专题06 图形与坐标（重难点，浙江期末精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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一、单选题
1．（2023上·浙江宁波·八年级校考期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（ ）
A．离宁波市主城区10千米B．在江北区西北角
C．在海曙以北D．东经，北纬
【答案】D
【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【解析】能够准确表示我校地理位置的是：东经，北纬．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．
2．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据第四象限的点的坐标特点即可得到答案．
【解析】解：A、因为，，所以在第四象限，故本选项符合题意；
B、因为，，所以在第三象限，故本选项不符合题意；
C、因为在y轴上，故本选项不符合题意；
D、因为，所以在第二象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查各个象限内点的横纵坐标的正负特点，熟记各象限的点坐标特点是关键．
3．（2021上·浙江温州·八年级统考期末）如图是雷达探测器在一次探测中发现的五个目标，若记图中目标C的位置为，则点E的位置为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据度数表示纵坐标，圆圈数表示横坐标，可得答案．
【解析】解：因为记图中目标C的位置为，
所以点E的位置为．
故选：C
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意得出横纵坐标的意义是解题关键．
4．（2021上·浙江杭州·八年级统考期末）已知点P在y轴的右侧，到x轴的距离为6，到y轴的距离为3，则点P的坐标是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据点P在y的右侧，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可．
【解析】∵点P在y轴的右侧，
∴点P在第一象限或者第四象限．
又∵点P到x轴的距离为6，到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标为3，点P的纵坐标为6或，
即点P的坐标为或．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
5．（2022上·浙江嘉兴·八年级统考期末）把点向下平移个单位，所得的点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】B
【分析】先求得平移后的点的坐标，根据关于轴对称的点的坐标特征即可求解．
【解析】解：依题意把点向下平移个单位，所得的点为
∵与关于轴对称，
∴
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的平移，关于轴对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023上·浙江金华·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．
【解析】解：由题意得：，
解得：，
∴整数m的值为3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
7．（2021下·浙江·七年级期末）如图， 是由平移得到的，下列说法错误的是（ ）
A．将先向右平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度就得到
B．将先向上平多5个单位长度，再向右平移9个单位长度就得到
C．将沿着的方向，平移的距离等于线段的长，就得到
D．将沿着的方向，平移的距离等于线段的长，就得到
【答案】D
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【解析】解：A、将△ABC先向右平移9个单位，再向上平移5个单位就得到△A′B′C′，故本选项正确，不符合题意；
B、将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移9个单位就得到△A′B′C′，故本选项正确，不符合题意；
C、将△ABC沿着的CC′方向，平移的距离等于线段CC′的长，就得到△A′B′C′，故本选项正确，不符合题意；
D、将△ABC沿着C′C的方向，平移的距离等于线段C′C的长，按C′C方向得不到△A′B′C′，平移的方向反了，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题利用了平移的基本性质，属于基础题，难度不大，灵活应用平移性质是解决问题的关键．
8．（2019上·浙江杭州·八年级统考期末）已知点A的坐标为，下列说法正确的是（ ）
A．若点A在y轴上，则
B．若点A在一三象限角平分线上，则
C．若点A到x轴的距离是3，则
D．若点A在第四象限，则a的值可以为
【答案】B
【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．
【解析】解：A、若点A在y轴上，则，解得，故本选项错误；
B、若点A在一三象限角平分线上，则，解得，故本选项正确；
C、若点A到x轴的距离是3，则，解得或0，故本选项错误；
D、若点A在第四象限，则，且，解得，故a的值不可以为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0．
