为垂直平分线的判定；经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
15．（1）；；（2）
【分析】（1）将点代入可求得m，再将代入可求a
（2）不等式的解集即为的函数图像在的函数图像上方的部分，根据函数图像和A、B点的坐标即可得出结果．
【详解】解：（1）∵点在函数上
∴

又∵点在函数上
∴
（2）由题意可得图像如图所示：

由图像可得，当的函数图像在的函数图像上方时，
或
不等式的解集为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像和性质，熟记函数的图像和性质，熟练运用数形结合思想是解决本题的关键．
16．（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可证∠ADB=90°，进而有∠1+∠3=90°，再根据角平分线定义可得∠1=∠2，然后由∠2+∠5=90°和对顶角相等证得∠4=∠5，再根据等腰三角形的等角对等边即可证得结论；
（2）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半和锐角三角函数分别求得BD、BC、BE，进而可求得DF的长．
【详解】（1）如图，

∵为⊙直径 ，                          
∴，
∴，
∵，
∴ ，    
∵CE为的角平分线  ，，          
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ；    
（2）在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴＝ ＝，∠ACB=60°，
在中，
∵，＝ ，
∴＝ ＝，
∴＝，
∴．
【点睛】本题考查圆的基本性质、角平分线的定义、对顶角相等、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、锐角的三角函数，熟练掌握圆的直径所对的圆周角为直角和含30°角的直角三角形的性质是解答的关键．
17．（1）无；（2）-4；（3）见解析；（4），或
【分析】（1）根据函数式满足的条件判断出，所以与y轴没有交点；              
（2）把x=1代入函数式即可；                    
（3）根据表格坐标点描点连线即可；
（4）将表示为函数的形式，找函数图像与x轴的交点即可．
【详解】由题意可得：，故与y轴无交点；
故填：无；
把x=1代入函数式，得：n=−4 ；
故填：；
根据表中数据描点连线如图：

将表示为函数的形式，即函数与x轴的交点，根据图像可得：，或；
故填：，或．
【点睛】此题考查函数与方程的关系，会根据函数表达式做函数图像，观察函数图象找出其与坐标轴的交点．
18．（1）；（2）见解析；（3），见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得出△BAG为等腰三角形即可求解；
（2）先根据等腰三角形求出∠CEB的度数（用表示），再由外角的性质求出∠AHE的度数（用表示），根据内错角相等即可求证；
（3）延长构造平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证．
【详解】（1）由旋转得，
     ∴
（2）∵，
     ∴
又∵
∴∠CEB=∠EHA
∴ ．
（3）如图延长到使，联结，

∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
即                               
又∵
∴四边形为平行四边形
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【点睛】此题主要考察了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定；解题的关键是掌握平移的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定，以及正确作出辅助线．
19．（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）由题意得点A、B是关于对称轴对称的两个点，进而可根据二次函数的对称性求解对称轴即可；
（2）由题意易得二次函数解析式为，则有，进而问题可求解；
（3）由题意可分当时，则顶点坐标为，求得；当时，则将点代入抛物线可求，进而利用图像法可求解．
【详解】解：（1）由题意得点A、B是关于对称轴对称的两个点，
∴二次函数的对称轴为直线；
（2）∵抛物线与轴交于，，
∴设，即，
∴，
∴点C的纵坐标为；
（3）由题意得：
当时，则抛物线的顶点为，
不妨当时，则；如图所示：

当时，不妨将点代入抛物线得：
，
解得：；
∴当时，抛物线与线段只有一个交点．

综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个交点．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
20．（1）①4；2；②或；（2）当时，；当时， 为任意实数；当时， 为无值．
【分析】（1）①先求出OP=，再求出PQ的最大值与最小值，计算⊙的“宽度”为= PQ的最大值与PQ的最小值的差；求出PA最大值，PB最小值，计算线段的“宽度”为=5-3=2，
②分类考虑点M的位置，当在点右侧时，当时，PA最大-PM最小，
当，PA最大=5，最小=3，PA-3=2，当m,PM最大值，在AM上的最小值为3，PM最大-3，当在点左侧时， 综合即可；
（2）先求，坐标，确定∠EDO=30º，由⊙的“宽度”为，分三种情况，当时点出现在⊙内部，其轨迹为以点为圆心，半径为1的圆．当在点左侧时，圆C与ED相切, ，当在点右侧时，综合；当时，在圆外任何一点的视角下，⊙的“宽度”均为，为任意实数；当时，在圆外任何一点的视角下，⊙的“宽度”均为小于2，为无值．
【详解】（1）①OP=，
PQ的最小值=，PQ的最大值=，
⊙的“宽度”为= PQ的最大值- PQ的最小值=-=4，
A（-2，0），B（2，0），
PB=3，PA=，
线段的“宽度”为=5-3=2，
故答案为：4；2；

