高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率同步练习题

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（       ）

A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行

B．若，则

C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行

【答案】C

【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；

若，则或，的斜率都不存在，B错误；

若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；

若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．

故选：C.

2．（2021·吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(       )

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不为零，斜率之积为－1，则它们垂直.据此即可求解.

【详解】A：a＝0时，两直线分别为：，此时它们垂直；当a≠0时，它们斜率之积为，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；

B：两直线斜率之积为：，故两直线垂直；

C：两直线斜率之积为：，故两直线不垂直；

D：两直线斜率之积为：，故两条直线不垂直；

故选：B.

3．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线，则与（       ）

A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

【答案】A

【分析】由直线的斜率间的关系可得结论．

【详解】因为的斜率分别为，所以，所以.

故选：A.

4．（2022·贵州·高二学业考试）已知直线，．若，则实数的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】直接由两直线平行公式求解即可.

【详解】由题意得，，解得.经验证符合题意.

故选：D.

5．（2022·全国·高二专题练习）若直线：与直线：互相平行，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．

【详解】解：若直线：与直线：互相平行

，

解得

故选：A．

6．（2022·全国·高二专题练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为(       )

A． B．2或 C．2 D．

【答案】D

【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒

【详解】直线斜率必存在，

故两直线平行，则，即，解得，

当时，两直线重合，∴．

故选：D．

7．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知直线与直线，若，则（       ）

A．6 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.

【详解】解：因为直线与直线，且，

所以，解得，

故选：A.

8．（2021·全国·高二课前预习）直线的图象与直线的交点个数是（        ）

A．1个 B．0个 C．0个或1个 D．1个或2个

【答案】C

【分析】根据两条直线的位置关系即可求解

【详解】当两条直线平行时，无交点；当两条直线相交时，有1个交点；

所以直线的图象与直线的交点个数是0个或1个，

故选：C

9．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，则＝（       ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出，然后结合对数的运算性质可求．

【详解】解：因为直线l1的斜率为2，直线l2经过点，且l1∥l2，

所以，解得，

所以，

故选：D．

二、多选题

10．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则斜率

B．若斜率，则

C．若倾斜角，则

D．若，则倾斜角

【答案】BCD

【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．

【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.

B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.

C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.

D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.

故选：BCD

11．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线，其中，则（       ）

A．当时，直线l与直线垂直

B．若直线l与直线平行，则

C．直线l过定点

D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【分析】对于A，通过两直线的斜率关系判断即可，对于B，由两直线平行，列方程求解，对于C，直接求解定点判断，对于D，由直线方程求出直线l在两坐标轴上的截距判断

【详解】对于A，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，所以当时，直线l与直线垂直，所以A正确，

对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误，

对于C，当时，，与无关，故直线l过定点，所以C正确，

对于D，当时，直线l的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，

故选：AC

三、填空题

12．（2022·全国·高二专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题

①若，则斜率；   ②若斜率，则；

③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；

其中正确命题的个数是______．

【答案】

【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；

【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.

①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；

②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；

③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；

④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；

所以正确的命题个数是4．

故答案为：．

13．（2022·江苏·高二课时练习）已知三点，则△ABC为__________ 三角形.

【答案】直角

【分析】根据直线斜率关系即得.

【详解】如图，猜想是直角三角形，

由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，

由，得即，

所以是直角三角形.

故答案为：直角.

14．（2022·全国·高二专题练习）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.

【答案】

【分析】由两条直线的位置关系可得直线的斜率与直线的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】解：因为直线与直线平行，直线的斜率为，

所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

所以，即直线的倾斜角为，

故答案为：.

15．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线平行，则m的值为______．

【答案】0或7

【分析】根据两直线平行的充要条件即可列方程组求解.

【详解】解：因为直线与直线平行，

所以，解得或，

故答案为：0或7.

