专题3-2 含参讨论-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

这是一份专题3-2 含参讨论-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共55页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练47等内容，欢迎下载使用。

专题3-2 含参讨论

目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在常数位置（单参） 1
【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在系数位置（单参） 3
【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在“斜率”和常数位置（双参） 6
【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型 10
【题型五】 上下平移：指数型 12
【题型六】 上下平移：对数型 15
【题型七】 一元二次可因式分解型 18
【题型八】 一元二次不能因式分解型 21
【题型九】 双线法：指数型 24
【题型十】 双线法：对数型 29
【题型十一】 含三角函数讨论 30
【题型十二】 二阶求导型 33
【题型十三】 已知单调性求参 36
【题型十四】 不确定单调增或减求参 37
【题型十五】 存在单调增（减）区间求参 40
【题型十六】 非单调函数求参 42
二、最新模考题组练 47



讨论核心思维：对于许多中等学生而言，研究单调性需要解，但是这个是计算，容易解错或者遗漏，优秀学生则容易在此处花费时间，本专题核心思想是怎么把可能复杂的解不等式计算转化为简单的等式计算，快速找到讨论点。

导数求单调性含参讨论，直接题型大多是位于大题第一问，而大题第二问，以及小题难题，往往却需要分类讨论的应用能力。本专题围绕研究的是讨论点的寻找和训练，故所选大题，解析答案处大多数把第二问暂时去掉。
前三个专题是思维基础，要把这看似简单的题型讲解透彻

【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】（1）、先求出，对分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;
（2）、由题意将问题转化为有两个不同的实根，构造，判断的单调性；要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根；构造，对分类讨论判断的单调性，判断的零点，得出的取值范围.
解（1），，.
①、当，，函数在上单调递增；
②、当，令，得，时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当，的单调递增为，无单调递减区间；
当，的单调递增为，的单调递减为.

【提分秘籍】
基本规律
1.如定义域不是R，而是区间形式，则存在区间端点值。记下区间端点值。
2.求导分解因式后，不确定正负的部分是一元一次形式：kx+b，其中k是已知（非零），参数在b处。
3.可得零点，令x等于定义域端点值，则可得讨论点。
4.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。

【变式演练】
1.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，
（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可
（1）的定义域为
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
2.已知函数.
（1）求的单调区间
（2）若的极值点为，且，证明：.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导，由，求解；
（2）由（1）结合的极值点为，由，得到，，作出函数的大致图象，不妨设，根据，得到，再由 ，将证明，转化为证明即可.
解：的定义域为，，
由，得.当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，若在上为单调递增函数，在上为单调递减函数；（2）证明见解析.
【分析】
（1）的定义域为，求导，分类讨论和两种情况，研究的正负，从而求得函数的单调区间；
（2）由题得，则，由是的两个极值点，可知，所以，要证，需证，构造函数，即证
，从而证得.
【详解】
（1）易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.

【提分秘籍】
基本规律
对于求导后kx+b，其中b是已知，参数在k处
1.令k=0，得第一讨论点
2.令动根=定义域端点值，可得其余讨论点
3.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。
4.注意对应讨论点斜率正负。根的位置，画出对应图像，查找落在定义域部分正负

【变式演练】
1.已知函数fx=alnx+1x+4，其中a∈R．
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）对任意x∈1,e，不等式fx≥1x+x+12恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析（2）[e+12−4,+∞)
【分析】
（1）求出导函数f'(x)，分类讨论确定f'(x)的正负得单调区间；
（2）不等式变形为x+12−alnx−4≤0．引入新函数gx=x+12−alnx−4x∈1,e，求出导函数g'(x)，分类讨论a≤0时，不等式不恒成立，a>0时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较g(e)和g(1)的大小得到，从而得出参数范围．
解（1）函数fx的定义域为0,+∞，
f'x=ax−1x2=ax−1x2，
当a≤0时，f'x<0恒成立，函数fx在0,+∞上单调递减；
当a>0时，由f'x>0，得x>1a，
由f'x<0，得0 ∴函数fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增．
综上，当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递减；
当a>0时，函数fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增.
2.己知函数(其中为自然对数的底数)
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；
（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.
（1）
解：
①，在上单调增；
②，令，单调减。单调增；
③，单调增。单调减.
综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
3.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）的定义域为，求出，分别讨论，，时不等式和的解集即可得单调递增区间和单调递减区间，即可求解；
（2）的定义域为，不等式等价于，，
令，只需证，令，利用导数判断单调性和最值即可求证.
解（1）的定义域为，
由可得：，
当时，令，解得；令，解得或；
此时在上单调递增，在和上单调递减：
当时，，此时在和上单调递减；
当时，令，解得，令，解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减：
综上所述：当时，在上单调递增，在和上单调递减；
当时，在和上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上单调递减.

