第二章 实数（易错40题16个考点）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

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 第2单元 实数（易错40题16个考点）
一．相反数（共1小题）
1．的相反数是 　﹣2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2﹣的相反数是﹣2．
故答案为：﹣2．
二．算术平方根（共7小题）
2．的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．±
【答案】D
【解答】解：∵＝2，
∴的平方根是±．
故选：D．
3．的算术平方根是 　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
4．观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是 　﹣3　（结果需化简）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1）n+1，
∴第16个答案为：．
故答案为：．
5．已知≈1.732，≈5.477，则≈　0.5477　．
【答案】0.5477．
【解答】解：∵

≈5.477，
∴．
故答案为：0.5477．
6．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）＝3，则它的平方根是±．
7．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）则大正方形的边长是　20cm　；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）大正方形的边长是＝＝20（cm）；
故答案为：20cm；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x•3x＝360，
解得：x＝，
4x＝4＝＞20，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2．
8．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【答案】（1）是，理由见解答；
（2）m的值是﹣48．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
9．若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（　　）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】D
【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，
∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故选：D．
四．立方根（共4小题）
10．若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是（　　）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：∵一个数的平方根是±8，
∴这个数为（±8）2＝64，
故64的立方根是4．
故选：D．
11．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴，
解方程得：．
∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
12．正数x的两个平方根分别是2﹣a，2a﹣7．
（1）求a的值；
（2）求1﹣x这个数的立方根．
【答案】（1）a的值是5；
（2）1﹣x这个数的立方根是﹣2．
【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根分别是2﹣a和2a﹣7，
∴（2﹣a）+（2a﹣7）＝0，
解得：a＝5，
即a的值是5；
（2）∵a＝5，
∴2﹣a＝﹣3，2a﹣7＝3．
∴这个正数的两个平方根是±3，
∴这个正数是9．
1﹣x＝1﹣9＝﹣8，
﹣8的立方根是﹣2．
即1﹣x这个数的立方根是﹣2．
13．求x的值：
（1）（x﹣2）2＝1；
（2）﹣27（x﹣1）3﹣125＝0．
【答案】（1）x＝5或x＝﹣1．
（2）x＝﹣．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝1，
∴（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3．
解得：x＝5或x＝﹣1．
（2）﹣27（x﹣1）3﹣125＝0
∴﹣27（x﹣1）3＝125，
∴（x﹣1）3＝﹣，
∴x﹣1＝﹣，
解得：x＝﹣．
五．实数的性质（共1小题）
14．化简：|﹣2|＝　2﹣　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为1＜＜2，
所以﹣2＜0．
所以|﹣2|＝2﹣．
故答案为：2﹣．
六．实数与数轴（共1小题）
15．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（　　）

A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n
【答案】D
【解答】解：M、N两点在数轴上的位置可知：﹣1＜m＜0，n＞2，
∵m+n＞O，故A错误，
∵﹣m＞﹣n，故B错误，
∵|m|﹣|n|＜0，故C错误．
∵2+m＜2+n正确，故D正确．
故选：D．
七．实数大小比较（共2小题）
16．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　）
A．a2＜a＜ B．a＜＜a2 C．＜a＜a2 D．a＜a2＜
【答案】A
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴设a＝，＝2，a2＝，
∵＜＜2，
∴a2＜a＜．
故选：A．
17．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：

（1）用“＜”或“＞”填空：a+c　＜　0，b+c　＜　0，b﹣c　＞　0，a﹣b﹣c　＞　0．
（2）化简：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c|+|b+c|．
【答案】（1）＜；＜；＞；＞；
（2）﹣2a﹣b．
【解答】解：（1）由图可知：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，a﹣b﹣c＞0；
故答案为：＜；＜；＞；＞；
（2）原式＝﹣（a+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c）﹣（b+c）
＝﹣a﹣c﹣a+b+c﹣b+c﹣b﹣c
＝﹣a﹣a+b﹣b﹣b﹣c+c+c﹣c
＝﹣2a﹣b+0
＝﹣2a﹣b．
八．估算无理数的大小（共6小题）
18．估计介于（　　）
A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间
C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间
【答案】C
【解答】解：∵2.22＝4.84，2.32＝5.29，
∴2.2＜＜2.3，
∵＝0.6，＝0.65，
∴0.6＜＜0.65．
所以介于0.6与0.7之间．
故选：C．
19．若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　7　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴，
∵x＜+1＜y，
∴x＝3，y＝4，
∴x+y＝3+4＝7．
故答案为：7．
20．若5+的小数部分是a，5﹣的小数部分是b，则ab+5b＝　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2＜＜3，
∴2+5＜5+＜3+5，﹣2＞﹣＞﹣3，
∴7＜5+＜8，5﹣2＞5﹣＞5﹣3，
∴2＜5﹣＜3
∴a＝﹣2，b＝3﹣；
将a、b的值，代入可得ab+5b＝2．
故答案为：2．
21．如图，在数轴上，A，B两点之间表示整数的点有 　4　个．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，2＜＜3，
∴在数轴上，A，B两点之间表示整数的点有﹣1，0，1，2一共4个．
故填空答案：4．
22．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：＝　2　；＝　5　．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，　3　次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　255　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴5＜＜6，
∴＝[2]＝2，[]＝5，
故答案为：2，5；

