专题03 导数研究函数单调性：含参讨论- 2022-2023学年高二数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019选择性必修第二册)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 求导后一次函数：参数在常数位置2
\l "_Tc26924" 【题型二】 求导后一元二次可因式分解（定根+动根型）2
\l "_Tc12217" 【题型三】 求导后一元二次不能可因式分解（判别式+韦达定理+求根公式型）3
\l "_Tc30563" 【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型4
\l "_Tc30563" 【题型五】 求导后指数函数上下平移4
\l "_Tc30563" 【题型六】 求导后对数函数上下平移5
\l "_Tc30563" 【题型七】 求导后上下平移综合型6
\l "_Tc30563" 【题型八】 求导后因式分解双线法-指数双线法7
\l "_Tc30563" 【题型九】 求导后因式分解双线法-对数双线法7
\l "_Tc30563" 【题型十】 含三角函数型7
\l "_Tc30563" 【题型十一】 分段函数讨论8
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练9
综述
1.因为考试试题形式多为大题第一问，所以本专题训练题选题都为大题， 解答部分隐去第二问，只保留求导含参讨论。
2.含参讨论是抢时稳拿分点之一，但是对于相当一部分学生，费事而讨论不全面，教师授课时也特别容易忽略，本专题讲解，注意核心是“寻找讨论点”，而不要仅仅简单的解不等式
3.强调上来先写出定义域，特别是含有对数时候，求完导数后容易扩展定义域。
4.寻找讨论点“原理”：
（1）最高次幂系数是否含参？令其等于0，出讨论点
（2）是否有动根?
（3）令动根=定根，得讨论点
（4）令动根=定义域区间端点，得讨论点
（5）一元二次不能因式分解，则判别式和韦达定理可找讨论点（韦达定理是建立在判别式大于零的基础上）
（6）上下平移时，要注意函数是否具有水平渐近线。
（7）双线法讲解时，要尽量借助于几何画板动参动图来体现动根的“动”与“不动”
【题型一】求导后一次函数：参数在常数与斜率位置
【例1】
已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【例2】
已知.（I）讨论的单调性；（II）略
【例3】
已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．
【例4】
函数()．讨论的单调性﹒
【题型二】 求导后一元二次可因式分解
【例1】
已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）当时，证明：恒成立.
【例2】
已知函数（）．（I）讨论函数的单调性；
【例3】
已知函数．（1）设讨论函数的单调性；
（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围．
【例4】
已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当时，证明：.
【题型三】 求导后一元二次不能可因式分解（判别式+韦达定理+求根公式型）
【例1】
已知函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且正数满足，证明.
【例2】
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
【例3】
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【例4】
已知函数（）
（1）讨论的单调性
（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由
【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型
【例1】
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在内的零点个数．
【例2】
已知函数．
（1）求的极值；
（2）若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围．
【例3】
设函数.
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间.
【题型五】 求导后指数函数上下平移
【例1】
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【例2】
【已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.
例3】
设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．
【题型六】 求导后对数函数上下平移
【例1】
已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若对任意，不等式恒成立，求的最小整数值；
②若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【例2】
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
【例3】
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；
（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．
【例4】
设为实数，且，函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.
【题型七】 求导后上下平移综合型
【例1】
函数．
（1）若存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（2）若有两个不同极值点，，求证：．
【例2】
己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
【例3】
.已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1)-ax.
（1）若a=2，求f(x)的单调区间；
（2）若a≤-2，-12x(1-e-x).
【题型八】求导后因式分解双线法-指数双线法
【例1】
设函数，其中a∈R．
（1）讨论函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)≥elnx恒成立，求a的取值范围．
【例2】
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【例3】
已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．
【题型九】 求导后因式分解双线法-对数双线法
【例1】
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【题型十】 含三角函数型
【例1】
.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
【例2】
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值.
【例3】
已知.
（1）求的单调区间；
（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.
【题型十一】 分段函数讨论
【例1】
已知函数.
（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?
1.己知函数(其中为自然对数的底数)
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
2.已知，其中.
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）求的单调区间和极值点；
（3）若在上的最大值是，求的取值范围.
3.已知函数．
（1）设讨论函数的单调性；
（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围．
4.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
5.设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．
6.已知函数，（其中a为非零实数）．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②设两个零点分别为、，求证：．
7.已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．
8.设函数f(x)=(x2-2x)1nx+ (a-12)x2+2(1-a)x+a.(I)讨论f(x)的单调性；
9.已知函数（）
（1）讨论的单调性
（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由
10.设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围.
11.已知函数(其中常数是自然对数的底数).
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意，当时，.
12.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.