【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参）
【典例分析】
已知函数，其中，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）求导，，分，时，，三种情况讨论求解；
（2）根据（1）知，当或时，至多有1个零点，当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，且（1），再由零点存在性定理判断另一个根的存在即可.
（1）
解：由，得，．
当，即时，，在上单调递减；
当，即时，．
①当时，且，，
在上单调递增；
②当时，，，
当变化时，，的变化情况如下表：



，


0


单调递减
极小值
单调递增
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递增，
【提分秘籍】
基本规律
对于求导后kx+b，其中k、b皆为参数 ，同第二种类型

1.令k=0，得第一讨论点
2.令动根=定义域端点值，可得其余讨论点
3.注意对应讨论点斜率正负。根的位置，画出对应图像，查找落在定义域部分正负
4.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。


【变式演练】
1.已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．
【答案】（1）答案见详解（2），；
【分析】
（1）求导得，分类讨论参数，结合导数正负即可求解函数单调区间；
（2）求出过点的切线方程，分别令求出，令求出，结合三角形面积公式可求，结合导数即可求解的最大值．
解（1）由求得，
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，时，，单调递减；
时，，单调递增；
当时，时，，单调递增；时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，时，单调递减；时，单调递增；
当时，时，单调递增；时，单调递减；
2.函数()．讨论的单调性﹒
【答案】见解析﹒
【分析】求出g(x)的导数，分类讨论的正负，以此确定g(x)的单调性﹒
【详解】的定义域为，，
①当，时，，则在上单调递增；
②当，时，
令，得，在上单调递增，
令，得，在上单调递减；
③当，时，，则在上单调递减；
④当，时，
令，得，在上单调递增，
令，得，在上单调递减﹒
综上所述，
①当，时，在上单调递增；
②当，时，在上单调递减，在上单调递增；
③当，时，在上单调递减；
④当，时，在上单调递增，在上单调递减﹒
3.已知．
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数的两个零点，求证：．
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）构造函数，与y＝m图象两交点的横坐标为，，问题转化为证明，，根据函数的单调性证明即可．
解（1），，，当时，，
即的单调递增区间为，无减区间；当时，，
由，得，时，，时，，
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.


【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型
【典例分析】
已知函数．
（1）求的极值；
（2）若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值（2）
【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的极值.
（2）将不等式分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
J解（1）的定义域为．．
当时，在上单调递减，无极值．
当时，由，得，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递减．在处取得极大值，无极小值．
．
综上所述，当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值．

【提分秘籍】
基本规律
若 ，
1.在定义域内画出r(x)图像
2.以参数b的平移为讨论点，进行分类讨论。
3.一定要注意理解“反比例”函数的水平渐近线
4.还要注意定义域的不同，是否决定“反比例函数”是否有界。
5.授课时要讲清楚，如果把导函数一通分，就变成了其余类型的分类讨论了。可和“反比例”讨论法作对比
【变式演练】
1.设函数.
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【分析】
（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.
(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.
（1）的定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：.
即a，b的值为：，.
2.已知．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，对任意都有成立，求实数a的最大值．
【答案】（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）
【分析】
（1）求得导函数，讨论时，时，导函数的符号，即可判断原函数的单调性；
（2）当时，对有成立，可化为在上恒成立，令，只需，计算即可求得结果．
（1）∵的定义域为，且．
当时，显然，∴在定义域上单调递增；
当时，令，得，则有：