9．（2021上·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且△是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形△，△，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点．若，，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．256D．
【答案】B
【分析】首先证明OA1∥B1A2，∠B1A1A2＝90°，求出B1A2＝2A1B1＝2，然后同理可得B2A3，B3A4的长，根据等边三角形边长的规律，即可求出B9的横坐标．
【解析】解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1＝1，
∴B1的横坐标为，OA1＝OB1＝A1B1＝1，∠OA1B1＝60°，
∵△B1B2A2是等边三角形，
∴∠B2B1A2＝60°，
∴OA1∥B1A2，∠A2B1A1＝60°，
∵∠OA1C＝30°，
∴∠B1A2A1＝30°，
∴∠B1A1A2＝90°，
∴B1A2＝2A1B1＝2，
同理：B2A3＝2A2B2＝4，B3A4＝2A3B3＝8，…，
∴B1的横坐标为，
B2的横坐标为＋1＝，
B3的横坐标为＋1＋2＝，
B4的横坐标为＋1＋2＋4＝，
...，
∴点B9的横坐标是＋1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质得到等边三角形边长的规律．
10．（2021上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），设点的坐标为，连结，以线段为边的第四象限内作等边，直线交轴于点，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由等边三角形的性质可得AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD＝∠BOC＝60°，可求∠EAO＝60°，即可求OE＝，进而可求点E坐标．
【解析】解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD，且OB＝AB，BC＝BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠EAO＝180°−∠OAB−∠BAD＝60°，
在Rt△AOE中，AO＝1，∠EAO＝60°，∠OEA=30°，
∴AE=2 AO=2，
∴OE=＝，
∴点E坐标(0，)，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题
11．（2020上·广西梧州·八年级统考期中）在教室里，小明的座位在第2列、第5行，小亮的座位在第4列、第1行，如果把小明的座位记为（2，5），那么小亮的座位可以记为 ．
【答案】（4，1）
【分析】根据位置与坐标的关系可知列数是横坐标，行数是纵坐标，即可得出答案．
【解析】∵小明的座位在第2列、第5行，把小明的座位记为（2，5），
∴小亮的座位在第4列、第1行，小亮的座位可以记为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查位置与坐标，理解题意是关键．
12．（2019上·浙江湖州·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，点A（1，）关于轴的对称点的坐标为 ．
【答案】（1，3）
【分析】根据坐标系中，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数的特点解答即可.
【解析】∵点（1，-3）关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是（1，3）
故答案为（1，3）
【点睛】本题考查用坐标表示轴对称，关于x轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标的特点是：横坐标互为相反数，纵坐标不变.
13．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据x轴上点的坐标特点解答即可．
【解析】解：∵点在平面直角坐标系的x轴上，
，解得，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是点的坐标，熟知x轴上点的纵坐标等于0是解题的关键．
14．（2020上·浙江杭州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，线段AB平行于x轴，且AB＝4．若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（a，b），则a+b＝ ．
【答案】5或-3/-3或5
【分析】根据线段AB平行于x轴，点A的坐标为（-1，2），AB=4，即可得到b=2，a=-1+4=3或a=-1-4=-5，由此求解即可．
【解析】解：∵线段AB平行于x轴，点A的坐标为（-1，2），AB=4，
∴b=2，a=-1+4=3或a=-1-4=-5，
∴a+b=3+2=5或a+b=-5+2=-3，
故答案为：5或-3．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，代数式求值，正确理解平行于x轴的直线，纵坐标相同是解题的关键．
15．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据是第二象限内一点得到，由平移规律和第四象限点的特征得到，再解两个不等式组成的不等式组即可得到答案．
【解析】解：∵是第二象限内一点，
∴，
