专题3-4 压轴小题导数技巧：多元变量（多参）-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题3-4 导数技巧：多元变量（多参）

【题型一】多元（多参）：放缩型

【典例分析】

（2022·全国·高三专题练习）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若时，恒有，则的最大值为

A． B． C． D．

2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数．若不等式对恒成立，则的最小值是（             ）

A． B． C． D．

3.（2019•湖北模拟）已知不等式x−3lnx＋1≥mlnx＋n（m，n∈R，且m≠−3）对任意实数x恒成立，则的最大值为

A、−2ln2   B、−ln2  C、1−ln2    D、2−ln2

【题型二】多元（多参）：方程与函数

【典例分析】

（2022·全国·高三专题练习）已知a，b分别满足，，则ab＝______．

【变式演练】

1.若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．

2.（2022·湖北·孝昌县第一高级中学三模）若对于任意的x，．不等式恒成立，则b的取值范围为______．

3.（2022·天津津衡高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数的定义域为，若时，取得最小值，则的取值范围是___________．

【题型三】多元（多参：极值点偏移型

【典例分析】

（2022·全国·高三专题练习）已知方程有两个不同的实数根，（），则下列不等式不成立的是（       ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.（2019·辽宁·高三期中（文））已知函数有两个零点、，，则下面说法不正确的是（      ）

A． B．

C． D．有极小值点，且

2.（2022·全国·高三专题练习）已知，若，且，则与2的关系为

A． B． C． D．大小不确定

3.（2022·全国·高三专题练习）若有两个不同零点，且，则的取值范围是___________．(其中)

【题型四】多元（多参）：零点多项式

【典例分析】

（2021·全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．

【变式演练】

1.（2021·全国·高三专题练习（文））已知，，若函数(为实数)有两个不同的零点，，且，则的最小值为___________.

2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数，，若，，则的最小值为___________.

3.（2022·浙江·高三专题练习）设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．

【题型五】多元（多参）：凸凹翻转型

【典例分析】

（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知实数，满足，则的值为

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知函数有两个零点，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2019-2020学年高三上学期10月联考数学（文）试题

2.已知实数，满足，则的值为

A． B． C． D．

3.已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（   ）

A．7 B．8 C．9 D．11

【题型六】多元（多参）：讨论最值型

【典例分析】

（2021·浙江·丽水外国语实验学校高三期末）已知，，满足对任意恒成立，当取到最小值时，______.

【变式演练】

1.（2020·安徽省涡阳第一中学高三阶段练习（文））已知函数，若存在实数使得的解集恰为，则的取值范围是_____.

2.（2021·四川省高县中学校高三阶段练习（文））若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是________．

3.设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_________.

浙江省金华市浙江师大附属东阳花园外国语学校2020-2021学年高三上学期期中数学试题

【题型七】多元（多参）：换元型（比值换元）

【典例分析】

已知函数有两个不同的零点为，，若恒成立，则实数的最大值为______．

【变式演练】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（       ）

A． B． C． D．0

2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当，恒成立，则的最大值为___________.

3.（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值是______.

【题型八】多元（多参）：切线放缩

【典例分析】

（2022·全国·高三专题练习）已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为_______．

【变式演练】

1.（2020·四川·二模（理））若关于x的不等式恒成立，则的最大值是________________.

2.（018·江苏南京·高三期中）存在使对任意的恒成立，则的最小值为________.

3.（2020·全国·高三专题练习（文））若关于的不等式恒成立，则的最小值是_____.

【题型九】多元（多参）：绝对值型max{min}或min{max}

【典例分析】

（2020·浙江杭州·三模）已知函数.当，的最大值为，则的最小值为______

【变式演练】

1.（2020·江苏·扬州中学高三阶段练习）设函数，，其中.若恒成立，则当取得最小值时，的值为________.

2.（2018·浙江·高三阶段练习）设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________．

3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，记为的最大值，则的最小值为__________.

1．（全国·高考真题（文））已知函数f(x)=,下列结论中错误的是

A．, f()=0

B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减

D．若是f（x）的极值点，则 ()=0

2．（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（       ）

A． B． C． D．

3．（安徽·高考真题（文））函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（       ）

A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0

C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0

4．（福建·高考真题（文））若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于

A．2 B．3 C．6 D．9

5．（天津·高考真题（文））设函数，若实数满足，则

A． B．

C． D．

6．（安徽·高考真题（理））函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是

A． B．

C． D．

7．（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（       ）

A． B． C． D．1

1.（2020·浙江·台州市新桥中学高三阶段练习）已知不等式恒成立，则的最小值为______.

2.（2022·全国·高三专题练习）已知，（为常数），的最大值为，则_______．

3.已知函数，若且，关于下列命题：正确的个数为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

黑龙江省大庆市大庆实验中学2018届高三上学期期初考试数学（文）试题

4.（2021·河北·衡水市冀州区滏运中学高三期末）函数，若存在a，b，c（），使得，则的最小值是________.

5.（2022·全国·高三专题练习）若是实数，是自然对数的底数，，则______．

6.已知、，且，对任意均有，则（     ）

A．， B．，

C．， D．，

7.（2022·全国·高三专题练习）已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（       ）

A． B． C． D．0

8.（2020·江西·鹰潭一中高三阶段练习（理））对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______

9.【2019福建三明上学期期末考】若不等式对任意恒成立，则实数的值为（   ）

A．1    B．2    C．3    D．4