+
0
-


极大值

即在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
【题型五】 上下平移：指数型
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.
【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）由（1）知，当时，不符合题意；当时，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性和，即可求解.
解：（1）由题意，函数的定义域为，可得，
当时，可得，单调递增，此时函数的无极值；
当时，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值为，无极大值.
【提分秘籍】
基本规律
指数型，主要是底数为e的类型。若 ，
1.当a=0可得讨论点
2.讨论a，b同号时
3.当a，b异号时，令动根等于定义域端点值，可得讨论点
4.在定义域内画出r(x)图像
5.要注意的水平渐近线，以及定义域内的有界性。


【变式演练】
1.设函数.
（1）求函数的极值；
（2）若在时恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）[,+∞).
【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；根据单调性即可求得f(x)的极值﹒
（2）参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题﹒
（1）
由题可知，
①当在上单调递增，∴f(x)没有极值；
②当时，．
当时，单调递增；
当时，单调递减；
∴f(x)在时取得极大值，没有极小值﹒
综上所述，当时，无极值；
当时，有极大值，无极小值；
2.设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．
【答案】
（1）当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导，对参数分类，讨论的正负，研究函数的单调性；
（2）由已知，且，则，进而得到 ，构造函数判断函数的单调性知，进而得到，再判断，即可证得结论.
（1）
由题可得，，
当时，，函数的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
【题型六】 上下平移：对数函数型
【典例分析】
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
【答案】（1）增区间为，减区间为（2）（3）证明见解析
【分析】
（1）利用导数求得的单调区间.
（2）结合的单调性以及来求得的取值范围.
（3）结合（2）的结论得到，由等差数列的前项和公式证得不等式成立.
解（1）的定义域为，，令，解得.
所以在区间递增；在区间递减，
所以的增区间为，减区间为.

【提分秘籍】
基本规律
形如若 ，此函数必为单调函数。
1.底数含参，可得底数大于或者小于1讨论点
2.k的正负，可得讨论点
3.令可得动根，令其等于定义域端点值，可得讨论
4.在定义域内画出对应讨论的图像


【变式演练】
1.已知函数，（其中a为非零实数）．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②设两个零点分别为、，求证：．
【答案】（1）答案见解析（2）①；②证明见解析
【分析】
（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）①由转化为，通过换元法，结合导数求得的取值范围.
②利用换元法，将证明转化为证明，通过构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
（1），若，则当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
若，则当时，，单调递减；
当时，，，单调递增．
2.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；
（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．
【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析
【分析】
（1）利用导数求解单调性；
（2）利用是的切线求出其切线方程，再利用切线方程与只有一个公共点，即可求出实数的取值集合；
（3）证明有两个零点，即证明函数，其中一个零点通过观察即可求得，另一个零点通过切线放缩即可证明，将代入中，即证明成立，通过构造函数，判断其单调性即可证明.
解（1）函数的定义域为，对求导，得，
令，解得，当时，，单调递增．
当时，，单调递减；
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
3.设为实数，且，函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）求导得，再分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题得有两个不同的根，进而曲线与直线有两个不同的交点.故先考虑曲线与直线相切的情况时得，进而令，构造函数，由函数的性质知得，进而问题转化为恒成立，最后结合已知，解不等式即可得答案.
解：（1）由题意得.因为，所以，所以当时，，
所以当时，函数在上单调递增.
当时，令，则，所以；
令，得，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
【题型七】 一元二次可因式分解型
【典例分析】
已知函数．（1）设讨论函数的单调性；
（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围．
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.
【分析】
（1）由题意求出函数的导函数，对与讨论的单调性.
解（1）由题，定义域为，所以．
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．

【提分秘籍】
基本规律
1.定义域
2.可分解为f(x)=(mx-a)(nx-b)型
3.二次项系数如果有参，令其等于零，可得讨论点
4.动根等于定根，可得讨论点
5.动根等于定义域端点值，可得讨论点
6.以上讨论点，序轴标记，画出对应讨论图像，在定义域内看正负得增减即可。