由是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到，
∵运动到第四象限，
∴，
解不等式组可得，
故答案为：
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、平面直角坐标系、点的平移，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的特征是解题的关键．
16．（2022上·浙江台州·八年级统考期末）如图，在中，，，点的坐标，点的坐标，则点的坐标是 ．
【答案】(3，2)
【分析】过点C作CD⊥AO于点D，，先证明，然后即可得到，，，即可得到点Ｃ的坐标．
【解析】
过点C作CD⊥AO于点D，如图所示，
∴
∴
在中
∵中，，
∴
∴
∵
∴
∵ ,，
∴
∴,
∴
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标为(3，2)，
故答案为(3，2)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（2022上·浙江绍兴·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5，即或．环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为，，，若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是 ．
【答案】
【分析】设M（x，y），先求△ABC三边的实际距离，根据勾股定理逆定理，三边实际距离组成直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质求解即可．
【解析】解：设M（x，y），
∵M到A，B，C的“实际距离”相等，，，，
∴AC实际距离为|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC实际距离为|1+5|+|3-1|=6+2=8，
AB实际距离为|-5+3|+|3+1|=2+4=6，
∵62+82=102，
∴△ABC三边的实际距离构成直角三角形，
∴M（x，y）为AC中点，
∴x=，y=，
∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，
∴M（-1，2），
故答案为：（-1，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形，新定义距离，勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线性质，根据题意，利用数形结合思想是解答的关键．
18．（2020上·浙江金华·八年级统考期末）在直角坐标系中，已知，在的边上取两点(点是不同于点的点)，若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ．
【答案】或或或
【分析】根据全等三角形的性质，分四种情况讨论，①如图1，过点作，交于点，；②如图2，由①可知，点位置互换，亦满足题意，此时，，③如图3，作的平分线交于点，在上截取，连接，；④如图4，在上截取，取的中点，则， 由得出的坐标．
【解析】解：①如图1，过点作，交于点，
过点作，垂足为，连接，此时，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
②如图2，由①可知，点位置互换，亦满足题意，此时，，
③如图3，作的平分线交于点，在上截取，连接，
此时，
过点作，垂足为，垂足为，则，
由三角形面积公式得，，即，，
∴，
∴点，
④如图4，在上截取，取的中点，则，
过点作，垂足为，在中，，，
∴，
∴点，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
三、解答题
19．（2020·浙江·八年级期末）如图，在4×4的方格中（每个小正方形的边长均为1），标有A，B两点（A，B在格点上），请你用两种不同的方法表示点B相对点A的位置．
【答案】见解析
【分析】方法1：用方向和距离表示；方法2：用有序实数对（a，b）表示．
【解析】解：方法一：点B位于点A的北偏东45°方向，距离A点（或）．
方法二：以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B坐标为(3,3)．
【点睛】本题考查了确定物体位置的两种方法．无论运用哪种方法表示一个点在平面中的位置，都要用两个数据才能表示．
20．（2021上·浙江湖州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中：
(1)已知点在轴上，求点的坐标；
(2)已知两点，，若轴，点在第一象限，求的值，并确定的取值范围．
【答案】(1)点的坐标为
(2)，
【分析】（1）根据点在y轴上，其横坐标为零，列式计算即可．
（2）根据平行x轴的点的纵坐标相同，第一象限内坐标都是正数，列式计算即可．
【解析】（1）根据题意知，，
解得：，
∴点的坐标为 ．
（2）∵轴，
∴，
解得，
∵点在第一象限，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了y轴上点的坐标特点，平行x轴的点的特征，第一象限内点的坐标特点，熟练掌握坐标的特点是解题的关键．
21．（2016上·浙江绍兴·八年级统考期末）已知：，，
(1)在坐标系中描出各点，画出．
(2)求的面积；
(3)设点P在坐标轴上，且与的面积相等，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)或或或
【分析】（1）根据点的坐标即可作图；
（2）可利用“割补法”求不规则图形的面积；
（3）根据点P在x轴上，在y轴上分类讨论即可求解．
【解析】（1）解：如图所示：
（2）解：过点C向、轴作垂线，垂足为
∴四边形的面积，的面积，的面积，的面积