16．（2022·上海中学东校高二期末）若直线与互相垂直，则实数___________．

【答案】

【分析】根据两直线位置关系直接可得参数值.

【详解】由，即，

又直线与直线互相垂直，

故，

解得，

故答案为：.

17．（2021·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数______.

【答案】3

【分析】根据可知，则，利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果.

【详解】由题意得：

又       ，解得：

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用直线与直线垂直关系求解参数值的问题，属于基础题.

18．（2022·全国·高二课时练习）若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．

【答案】－1

【分析】先求PQ斜率，再根据其负倒数得线段PQ的垂直平分线的斜率.

【详解】 线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.

【点睛】本题考查利用斜率研究两直线位置关系,考查基本求解能力.

19．（2022·全国·高二课时练习）已知平行四边形的三个顶点A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），则第四个顶点D的坐标可能是______．（写出一个符合题意的坐标即可）

【答案】（0，4）或（10，0）或（－6，－4）

【分析】由平行四边形得直线位置关系后列方程组求解

【详解】设D（x，y），

若四边形ABCD是平行四边形，则，，所以，

即，解得，此时点D（0，4）．

若四边形ABDC是平行四边形，则，，所以，

即，解得，此时点D（10，0）．

若四边形ADBC是平行四边形，则，，所以，

即，解得，此时点D（－6，－4）．

故答案为：（0，4）或（10，0）或（－6，－4）

20．（2022·全国·高二专题练习）若直线经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数的值为_________.

【答案】

【分析】求出直线的斜率，利用两条直线垂直斜率乘积为的关系，求出的值即可．

【详解】直线的斜率，其中，

由已知可得，解得.

故答案为：.

21．（2022·全国·高二专题练习）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝__．

【答案】

【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论．

【详解】

如图，因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，

若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差，

故|α﹣β|，

故答案为：．

四、解答题

22．（2022·全国·高二专题练习）判断三点是否共线，并说明理由．

【答案】共线，理由见解析.

【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.

【详解】这三点共线，理由如下：

由直线斜率公式可得：，

直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点，

所以这三点共线.

23．（2022·全国·高二专题练习）已知直线AB的方程为：，点，在直线AB上求一点D，使得．

【答案】

【分析】设，由题可得，即得.

【详解】设，则，

解得，

即.

24．（2022·全国·高二课时练习）已知A（m，4），B（－2，m），C（1，1），D（m＋2，3）四点．

(1)若直线AB与直线CD平行，求m的值；

(2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°．

【答案】(1)m＝0或m＝1

(2)证明见解析

【分析】（1）由直线的位置关系列式求解

（2）转化为向量垂直，由数量积运算列式证明

（1）①当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C（1，1），D（0，3），则直线CD的斜率存在，故直线AB与直线CD不平行，故；

同理可得，所以直线AB与直线CD的斜率都存在．

②直线AB的斜率为，直线CD的斜率为．

因为直线AB与直线CD平行，所以，即，

整理可得，解得m＝0或m＝1，

检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1．

（2），，则，

所以无论m取何值，总有∠ACB＝90°．

25．（2022·全国·高二专题练习）根据条件求下列倾斜角、斜率

(1)直线l的倾斜角的正弦值是，则直线l的斜率是　　．

(2)直线 的倾斜角是　　．

(3)已知直线l1的倾斜角，直线l2与l1垂直，试求l1，l2的斜率．

【答案】(1)或

(2)

(3)l1，l2的斜率分别为，

【分析】（1）根据倾斜角的正弦值求出倾斜角，从而由直线斜率和倾斜角之间的关系可求出直线的斜率，

（2）由方程求出直线的斜率，再由直线斜率和倾斜角之间的关系求出倾斜角，

（3）由直线l1的倾斜角求出直线l1的斜率，再由直线l2与l1垂直可求出l2的斜率.