【变式演练】
1.已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当时，证明：.
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）求导得，分类讨论参数范围可求的单调性；
（2）将不等式变形得，构造函数，通过求出最值，证明即可得证.
（1）
的定义域为，

若，恒有，则在上单调递增，在上单调递减，
若，令，得，
若，恒有在上单调递增，
若，当时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
若，当时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减；
2.设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）【分析】
（1）先求出函数定义域，然后求出函数的导函数，分类讨论确定和的范围，得单调区间；
（2）由（1）得函数的最小值为，由可得结论．
（1）
定义域是，
，
或，
若，则，在上是增函数，
若，则在时，，时，，
的减区间是，增区间是；
若，则在时，，时，，
的减区间是，增区间是；
3.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程有四个根，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析（2）或
【分析】
（1）求导，分，， ，讨论求解；
解：，
当时，当或时，，当时，，
所以的单调递减区间，，单调递增区间；
当时，恒成立，所以在上递减；
当时，当或时，，当时，，
所以的单调递减区间，，单调递增区间；

【题型八】 一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式
【典例分析】
已知函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且正数满足，证明.
【答案】（1）当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减；
【分析】
（1）先求定义域，再求导，分与两种情况讨论求出的单调性；（2）代入，对进行整理，把与的乘积和与的和分别放在等式的两边，，求出等式右边的取值范围，进而得到关于的不等式，解出不等式的解集即可.
（1）
定义域为，，令，当时，，令得：，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为，当时，，此时，，其中由定义域可得：舍去，从而当时，单调递增，当时，单调递减，
综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减

【提分秘籍】
基本规律
1.定义域
2.二次项系数等于零，得讨论点
3.判别式等于零得讨论点
4.韦达定理等于零得讨论点
5求根公式求出根，待用。（注意根的分母是否含参数，如含参，注意相应参数范围时候根的大小）
6.序轴标记讨论点，分类讨论
7.讨论思考顺序：开口上下→判别式正负→韦达定理→求根公式

【变式演练】
1.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）先把函数进行求导并进行化简，由题意知，，在对进行讨论即可得到答案.
（2）由（1）知在时，存在两个极值点，利用韦达定理求出的关系式，并用分别表示出和，把代入中进行化简，，所以可以求出最小值，即可证出.
（1）
由题意可知，，
当时，，则在是单调递增；
当时，若，即时，
若，即时，和时，时，，
综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减
2.已知函数（）
（1）讨论的单调性
（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；（2）不是，理由见解析；
【分析】
（1）先求导，然后结合导数与单调性关系对参数进行讨论即可得解；
（2）要判断是否其导函数的零点，问题转化为是否成立，结合函数的性质进行求解.
【详解】
（1）函数，定义域为
求导
（i）当时，，在上单调递减；
当时，令，其
令，得，
（ii）当时，，（舍去），当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；
（iii）当时，，（舍去），当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；
3.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】
（1）由题知，再分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意，故令，，将问题转化为.由于，再分，，三种情况讨论求解即可.
（1）
解：函数的定义域为，，

所以当，即时，恒成立，函数在上单调递增；
当，即或时，令得，令，
所以的解集为，的解集为，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当或时，在和上单调递增，在上单调递减；
【题型九】 双线法：指数型
【典例分析】
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2），.
【分析】（1）对进行求导，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调性；
解：，
①当时，恒成立，
令，则，所以的单调增区间为，
令，则，所以的单调减区间为；
②当时，令，则或，
（ⅰ）当，即时，
令，则或，令，则，
所以的单调增区间为和，单调减区间为；