∴的面积=四边形的面积−的面积−的面积−的面积
（3）解：①当点在x轴上时，的面积，即
解得：
所以点P的坐标为或；
②当点在y轴上时，的面积，即，
解得：．
所以点P的坐标为或．
所以点P的坐标为或或或
【点睛】本题考查坐标与图形．用点的坐标正确表示出图形面积是解题关键．
22．（2022上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校期末）平面直角坐标系xOy中有点P（x，y），实数x，y，m满足以下两个等式：2x﹣3m＋1＝0，3y﹣2m﹣16＝0．
(1)当x＝1时，点P到x轴的距离为 ；
(2)若点P落在一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；
(3)当x≤4＜y时，求m的最小整数值．
【答案】(1)6
(2)P(10，10)
(3)−1
【分析】（1）当x＝1时，由2x﹣3m＋1＝0可求得m的值，再由3y﹣2m﹣16＝0可求得y的值，从而可得点P的坐标，即可得点P到x轴的距离；
（2）根据角平分线的性质定理及点在第一、三象限的坐标特征可得x=y，从而可得关于x与m的方程组，消去m即可求得x的值，从而可得点P的坐标；
（3）由条件可得用含m的代数式表示x、y的等式，根据不等关系可得关于m的不等式组，解不等式组即可求得m的最小整数值．
【解析】（1）当x＝1时，由2x﹣3m＋1＝0，得
解得m=1
由3y﹣2m﹣16＝0，得
解得y=6
∴点P的坐标为(1，6)
即点P到x轴的距离为6
故答案为：6
（2）∵点P在第一、三象限的角平分线上，且在一、三象限的点的两个坐标符号相同
∴
∴3x﹣2m﹣16＝0
由消去m，得x=10
∴y=10
∴点P的坐标(10，10)
（3）由2x﹣3m＋1＝0，3y﹣2m﹣16＝0可得：
由题意得：
解不等式组得：
故不等式组的整数解为：−1，0，1，2，3，最小整数值为−1．
【点睛】本题考查了点与坐标，角平分线的性质定理，点在各个象限的坐标特征，解二元一次方程组及解一元一次不等式组等知识，灵活运用这些知识是关键．
23．（2014上·福建龙岩·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A，B，C的坐标分别为(1，1)，(4，2)，(2，3)．
(1)画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC向关于x轴对称的△A2B2C2；
(3)以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形面积公式求出答案．
【解析】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）解：如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）解：以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为：×2×4=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换和三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
24．（2020上·浙江宁波·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
A．（3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（﹣3，3） D．不能确定
(2)若（﹣1，﹣k﹣3），（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)①E，F；②C
(2)1或2
【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．
【解析】（1）解：①∵点A(-3,1)到x、y轴的距离中最大值为3，
又∵点E(0,3)和点F(3,-3)到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F；
②∵点B的坐标为(m,m+6)，且有m＜m+6，
又∵点A与点B为“等距点”，点A(-3,1)到x、y轴的距离中最大值为3，
∴m+6=3，
解得m=-3，
即B点的坐标为(-3,3)，
故选：C．
故答案为：①E、F；②C；
（2）解：，两点为“等距点”，
①若|4k-3|≤4时，则4＝-k-3或-4＝-k-3，
解得k＝-7（舍去）或k＝1；
②若|4k-3|＞4时，则|4k-3|＝|-k-3|，
解得k＝2或k＝0（舍去）．
根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．
即k的值是1或2．
【点睛】本题考查了直角坐标系中的坐标中的知识，理解读懂“等距点”的定义是解题的关键．
25．（2021上·浙江·八年级期末）如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B、C的坐标．
（2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s）
①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标．
②当t为何值时，与一腰垂直？
【答案】（1），，；（2）①，，；，；②7或25
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理求出OA，从而可写出坐标．
（2）①分，，三种情况分别求解；
②当PA⊥AC时和PA⊥AB时，分两种情况求出解．
【解析】解：（1）∵△ABC为等腰三角形，
∴OB=OC=BC=4，又腰长AB=AC=5，
∴OA==3，
∴，，；
（2）①当时，与或重合，不可能；
当时，，
解得．