（1）因为直线l的倾斜角的正弦值是，

所以，

因为

所以 或，

即tanα或，

则直线l的斜率是或．

故答案为：或．

（2）由直线，

得 ，

即直线的斜率，则倾斜角为．

故答案为：

（3）已知直线l1的倾斜角，

则直线l1对应的斜率，

因为直线l2与l1垂直，

所以直线l2的斜率．

26．（2022·全国·高二专题练习）设常数，已知直线：，：．

(1)若，求的值；

(2)若，求与之间的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．

（1）

根据题意，直线：，：，

若，则，解可得a

（2）

根据题意，若，则有，解可得或，

当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意，

当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离

27．（2022·全国·高二课时练习）已知，，．

(1)若点满足，，求点的坐标；

(2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角．

【答案】(1)

(2)90°

【分析】第（1）问中，若存在，两直线垂直，则有，两直线平行，则有,设出点的坐标，列方程即可求解.

第（2）问中，根据，可知，设点坐标列方程即可.

（1）设，由题意得，．

因为，所以，

即．①

又，所以，即．②

由①②，得，，即．

（2）如图所示：

设，因为，

所以．

又，，所以，即，

所以，又，所以轴，

故直线的倾斜角为90°．

【能力提升】

一、单选题

1．（2022·上海市建平中学高一期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.

【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立；

反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件，

故选：C.

2．（2022·全国·高二专题练习）已知直线y＝mx﹣2与直线x+ny＝0平行，则m，n的关系为（       ）

A．mn＝1 B．mn+1＝0 C．m﹣n＝0 D．m﹣n+1＝0

【答案】B

【分析】将直线的方程变形为一般式方程，由直线平行的判定分析mn的关系，即可得答案．

【详解】根据题意，直线y＝mx﹣2，即mx﹣y﹣2＝0，

若直线y＝mx﹣2与直线x+ny＝0平行，

则mn﹣(﹣1)＝0，即mn+1＝0.

故选：B

3．（2022·全国·高二专题练习）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】依题意，，解得或，

所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.

故选：A

4．（2022·江苏·高二）已知直线，，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由两直线垂直得到，再代入消元利用二次函数的性质求解.

【详解】解：，则，∴，

所以，

二次函数的抛物线的对称轴为，

当时，取最小值.

故选：A．

5．（2022·江苏·高二课时练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标

【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①

AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，

即x-2y+3=0．联立 解得

∴△ABC的外心为（-1，1）．

则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②

联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．

当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A

【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．

二、多选题

6．（2022·山东聊城·高二期末）已知直线，，则（       ）

A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点

C．与可能平行 D．与不可能垂直

【答案】AB

【分析】对四个选项一一验证：

对于A：由直线的斜率为即可判断；

对于B：由直线恒过定点即可判断；

对于C：用反证法证明；

对于D：当， 与垂直，即可判断.

【详解】对于A：当变化时，直线的斜率为，所以的倾斜角不变.故A正确；

对于B：直线恒过定点.故B正确；

对于C：假设与平行，则，即，这与相矛盾，所以与不可能平行.故C不正确；

对于D：假设与垂直，则，即，所以与可能垂直.故D不正确.

故选：AB

7．（2022·重庆·高二期末）下列说法中，正确的是（ 　   ）

A．直线在轴上的截距是3

B．直线的倾斜角为

C．三点共线

D．直线与垂直

【答案】BC

【分析】根据直线方程求得纵截距，倾斜角判断AB，由斜率关系判断C，由直线的位置关系判断D，

【详解】A. 直线在轴上的截距是，A错；

B. 直线的斜率为，倾斜角为，B正确；

C. 由得，，所以三点共线，C正确；

D. 直线与的斜率分别为，，乘积为1，不垂直，D错误．

故选：BC．

8．（2022·全国·高二期末）下列说法正确的是（       ）

A．直线的斜率为

B．若直线的倾斜角为α，则

C．若两条直线的斜率之积等于－1，则这两条直线垂直

D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为

【答案】BC

【分析】特殊值判断A；由倾斜角判断B；由直线垂直的判定判断C；选项D中注意要加的条件.