【提分秘籍】
基本规律
以【典例分析】题说明双线法思维分解图

1.第一线：
2.第二线：
3.双线共系：
4.可讨论动根与定根的大小关系，然后知两线函数值积的正负
5.要留意指数函数有渐近线，所以讨论时候注意“第二线”是否有根
【变式演练】
1.已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．
【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出后，分，，三种情况，由的正负确定函数的单调性；
（2）根据的单调性，利用零点存在性定理进行证明即可.
（1），
，令，得或，
①当时，由，得或；由，得，
在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，时；当时.
在上单调递增；
③当时，由，得或;由，得，
在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
2.已知函数（其中，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】
（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；
（1）
由可得
，
当时，，当时，；当时，，
此时的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在上单调递增；
②若，即时，
由可得：或；令可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，
由可得：或；由可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述：
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
3.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，令，若是函数的极值点，且，求证：.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后分类讨论函数的单调性即可；
解：，
当时，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，由，得或，
若，则，所以在上单调递增，
②若，则，故当，时，，
当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，
③若，则，故当，时，，
当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在，上递增，在上递减；
当时，在，上递增，在上递减；
【题型十】 双线法：对数型
【典例分析】
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调性.
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
（1）
由题知的定义域为， ．
若，则当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
若，则当或时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，则当时，，∴在上单调递增；
若，则当或时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

【提分秘籍】
基本规律
1.同指数双线法思维
2.要注意对数定义域限制（竖直渐近线）

【题型十一】 含三角函数型讨论
【典例分析】
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）对函数求导，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令，要使恒成立，只需当时，，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数过点的切线方程，各切点的横坐标满足，为函数和的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，从而根据对称性得出结果.
∵，
增区间应满足：，
减区间应该满足：，
∴的增区间为；
减区间为.


【提分秘籍】
基本规律
1.三角形式注意适当合理的恒等变形
2.充分利用三角函数正余弦的有界性。


【变式演练】
1.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
【答案】
（1）在区间和上单调递增，在和上单调递减
（2）的最大值为1，最小值为
【分析】
(1)结合已知条件求出，然后求出，进而即可求解；(2)首先求出的周期，然后结合(1)中条件即可求解.
（1）
由题意，，
令，，解得或或，
当时，；当时，，
∴在区间和上单调递增，在和上单调递减；
2.已知.
（1）求的单调区间；
（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）对求导可得，讨论、求自变量范围，即可确定单调区间；
（2）由题设得，讨论、、结合导数及零点存在性定理判断零点的个数，即可证明结论.
（1）
由题意知：，
令，得或，令，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减；

【题型十二】 二阶求导讨论型
【典例分析】
已知函数（其中为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【分析】（1）先求导，再对利用导数分两种情况求函数的单调区间；
（2）求出，令，则，令，再对分两种情况讨论分析得解.
解：（1） ，令，则，
①当时，，
②当时，时，，时，；
综上，当时，在上是增函数；
当时，在上是增函数，在上是减函数；
【提分秘籍】
基本规律
1.一阶导函数难以“看出”正负
2.二阶导函数基本符合常见讨论思维
3.一节导函数大多数存在“零点”或者最值作为“看正负”的关键数据


【变式演练】
1.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间为，单调递减区间为；
试题解析：（Ⅰ）与坐标轴交点为，，与坐标轴交点为，
解得，又，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

令，显然函数在区间上单调递减，且
当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
2.已知函数.
（1）判断在上的单调性；
（2）时，求证：（为自然对数的底数）.
【答案】（1）在上为单调增函数；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）要判断在上的单调性，只需研究的值域，进一步研究的取值情况即可.
（2）由（1）知，在单调递增，且易证，所以只需证明当时，，此结论易证.
【详解】
解：（1）的定义域为，，
∴当时，，在上为增函数，
时，，
在上为单调增函数.
3.已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1)−ax.
（1）若a=2，求f(x)的单调区间；
（2）若a≤−2，−12x(1−e−x).
【答案】(1) f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，不存在递减区间.(2)见证明
【解析】
【分析】
(1)求出f'(x)=ln(1+x)−xx+1，f''(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2研究函数f''(x)的正负情况即可明确f'(x)=ln(1+x)−xx+1的正负情况，即可得到f(x)的单调区间；
(2) 设g(x)=ln(1+x)−x，证明g(x)≤0，要证明f(x)>2x(1−e−x)
只需证明(x−2)ln(1+x)>−2xe−x.
【详解】
解法一：（1）f(x)的定义域为(−1,+∞)，a=2时，f(x)=(x+2)ln(1+x)−2x
f'(x)=ln(1+x)+x+2x+1−2=ln(1+x)−xx+1,
所以f''(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2
当x∈(−1,0)时，f''(x)<0，所以f'(x)在(−1,0)单调递减；
当x∈(0,+∞)时，f''(x)>0，所以f'(x)在(0,+∞)单调递增；
所以f'(x)≥f'(0)=0，所以f(x)在(−1,+∞)单调递增，
即f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，不存在递减区间.