②当在点右侧时，当时，为最大值，PM为最小值，此时PA-PM，当m,当PM=PA=5时，，m=6，PA最大=5，最小值=3，PA-3=2，
∴；
当m,PM为最大值，在AM上的最小值为3，PM-3，

当在点左侧时，，根据定义，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或时，线段的“宽度”为，
（2）直线与x轴，y轴分别交于点，．
当时，，E（0，），
当时， ，，D(6，0)，
∴tan∠EDO=，
∴∠EDO=30º，
∵⊙的“宽度”为，
当时，
∴点出现在⊙内部，其轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，
又∵点在线段上，
∴该轨迹圆需要与线段有交点，

当在点左侧时，圆C与ED相切, ，
∴ ，

当在点右侧时，


综上所述，；
当时，在圆外任何一点的视角下，⊙的“宽度”均为，
所以为任意实数．
当时，在圆外任何一点的视角下，⊙的“宽度”均为小于2，
所以为无值，
【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读题目，理解新定义的含义，掌握点为图形上一点．线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“宽度”．是解题关键，
21．
【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
【详解】原式=


【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
22．
【分析】（1）要求的值，应该要求CD的长.证得∠A=∠BCD，然后有tanA= tan∠BCD，表示出两个正切函数后可求得CD的长，于是可解.
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴tanA= tan∠BCD，
∴,
∴,
∴CD=,
∴tanA= .
【点睛】本题考查了直角三角形三角函数的定义，利用三角函数构建方程求解有时比用相似更简便更直接．
23．
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【详解】解：
=x2-4x+4-4+c
=（x-2）2+c-4，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
24．图见解析，与的相似比是.
【分析】可先选定BC与DE为对应边，对应边之比为1:2，据此来选定点F的位置，相似比亦可得.
【详解】解：如图，与相似.

理由如下：
由勾股定理可求得，,BC=2, ; ,DE=4,,
∴,
∴∽，相似比是.
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用网格得出三角形各边长度是解题关键．
25．
【分析】观察图表可知，此二次函数以x=1为轴对称，顶点为（1，4），判断适合套用顶点式y=a（x-h）2+k,得到，再将除顶点外的任意已知点代入，如点（-1，0），得 a = -1.故所求函数表达式为
【详解】解：观察图表可知，当x=-1时y=0，当x=3时y=0，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∴设，
∵当x=-1时y=0，
∴，
∴=-1，
∴.
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，这类问题首先应考虑能不能用简便方法即能不能用顶点式和交点式来解，实在不行用一般形式.此题能观察确定出对称轴和顶点的坐标是关键.
26．10
【分析】设，根据三角函数表示出其它线段，最终表示出BE、AB，然后在三角形ABE中根据勾股定理即可求出AB.
【详解】解： ∵是矩形，沿翻折
∴，BE=EF，∠AFE=∠B=∠D =，
∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC=,
∴∠DAF=∠EFC,
∴,
设，则
∴,
∴,
∴AD=8k，
∴，
∴，
∴,
∴,
∵,
∴，
∴,
∴.
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数的定义以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
27．（1）见解析；（2）M(1,3)；（3）
【分析】(1) 作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；
(2)AB的中点即为圆心M，由此可解；
(3)求出半径，即可知直线与相切时a的值，由此可得相交时的取值范围.
【详解】解：(1) 如图即为所要求作的过三点的圆；
作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可.

(2) 由图可知， ∠AOB=，所以AB是所求作圆的直径，
因为AB中点的坐标为(1,3),
即所求圆心M的坐标是(1,3).
（3）由圆心M和圆上任意点可求出半径r=AM=BM=，
∴当a=1-或1+时，直线与相切，
∴当 时，直线与相交.
【点睛】本题考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握切线时的有关计算是解题的关键.
28．（1）y＝；（2）k≥2或k≤-10．
【分析】（1）将点A（-1，-4）代入反比例函数，即可求解；
（2）根据反比例函数和一次函数的图象，分两种情况进行讨论当P在第一象限或第三象限时，即可得k的取值范围．
【详解】解：（1）将点A（-1，-4）代入反比例函数，
得m=4，
所以y＝；
（2）当P在第一象限时，当PP′≥MN时,过点A作AC⊥PP’于点C，交x轴于点B，如图1

∵MN∥PP′，AC⊥MN
∴△AMN∽△APP'
∴
得P（2，2），
直线AP表达式为y=2x-2，
当PP′≥MN时，k≥2；
当P在第三象限时，如图2,当PP′≥MN时,过点A作AC⊥P P′于点C，交x轴于点B，

