专题07 导数证明复习12种归类- 2022-2023学年高二数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019选择性必修第二册)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 基础证明1
\l "_Tc26924" 【题型二】 利用第一问结论构造证明2
\l "_Tc12217" 【题型三】 常规构造函数型2
\l "_Tc30563" 【题型四】 极值点函数值代换型2
\l "_Tc30563" 【题型五】 数列不等式型3
\l "_Tc30563" 【题型六】 同构型3
\l "_Tc30563" 【题型七】 含三角函数求导型4
\l "_Tc30563" 【题型八】 双函数水平线隔离型（凸凹翻转型）4
\l "_Tc30563" 【题型九】 零点型偏移5
\l "_Tc30563" 【题型十】 利用韦达定理代换消去型5
\l "_Tc30563" 【题型十一】 比值代换构造型6
\l "_Tc30563" 【题型十二】 不确定的根消去型（虚设零点）6
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练7
【题型一】 基础证明
【例1】
.已知函数，．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的最大值；
（3）当时，证明：．

【例2】
已知函数的图象在原点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）证明：.

【例3】
已知函数(其中常数是自然对数的底数).
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意，当时，.

【题型二】 利用第一问结论构造证明
【例1】
已知是函数的一个极值点.
（1）求的值；
（2）证明：.

【例2】
已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若正数m，n满足，求证．

【例3】已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）证明：.

【题型三】 常规构造函数型
【例1】
已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）求证.

【例2】
设函数f(x)=(1-mx)ln(1+x).
(1)若当时，函数f（x）的图像恒在直线y=x上方，求实数m的取值范围；
（2）求证：。

【例3】
设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m>n>0时，.

【题型四】 极值点函数值代换型
【例1】
已知函数，其中a为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2，求a的值；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．
【例2】
已知.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，证明.

【例3】
已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）设两个极值点分别为，，且，证明：.

【题型五】 数列不等式型
【例1】
已知函数，且函数在点处的切线为轴．
（1）当时，证明：；
（2）已知，，求证：．

【例2】
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，对于任意的，且，证明：不等式.

【例3】
已知函数.
（1）若，恒成立，求的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：当时，.

【题型六】 同构型
【例1】
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对任意，恒成立，求实数的最大值．

【例2】
当时，证明

【例3】
已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.

【题型七】 含三角函数求导型
【例1】
已知函数，为的导函数．
（1）已知过点能作曲线的三条切线，求的取值范围；
（2）证明：，．

【例2】
已知函数，.
（1）求证：在上恒成立；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【例3】
已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．

【题型八】双函数水平线隔离型（凸凹翻转）
【例1】已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求的最小值；
（3）当时，证明：.

【例2】
已知．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对一切，都有成立．

【例3】
已知函数f(x)=lnxx，g(x)=mx-3x2-1.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）对一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数m的取值范围；
（3）证明：对一切x∈(0,+∞)，都有lnx<2xe-x2ex成立.

【题型九】 零点型偏移
【例1】
已知为自然对数的底．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个不同零点，，求证：．

【例2】
已知函数.
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；
（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明.

【例3】
已知函数，其中为常数．
（1）若恰有一个解，求的值；
（2）若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；
若恰有两个零点，，求证：．

【题型十】 利用韦达定理代换消去型
【例1】
若．
（1）当，时，讨论函数的单调性；
（2）若，且有两个极值点，，证明．

【例2】
已知，函数，其中为自然对数的底数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若是函数的两个极值点，证明：.

【例3】
已知函数．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个极值点，，证明：．

【题型十一】 比值代换构造型
【例1】
已知函数的导函数为.
（1）判断的单调性；
（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.

【例2】
已知函数.
（1）求的极值；
（2）若两个不相等正数满足，证明：.

【例3】
已知函数恰有两个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：.

【题型十二】 不确定的根（虚设零点）型
【例1】
已知函数，.（参考数据：
（1）求在点的切线方程；
（2）求证：.

【例2】
已知函数，求证：．

1.已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若函数的图象在点处的切线平行于轴，求证：.

2.已知
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的极值点，，证明:.

3.已知函数（a为常数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当且时，.

4.已知函数．（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：（为自然对数的底数）．

5.已知函数在处的切线与直线平行．
（1）求的值，并求此切线方程；
（2）证明：．

6.、已知函数为的导函数.
（Ⅰ）令，求的单调区间；
（Ⅱ）证明：

7.已知．
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数的两个零点，求证：．

8.已知函数，
（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积．
（2）是的导函数，若函数有两个极值点，且，求证：．

9.已知函数（为常数，且）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若有两个极值点，，证明：.