【题型十三】 已知单调性求参
【典例分析】
已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；
【答案】（1）；（1）
当时，，故结论成立
当时，，即.
当时，在上不恒大于或等于0，故舍去.
综上得的取值范围范围是.

【提分秘籍】
基本规律
已知单调性（增或者减），可转化为导函数恒大于零或者小于零，则为恒成立。大多数可参变分离。


【变式演练】
1.已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；试题解析：（1）
由题意，即对恒成立，整理得
，即，在恒成立
设显然其对称轴为
∴在单调递增，∴只要，∴．
2.已知函数．
（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；
【解析】（1）函数定义域为，．
依题意在上恒成立，即在上恒成立．
令．
（方法1）则
，因此当，即时取最小值．
（方法2）则，
令得，且当时；当时，
所以在取得最小值，故实数的取值范围是．
3.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
【答案】（1）；
试题解析：解：（1）在上恒成立，
令，有得，得．
综上，存在实数，使得当时有最小值3．

【题型十四】 不确定单调增或减求参
【典例分析】
已知函数f(x)＝x2＋alnx.(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
【答案】 (2) [0，＋∞)
试题解析 (2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．
(ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，
设φ(x)＝－2x2，因为φ(x)在[1，＋∞]上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.
(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)．

【提分秘籍】
基本规律
需要对单调性分增减讨论。

【变式演练】
1.已知函数，其中为常数．(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；
【答案】(Ⅱ)；．
试题解析：(Ⅱ)①当是增函数时， 在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立．在上是减函数，，
②当是减函数时，在上恒成立，即在上恒成立。设，则解得。的取值范围为
2、已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）若在上单调递减，等价于，利用二次函数求出最大值即得解；若在递增，等价于，二次函数没有最小值，此种情况无解. 综合即得解.
（2）利用韦达定理求出，，再求出，求出函数的最小值即得证.
（1）
解：，，若在上单调递减，则在上恒成立，故，，，
若在递增，则在恒成立，故，
没有最小值，此时不存在，
综上，的取值范围是，；
3.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）由于是（0，2）上的单调函数，所以在（0，2）上大于等于零或小于等于零，从而可求出a的取值范围；
（2）由函数f(x)在（0，2）上有零点，则，使，而，，从而可得在，上不单调，则在上至少有两个零点，则（1）可得当时，有可能有两个零点，从而可判断在上有两个零点，，且，，所以有，再结合解不等式组可得答案
解：（1），∴，∵在上单调，
∴或在上恒成立，即或在上恒成立，
∴或．


【题型十五】 存在单调增（减）区间
【典例分析】
已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2） ；
试题解析：（1），
垂直，，
（2）
设，则只须
的取值范围为