∵MN∥PP′，AC⊥MN，
∴△AMN∽△A PP′,
∴,
∴AC=6,
∴点P的纵坐标是-10，
把y=-10，代入y＝中得x=-,
∴P的坐标为（-，-10），
一次函数的解析式为y=-10x-14,
当PP′≥MN时k≤-10．
所以k的取值范围是：k≥2或k≤-10．
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用函数图象解答．
29．（1）0≤x ≤5；（2）1.74；（3）见解析；（4）0.8或者4.8.
【分析】（1）考虑点P的临界位置∠APB=60°时，D与B重合，计算出此时的PB长，即可知x的取值范围；
（2）根据图形测量即可；
（3）描点连线即可；
（4）画直线y=3.5与图象的交点即可观察出x的值.
【详解】（1）如图1，当∠APB=60°时，D与B重合，作PE⊥AC于E，

∵∠C=30°，∠APB=60°，
∴∠CAP=30°,
∴PC=AP，
∴CE=AE=,
∴PC=2,
∴PB=5,
∴0≤x ≤5 ；
（2）测量得a=1.74；
（3）如下图所示，
  
（4观察图象可知，当y=3.5时 x=0.8或者4.8.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及描点法画函数图象，利用图象求近似值，体现了特殊到一般，再由一般到特殊的思想方法.
30．（1）（0,2）；（2）；（3）m=2或.
【分析】（1）是顶点式，可得到结论；
（2）把A点坐标代入得方程，于是得到结论；
（3）分两种情况：当抛物线开口向上或向下时，分别画出图形，找到临界位置关系，求出m的值，再进行分析变化趋势可得到结论．
【详解】（1）是顶点式，顶点坐标为；
（2）∵抛物线经过点，
∴m=9m +2，
解得： ，
∴
(3)如图1，当抛物线开口向上时，抛物线顶点在线段上时， ；
当m>2时，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段与抛物线一定有两个交点，不符合题意；
如图2，当抛物线开口向下时，抛物线顶过点时， ；
直线x=-3交抛物线于点（-3，9m+2）,当时，9m+2 综上所述，当或 时，抛物线与线段只有一个公共点.

【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考虑特殊情况是关键，考查了数形结合的数学思想．
31．（1）①见解析， 45°②7；（2）见解析，
【分析】（1）①作于点H,交的延长线于点，证明∆AHO≌∆AGB, 即可求得∠ODC的度数；
②延长交于点，利用条件可求得AK、OK的长度，于是可求OD的长；
（2）分析可知，点B在以O为圆心，OB为半径的圆上运动（个圆），所以当PB是圆O的切线时，PQ的值最大，据此可解.
【详解】解：（1）①补全图形如图所示，过点作于点H,交的延长线于点，

∵，，，
∴∠AGB=∠AHO=∠C =，
∴∠GAH=，
∴∠OAH+∠HAB=∠GAB+∠HAB=,
∴∠OAH =∠GAB, 四边形为矩形，
∵为等腰直角三角形，
∴OA=AB,
∴∆AHO≌∆AGB,
∴AH=AG,
∴四边形为正方形，
∴∠OCD=45°，
∴∠ODC=45°；
②延长交于点，

∵，OA=5，
∴AK=4,
∴OK=3,
∵∠ODC=45°，
∴DK=AK=4
∴ ；
（2）如图，

∵绕点旋转，
∴点B在以O为圆心，OB为半径的圆上运动（个圆），
∴当PB是圆O的切线时，PQ的值最大，
∵
∴
∴∠OPB=45°,
∴ OQ=OP=10，
∴.
∴长度的最大值是.
【点睛】本题考查了与旋转有关的计算及圆的性质，作辅助线构造全等三角形、分析出点的运动轨迹是解题关键.
32．（1）①E；②；（2）.
【分析】（1）①分别计算出C、D、E到A、B的距离，根据“限距点”的含义即可判定；
②画出图形，由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，据此可解；
（2）画出图形，可知当时，直线上存在线段AB的“限距点”，据此可解.
【详解】（1）①计算可知AC=BC= ，DA= ，DB= ，EA=EB=2，
设点为线段上任意一点，则
, , ,
∴,
∴点E为线段AB的“限距点”.
故答案是：E.
②如图,作PF⊥x轴于F,

由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，
∵直线与x轴交于点A(-1,0),交y轴于点H（0，），
∴∠OAH=30°,
∴当AP=2时，AF=，
∴此时点P的横坐标为-1，
∴点P横坐标的取值范围是 ；
（2）如图，直线与x轴交于M，AB交x轴于G，
∵点A(t,1)、B(t，-1),
直线与x轴的交点M(-1,0)，与y轴的交点C(0,)，
∴，
∴∠NMO=30°，
①当圆B与直线相切于点N，连接BN，连接BA并延长与直线交于D(t,)点，
∵∠NBD=∠NMO=30°，
∴，
即 ,
解得： ；

②当圆A与直线相切时，

同理可知：
∴ .
【点睛】本题考查了一次函数、圆的性质、两点间的距离公式，是综合性较强的题目，通过做此题培养了学生的阅读能力、数形结合的能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．