【详解】A：当时，直线斜率不存在，错误；

B：由题意，，故，正确；

C：由直线垂直的判定知：两条直线的斜率之积等于－1，则两条直线垂直，正确；

D：直线在两坐标轴上的截距都为0,且斜率不低于-1，直线的方程不可写为，错误.

故选：BC

9．（2022·全国·高二课时练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解.

【详解】设，由题意可得

，可化为，

解得:或，即或．

故选：AC

三、解答题

10．（2021·全国·高二课前预习）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．

【答案】直角梯形

【分析】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形的形状 .

【详解】由斜率公式，得，，，,

所以，又因为 ,说明与不重合，

所以．

因为，所以与不平行．

又因为，所以．

故四边形为直角梯形．

11．（2022·全国·高二专题练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：

(1)，，，；

(2)，，，；

(3)，，，；

(4)，，，．

【答案】(1)平行

(2)平行

(3)平行

(4)不平行

【分析】（1）求出，，斜率，再判断两直线不重合得平行；

（2）由斜率相等，及不重合得结论；

（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；

（4）由斜率不相等得不平行．

(1)，，，不共线，因此与平行．

(2)，，又两直线不重合，直线与平行，

(3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；

(4),，直线与不平行，

12．（2022·江苏·高二课时练习）直线和的方程分别是和，其中，不全为0，，也不全为0.

(1)当时，直线方程中的系数应满足什么关系？

(2)当时，直线方程中的系数应满足什么关系？

【答案】(1)且（或）；

(2)

【分析】（1）由两直线平行的条件求解；

（2）由两直线垂直的条件求解．

(1)两直线斜率都不存在，则，此时，，，

因此有且，

斜率都存在时，且，

因此有且，

所以的条件是：且（或）；

(2)两直线一个斜率不存在，一条斜率为0，如，

两直线斜率都存在，则，所以，

所以的条件是．

13．（2022·全国·高二专题练习）证明：如果两条直线斜率的乘积等于，那么它们互相垂直．

【分析】设两直线斜率分别为，，结合及倾斜角的范围、诱导公式即可证明结论.

【详解】令两直线斜率分别为，(为对应倾斜角)，

由，不妨假设，则，

所以，而，

故，即，则两条直线互相垂直，得证.

14．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.

【答案】或或.

【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标.

【详解】由题，，

所以kAC=2，，kBC=－3，

设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：

①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，

所以，，，

得x=7，y=5，即

②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，

所以，，

得x=－1，y=9，即

③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC

所以，

得x=3，y=－3，即

所以D的坐标为或或.

15．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.

【答案】矩形

【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解

【详解】由斜率公式，得，

，

，

，

，

.

∴，，

∴，，

∴四边形为平行四边形.

又，∴.

又，∴与不垂直，

∴四边形为矩形.

16．（2022·全国·高二专题练习）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】或

【分析】分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可

【详解】设点．若，则，解得，

点．

若，则，解得，点

【点睛】本题考查两直线的位置关系，考查直线交点，注意分类讨论的应用，是基础题

17．（2021·江苏·高二专题练习）三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值．

【答案】（1）或或m＝

【分析】直线2mx-3y+12=0过定点A（0，4），若三条直线能围成直角三角形，则根据直线垂直与斜率之间的关系即可得到结论．

【详解】(1)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1．

若m＝1，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应舍去．

∴m＝－1．

(2)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有6m－6＝0，m＝1(舍)．

(3)当直线2x－3m2y＋18＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有4m＋9m2＝0．

∴m＝0或m＝ ．

经检验，这两种情形均满足题意．

综上所述，m＝－1或m＝0或m＝．

【点睛】本题主要考查直线垂直和斜率之间的关系的应用，要求熟练掌握直线垂直的斜率关系．