【提分秘籍】
基本规律
1.可一元二次根的分布
2.可参变分离求“存在”型最值
3.可转化为“有解”型分类讨论

【变式演练】
1.已知函数，其中a为实常数．
（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
【答案】（1）；
试题解析：（1）．若，即，则，从而f(x)在R上是减函数，不合题意，所以． 由，得，即，
所以f(x)的单调递增区间是．因为f(x)在上存在单调递增区间，
则，即，解得．故a的取值范围是．
2.已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（3）若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）求导，再根据曲线在点处的切线方程为求解；
（2）根据函数在区间上存在单调增区间，又在上有解求解；
（3）
（1）
解：因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，
所以切线斜率为1，即，，所以．
（2）因为函数在区间上存在单调增区间，
所以在上有解，
即只需在上的最大值大于0即可．令，
当时，为增函数，
当时，为减函数，
所以，当时，取最大值，故只需，即．
所以实数a的取值范围是．
3.已知函数，.
（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；
（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；
【详解】
（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，
令，，且当时，，
当时，，如图得到函数的大致图象，故当，
∴时，函数存在增区间；
【题型十六】 非单调函数求参
【典例分析】
已知函数，其中.
（1）如果曲线与轴相切，求的值；
（2）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.
【答案】（1）1（2）【分析】
（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出结果；
（2）先求出函数在上是单调函数的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可.
（1）求导得，曲线与轴相切，此切线的斜率为0.
由解得，又由曲线与轴相切，得解得.
（2）由题意可得，
当时，在上恒成立，函数单调递增，
当时，在上恒成立，函数单调递减，
在上恒成立，或在上恒成立，
在上恒成立，或在上恒成立，
令，由，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
或或
函数在区间上不是单调函数，，故的取值范围为.

【提分秘籍】
基本规律
1.可转化为“否命题”
2.可借助函数图像最值值域等来研究

【变式演练】
1.已知函数的导数为，函数.
（1）求；
（2）求最小正周期及单调递减区间；
（3）若，不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递减区间为，；（3）.
【分析】
(1)利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则直接计算即得；
(2)结合(1)的结论利用三角恒等变换化简，再借助正弦函数性质即可作答；
(3)根据给定条件求出的导数，在内求出及恒成立的a值范围即可得解.
【详解】
(1)依题意，；
(2)由(1)知，，
则的最小正周期为，
由，得：，，
所以的单调递减区间为，；
(3)由(2)知，，，
当时，，则，即，
当在上单调时，则对，或成立，
由，得：，，则，
由，得：，，则，
因此，当在上单调时，或，
于是得不是单调函数时，，
所以实数的取值范围是.
2.已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；
（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.
【详解】
（1）已知，，由可得，
又由,知在上单调递减，
令，记，则
在上单调递增；，在上单调递增；
，
（2），，在上不单调，
在上有正有负，在上有解，，，
恒成立，记，则，
记，，在上单调增，在上单调减.
于是知
（i）当即时，恒成立，在上单调增，，
，.
（ii）当时，，故不满足题意.
综上所述，
3.设函数，，
（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）根据题意，得到，再由函数单调性，即可得出结果；
（2）先由题意，得到定义域，再对函数求导，根据其不单调，得到的最小值为负，进而可得出结果；
（3）先令，对其求导，用导数的方法求出最大值，再结合题中条件，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，在上单调递增，
而函数可由平移后得到，函数单调递增，
所以只需，所以；
（2）易知函数的定义域为，而，
因为函数在定义城内不单调，
所以，只需的最小值为负，即，所以.

1.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意在上恒成立，令，求出函数的导函数，再由二次函数的性质，可得二次函数必有一正一负两个零点，设其中一个零点，则，再利用导数求出的范围，从而求出的取值范围；
解：因为定义域为，且.
①若，则，所以在上单调递减.
②若，令，得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
2.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的值．

【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】
（1）求得的定义域为，且，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）当时，得到，不合题意；当时，得到，根据题意转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
解（1）：由题意，函数的定义域为，
则，
当时，对，，故在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在内的零点个数．

【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析；
（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
(1)确定函数的定义域并求导，再对a的取值进行分类讨论即可得函数的单调性.
(2)求出函数，借助导数求出的最大值，再对a的取值进行分类讨论即可确定零点个数.
（1）
函数的定义域为，求导得：，
当时，，在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
4.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】
（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负→函数的单调性；
（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a的取值范围
（1）
解：由题意，得函数的定义域为R，则，
当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
5.已知函数（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若，（）满足，求证：.