（2）∵12＝1，22＝4，且，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]＝10，
第二次：[]＝3，
第三次：[]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
23．已知：9的平方根是3和x+5，y是的整数部分．
（1）求x+y的值；
（2）求x2+y2的算术平方根．
【答案】（1）x+y的值为﹣5；
（2）x2+y2的算术平方根是．
【解答】解：（1）∵9的平方根是3和x+5，
∴3+x+5＝0，
解得：x＝﹣8，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵y是的整数部分，
∴y＝3，
∴x+y＝﹣8+3＝﹣5，
∴x+y的值为﹣5；
（2）当x＝﹣8，y＝3时，x2+y2＝（﹣8）2+32＝64+9＝73，
∴x2+y2的算术平方根．
九．实数的运算（共2小题）
24．实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣的值是（　　）

A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2（a﹣b+c） D．2a+b+c
【答案】B
【解答】解：a+|a+b|﹣＝a﹣a﹣b+c＝c﹣b．
故选：B．
25．定义新运算：对于a，b有a☆b＝，如4☆＝2+3＝5，根据定义新运算，计算：9☆（﹣125）＝　8　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：
9☆（﹣125）
＝﹣
＝3﹣（﹣5）
＝3+5
＝8，
故答案为：8．
一十．二次根式的定义（共1小题）
26．若是一个正整数，则正整数m的最小值是 　6　．
【答案】6．
【解答】解：∵＝2是一个正整数．
∴6m是一个平方数．
最小的既是6的倍数，又是平方数的数是6．
∴m的最小值是36．
故答案为：6．
一十一．二次根式有意义的条件（共3小题）
27．二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【答案】D
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
28．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是　2008　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
29．已知y＝+﹣5，则（x+y）2021＝　﹣1　．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵y＝+﹣5，
∴x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得x＝4，
∴y＝﹣5，
∴（x+y）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
一十二．二次根式的性质与化简（共5小题）
30．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣的结果是（　　）

A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b
【答案】B
【解答】解：根据数轴可知：
a＜0，b＞0，且＞，
∴﹣，
＝﹣（a﹣b）﹣（﹣a），
＝b，
故选：B．
31．化简二次根式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：若二次根式有意义，则﹣≥0，
﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，
∴原式＝＝．
故选：B．
32．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
【答案】B
【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
33．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（　　）
A．29 B．16 C．13 D．3
【答案】D
【解答】解：＝|16﹣x|+|x﹣13|，
（1）当时，解得13＜x＜16，原式＝16﹣x+x﹣13＝3，为常数；
（2）当时，解得x＜13，原式＝16﹣x+13﹣x＝29﹣2x，不是常数；
（3）当时，解得x＞16；原式＝x﹣16+x﹣13＝2x﹣29，不是常数；
（4）当时，无解．
故选：D．
34．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有：
＝＝±（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即+＝7，×＝
∴＝＝＝2+．
由上述例题的方法化简：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据，可得m＝13，n＝42，
∵6+7＝13，6×7＝42，
∴＝＝．
一十三．二次根式的乘除法（共2小题）
35．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
①＝，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），
②•＝1，•＝＝＝1，（故②正确），
③÷＝﹣b，÷＝÷＝×＝﹣b，（故③正确）．
故选：B．
36．把根式a根号外的a移到根号内，得　﹣　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵有意义，
∴﹣≥0，即a＜0，
∴原式＝﹣
＝﹣；
一十四．分母有理化（共2小题）
37．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
【答案】C
【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，
∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；
a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；
ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；
∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C．
38．观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：；
（2）计算：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝＝2；
（2）原式＝+…+＝﹣1．
一十五．同类二次根式（共1小题）
39．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　6　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴m2﹣3＝5m+3，解得m＝6或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，＝无意义，故m＝6．
一十六．二次根式的化简求值（共1小题）
40．先化简，后求值：，其中．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＝+＝+，
∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6），
＝a2﹣3﹣a2+6a，
＝6a﹣3，
＝6×（+）﹣3，
＝3．