人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体课后练习题

9.2.4 总体离散程度的估计 (精讲）

一、必备知识

知识点1：总体离散程度的估计

（1）极差

一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.

（2）方差与标准差

一组数据，，，，用表示这组数据的平均数，

则这组数据的方差：；

标准差：

（3）总体方差和标准差

如果总体中所有个体的变量值分别为,,总体平均数为，则称

为总体方差，为总体标准差．

（4）样本方差和标准差

如果一个样本中个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称

为样本方差，为样本标准差．

（5）加权方差

如果总体的个变量值中，不同的值共有()个，记为,,，其中出现的频数为()，则总体方差为.

二、重点题型

题型1:标准差与方差的应用

1．（2022·甘肃靖远·高一期末）某单位需要选派一名职工去参加市工会组织的自行车争先赛，该单位对甲､乙两名骑行爱好者进行了选拔测试，在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：），其数据如下表所示：

分别求出甲､乙两名骑行爱好者最大速度的数据的平均数､方差，并以此为依据判断选谁参加比赛比较合适.

2．（2022·陕西金台·高三阶段练习（文））2022年9月15日20时，中华人民共和国第十四届运动会在西安奥体中心体育场盛大开幕，会歌《追着未来出发》将百年梦想与健康中国高度融合，标志着我国竞技体育水平的提高以及对竞技体育的重视，也激励着广大体育爱好者为梦前行．少年有梦，不应止于心动，更要付诸于行动，某篮球运动爱好者为了提高自己的投篮水平，制定了一个短期训练计划，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为42.5分2．执行训练后也统计了10场比赛的得分，分别为：14、9、16、21、18、8、12、23、14、15（单位：分）．

（1）请计算该篮球运动员执行训练后统计的场比赛得分的中位数、平均得分与方差．

（2）如果仅从执行训练前后统计的各场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？

3．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：单位：（cm）

甲：9，10，11，12，10，20

乙：8，14，13，10，12，21．

分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．

4．（2022·全国·高一课时练习）某化肥厂甲､乙两个车间负责包装肥料，在自动包装传送带上每隔30秒抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：

甲：102，111，89，98，103，98，99；

乙：104，111，87，100，99，98，101.

（1）这种抽样方法是那种抽样方法？

（2）计算这两组数据的平均数和方差，说明那个车间的产品比较稳定.

题型2：用平均数和标准差分析数据

1．（2022·全国·高三专题练习（理））机床生产一批参考尺寸为的零件，从中随机抽取个，量得其尺寸如下表(单位：)：

参考数据：取.

（1）求样本零件尺寸的平均值与标准差；

（2）估计这批零件尺寸位于的百分比.

2．（2022·全国·高三专题练习）某工厂36名工人年龄数据如下表：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值和方差；

（3）36名工人中年龄在和之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到）？

3．（2022·全国·高三开学考试（理））十九大首次将“劳”写入社会主义教育方针之中．唐中为了深入贯彻“五育”（德智体美劳）精神，分批组织学生去西夏区某工厂进行劳动实践活动．该工厂主要生产内径为的汽车配件，厂技术员提供给学生50个样本数据如下：（单位：）              这里用表示有n件尺寸为的零件．

（1）求这50件零件内径尺寸的平均数；

（2）设这50件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在内的件数．（参考数据：取）

4．（2022·全国·高三专题练习（理））某校医务室随机抽查了高一10位男同学的体重(单位：kg)如下：

74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

（1）估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；

（2）高一10位男同学的体重数据中，位于[－s，＋s]内的有几个？所占的百分比是多少？

题型3：求总体平均数和总体方差、标准差

1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为分的选做题，学生可以从两道题目中任选一题作答．某校有名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为的样本，为此将名学生的选做题的成绩随机编号为，，，．

（1）若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字为起点，从左向右依次读数，每次读取三位随机数，一行数读完之后接下一行左端写出样本编号的中位数．

05  26  93  70  60    22  35  85  15  13    92  03  51  59  77

59  56  78  06  83    52  91  05  70  74    07  97  10  88  23

09  98  42  99  64    61  71  62  99  15    06  1  29  16  93

58  05  77  09  51    51  26  87  85  85    54  87  66  47  54

73  32  08  11  12    44  95  92  63  16    29  56  24  29  48

26  99  61  65  53    58  37  78  80  70    42  10  50  67  42

32  17  55  85  74    94  44  67  16  94    14  65  52  68  75

87  59  36  22  41    26  78  63  06  55    13  08  27  01  50

15  29  39  39  43

（2）若采用分层随机抽样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中选择题目的成绩有个，平均数为，方差为；样本中选择题目的成绩有个，平均数为，方差为．试用样本估计该校名学生的选做题得分的平均数与方差．

2．（2022·山东烟台·高一期末）为调查高一､高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一､高二学生中分别抽取了50人､40人参加心理健康测试(满分：10分).经初步统计，参加测试的高-学生成绩的平均分，方差，高二学生的成绩的统计表如下：

（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；

（2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分和方差.

3．（2020·全国·高一课时练习）在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出，不能，说明理由.

题型4：频率分布直方图与数字特征的综合应用

1．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）某个学校抽100名学生，进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如下，满分100分.

（1）求表格中的的数值；

（2）分数段的学生成绩如下：86､80､81､80､81､82､84､87､87､89､84､83､85；求100名学生成绩的86百分位数；

（3）的学生成绩的方差为2.2，平均分为67，的学生成绩的方差为3.1，平均分为76，求分数段的学生的总体方差.（结果精确到0.01）

2．（2022·全国·高一课时练习）在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差.（精确到0.1）

3．（2022·全国·高三阶段练习（文））2022年7月24日，我国运动员杨倩以环的成绩获得东京奥运会射击女子米气步枪项目金牌，为中国代表团摘下本届奥运会的首枚金牌，也让《义勇军进行曲》成为第一首奏响在本届奥运会赛场上的国歌.在决赛赛场上，第二阶段前轮(第枪，每轮枪)是选手淘汰阶段，后轮(第枪，每轮枪)进入奖牌争夺阶段.杨倩在第二阶段成绩如下：

（1）计算第二阶段前4轮和后3轮得分的均值，试根据此结果分析该选手在淘汰阶段和奖牌争夺阶段的发挥状态哪个更好；

（2）记后轮得分的均值为，标准差为，若数据落在内记为正常，否则不正常﹐请根据此结论判断该选手最后一枪在后轮个数据中是否为正常发挥?(参考数据：，计算结果精确到)