【答案】
（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导得，分类讨论参数可求的单调区间；
解（1）.
①当时，，由，得；由，得；
②当时，由，得或；由，得；
③当时，；
④当时，由，得或，由，得.
综上：当时，的单调减区间为，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，，单调增区间为；
6.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】
（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数分，两种情况讨论的正负→函数的单调性；
（2）转化为恒成立，设，转化为，设，转化恒成立分，，讨论，利用分离参数法求解a的取值范围
（1）
解：由题意，得函数的定义域为R，则，
当时，对任意恒成立，所以函数在R上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
7.设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）

【答案】（1）答案见解析（2）存在，的最小值为0
【分析】
（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.
（1）
因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
8.已知函数
（1）若，试求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．

【答案】
（1）
（2）答案见解析
【分析】
（1）求导得到导函数，计算，，得到切线方程.
（2）求导得到，考虑，，，四种情况，根据导数的正负得到函数的单调性.
（1）
，，，
，故切线方程为：.
（2）
，故，
当时，，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，得到，
当时，，当和时，，函数单调递增，当，时，，函数单调递减；
当时，， 恒成立，函数在R单调递增；
当时，，当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；
综上所述：
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减.
9.已知函数.（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.

【答案】（1）极大值，极小值（2）答案见解析
【分析】（1）当时，，求导，令可得极值点和极值；
（2），对分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．
（1）当时，，令得或.




0


+
0
-
0
+






∴时，有极大值，时，有极小值.
（2），∵，∴.
（1）当时，有，
当，，在上单调递增.
（2）当时，令，得.
①当，即，有，
从而函数在上单调递增.
②当，即时，
当，，单调递减；
当，，单调递增.
综上，时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
10.已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．

【答案】
（1）在单调递减，在单调递增.
（2）
【分析】
(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；
（1）
，，
①当时，，
在恒成立，，在单调递减，
②当时，令，则在恒成立，
在单调递增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在单调递增，
综上所述：在单调递减，在单调递增.
11.已知函数.
（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?

【答案】（1）答案见解析（2）存在，理由见解析.
【分析】
（1）先分别讨论，两段上的函数最值，再根据两段函数最值比较综合即可得答案；
（2）假设存在，则设（），则，进而根据将问题转化为有解问题，再分和讨论求解即可得答案.
（1）
解：当时，，，令，解得，此时在和上单调递减，在上单调递增，由于，故当时，；
当时，，，故当时，在区间上单调递减，；当时，在区间上单调递增，，当时，.
综上，当时，在上的最大值为，当时，在上的最大值为.
12.已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围；
（3）当时，证明：对任意恒成立.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义求得函数在处的切线斜率，可得关于的方程，从而可得结果；
（2）函数在区间上存在单调增区间，等价于在区间上有解，分离参数求出函数范围，即得结果；
（3）先利用，求出值，然后证明对任意的恒成立即可.
【详解】
（1）由得，
因为函数在处的切线方程为，
曲线在点处的切线斜率为，
解得；
（2）函数，，
因为函数在区间上存在单调增区间，所以在区间上有解，
即在区间上有解，因为在区间上递增，
所以，可得故；
13.设函数（）（是一个无理数）
（1）若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；
（2）设函数的两个极值点为和，记过点、的直线
的斜率为k，是否存在a， 使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a>2；（2）
【解析】试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
令g（x）=，其判别式△=a2 -4
1）当-2≤a≤2时，△≤0，，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
2）当a<-2时，△>0，g（x）=0的两个根都小于零，故在（0，+∞）上，，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
3）当a>2时，△>0，g（x）=0的两个根都大于零，令，，x1x2=1
当0x2时，，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）内单调递减，在（x1，x2）内单调递增，综上所述a>2
14.已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx，是函数f（x）的极值点．
（1）若，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）不是单调函数，且无最小值，证明：f（x0）＜0．

【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，明确单调性，从而得到最值；
（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）＜0．
【详解】（1）解：，其定义域是．
．令，得，
所以，在区间单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为．
（2）解：函数的定义域是，
对求导数，得，
显然，方程（），
因为不是单调函数，且无最小值，则方程必有个不相等的正根，所以，解得，
设方程的个不相等的正根是，，其中，
所以，
列表分析如下：












所以，是极大值点，是极小值点，，
故只需证明，由，且，得，
因为，，所以，从而．