此时，
，．
当时，，此时，解得：，
，即；
②当时，，即，
．
当时，，
即，
．
【点睛】本题考查的坐标与图形，考查了点的坐标，等腰三角形的判定和勾股定理的知识点，解题的关键是掌握分类讨论思想．
26．（2023上·浙江金华·八年级统考期末）已知在直角坐标系中，点，，，由线段绕原点O顺时针转动某个角度得到线段，线段顺时针转动得到线段，连接，作直线交于点R．
(1)如图1，当点P在第一象限
①若时，求点P坐标；
②求证：；
③求证：；
(2)在线段绕原点转动的过程中，当为等腰三角形时，求点P坐标．
【答案】(1)①；②见解析；③见解析
(2)或或或．
【分析】（1）①作轴于点N，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；
②先求得，利用证明即可；
③由可得，推出，再由四边形内角和定理即可证明；
（2）分四种情况讨论，点P与点C重合、点P与点C关于x轴对称点重合时，画出图形即可求解；以及点P在第一象限时，点P在第二象限时，利用勾股定理以及三角形面积公式求解即可．
【解析】（1）解：①作轴于点N，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
由勾股定理得，
∴点P坐标为；
②∵，
∴，
∵，，
∴；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由③知，，
要使为等腰三角形，
必定，
∴，
当点P与点C重合时，显然为等腰直角三角形，
此时，；
当点P与点C关于x轴对称点重合时，显然为等腰直角三角形，
此时，；
当点P在第一象限时，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
由勾股定理得，
作轴于点N，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
点P坐标为；
当点P在第二象限时，
同理可证四边形是正方形，
由勾股定理得，
作轴于点N，
同理求得，
由勾股定理得，
点P坐标为；
综上，点P坐标为或或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理以及三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
27．（2022上·浙江绍兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，4），以OB为边在y轴的右侧作正三角形OAB．AC⊥y轴，垂足为C．
(1)如图1，求点A的坐标．
(2)点D在线段AC上，点E是直线AB上一动点，连接DE、以DE为边作正三角形DEF（点D，E，F按逆时针排列）
①如图2，当点E与点A重合时，连接OD，BF．若BF=2，求点D的坐标．
②若CD=2，点P是直线DF与直线OA的交点，当OP=时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)A（6，2）．
(2)①D（4，2）；②（，）或（，）．
【分析】（1）由点B的坐标为（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y轴，可得AC是边OB的中线，则C（0，2），在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝6，所以A（6，2）．
（2）①证明△BAF≌△OAD（SAS），所以OD＝BF＝2，因为OC＝2，所以CD＝4，则D（4，2）；
②根据题意，需要分两种情况，当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，易证△PDO≌△EDA（ASA），所以OP＝AE，则GE，AG，由点的平移可得点E的坐标．
【解析】（1）解：∵点B的坐标为（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y轴，
∴AC是边OB的中线，
∴C（0，2），
在Rt△ACO中，AO＝4，CO＝2，
由勾股定理可得，AC＝6，
∴A（6，2）．
（2）①AF＝AD，AB＝AO，
∵△OAB和△DEF是正三角形，
∴∠CAF＝∠OAB＝60°，
∵∠BAF＝∠CAF﹣60°，∠OAD＝∠OB﹣60°，
∴∠BAF＝∠OAD，
在△BAF和△OAD中，
，
∴△BAF≌△OAD（SAS），
∴OD＝BF＝2，
∵OC＝2，
∴CD＝4，
∴D（4，2）；
②当点P在x轴下方时，如图，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，
则∠GAE＝30°，
在Rt△ODC中，∠OCD＝90°，CD＝2，OC＝2，
∴OD＝4，∠COD＝30°，
∴AD＝OD＝4，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOD=30°
∴∠DOP＝150°，
∵∠GAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DOP＝∠DAE＝150°，
∵∠CDO＝∠EDF＝60°，
∴∠ODA＝∠EDP＝120°，
∴∠ODA-∠DOE＝∠EDP-∠DOE
∴∠PDO＝∠EDA，
∴△PDO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
当点P在x轴上方时，如图，连接OD，过点E作EG⊥AC于点G，
同上可知，△P′DO≌△EDA（ASA），
∴OP＝AE，
∴GE，AG，
∵A（6，2），
∴E（，）；
综上可知，点E的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题考查了三角形全等综合问题，坐标与图形，涉及手拉手全等三角形模型，等边三角形的性质等知识，由SAS得出三角形全等，转化线段长是解题关键．