专题3-3 压轴小题导数技巧：构造函数-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题3-3压轴小题导数技巧：构造函数

【题型一】导数公式构造1：“幂函数”型

【典例分析】

（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用奇函数的定义得函数是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论.

【详解】因为函数满足，且在上是连续函数，所以函数是偶函数，

令，则是奇函数，且在上是连续函数，则，

因为当时，成立，即，所以在上单调递减，

又因为在上是连续函数，且是奇函数，所以在上单调递减，

则，，，

因为，，，所以，所以，故选：B.

【变式演练】

1.设是定义在上的奇函数，在上有，且，则不等式的解集为          ．

【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．注意和的转化．

【详细解析】构造，则，当时，，可以推出，，在上单调递减．为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，在上单调递增．根据可得，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知的解集为．

2.函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D【解析】令，，，

∵，，∴，，

∴函数在上单调递增，∴，即，，

令，，，∵，，，

∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.

3.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是

A． B． C． D．

【答案】C详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即．

故选C．

【题型二】导数公式构造2：指数函数型

【典例分析】

（2021·吉林·高三阶段练习（文））已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，构造函数和，对于，由题意可得，利用导数分析可得在区间上单调递增，进而有，对其变形可得，同理分析的单调性可得，综合即可得答案．

【详解】根据题意，设，（），，（）

∵，∴，

即，∴

对于，其导数，

∵，，则有在区间上单调递增；

所以，即，变形可得；

对于，其导数，

∵时，，则在区间上单调递减；

则有，即，变形可得，

综合可得：，即的范围为.

故选：B.

【变式演练】

1.（2021·四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习（理））已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据题意，构造函数，判断出函数g（x）的单调性，再利用求得函数g（x）的对称轴，然后判断，得出答案即可.

【详解】构造函数，因为当时，，所以

可得在时， 是单调递增的；因为，化简得

即 可得图像关于x=1对称，则 ，   

因为 化简可得，故选C

2.已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

构造函数,结合导函数,判定的单调性,得对称轴,对选项判断即可.

【详解】

构造函数,计算导函数得到=，由>0,得当,>0当时,<0.所以在单调递增,在单调递减,而,所以关于对称,故,得到,故选:D.

3.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D【解析】因为，所以的图象关于直线对称，所以，设，则 ，因为，所以在上为减函数，又 ，因为，所以 ，选D.

【题型三】导数公式构造3：三角函数型

【典例分析】

已知定义在上的函数，为其导数，且恒成立，则（     ）

A．  B．  C．    D．

【答案】C【解析】因为，所以，则由得，即．令，则，所以在上递减，所以，即，即，故选C．

【变式演练】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集.

【详解】当时，，则

则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数

则是上的偶函数，且在单调递减，

由，可得，则，

则时，不等式

可化为

又由函数在上单调递增，且，，

则有，解之得

故选：D

2.（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（理））已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，当时，恒成立，即恒成立，

又由，可得，

令，可得，则函数为偶函数，

且当时，单调递增，

结合偶函数的对称性可得在上单调递减，

由，

化简得到，

即，所以，解得，

即不等式的解集为.故选：B.

3.（2023·全国·高三专题练习）定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A，B， C， 将代入条件可得，可判断选项D.

【详解】由题可得，

所以，

设则，

所以在上单调递减，且

由可得，

所以，，所以选项A､B错误，选项C正确.

把代入，可得，所以选项D错误，

故选：C.

【题型四】导数公式构造4：对数型

【典例分析】

（2022·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，构造函数，根据已知条件以及利用导数判断其单调性，从而求得的性质，再利用的性质求解不等式即可.

【详解】设，则的定义域为

且，所以在上单调递减.

因为，所以当时，；

当时，.

又当时，，当时，，

所以当时，恒有.

因为是上的奇函数，所以当时，，

所以等价于或

解得或，

所以不等式的解集是.

故选：D.

【变式演练】

1.（2020·黑龙江·鹤岗一中高三阶段练习（文））若定义域的函数满足且，若恒成立，则m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据条件构造函数，再利用导数研究函数单调性，进而解决不等式恒成立问题即可.

【详解】函数满足，，则，

可设，c为常数，故，，

，故，，，

令 ，，则，

时，，故单调递减；时，，故单调递增，在时取得最小值，恒成立，

在成立，故在上递增，又，所以不等式即，根据单调性得，解得.故选：D.

2.设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数

A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值

C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值

【答案】C

【分析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．

【详解】由题意可知，，即，所以，

令，则，

因为函数在处存在导数，所以为定值，，，所以，

令，当时，，

构建函数，则有，所以函数在上单调递增，

当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，，所以当时函数必有一解，

令这一解为，，则当时，

当时，

综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，

所以有极小值，无极大值．

3.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.

【详解】

令，，则，在上单调递减，而，

因此，由得，而，则，由得，而，则，又，

于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，

由得：或，即或，解得或，

所以不等式的解集为.

故选：D

【题型五】复合型构造1：常数型

【典例分析】

（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，不等式整理得，所以，利用单调性解抽象不等式即可.

【详解】设函数，

所以，因为，

所以，即，所以在上单调递减，因为，

所以，因为，整理得，

所以，因为在上单调递减，所以.

故选：C.

【变式演练】

1.．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数得到也是上的单调递增函数.，分析得到函数关于点对称.由得到，即得解.

【详解】构造函数，

所以也是上的单调递增函数.

因为，所以关于直线对称，

所以，（为常数），

，令，所以.

因为，所以所以，所以函数关于点对称.

由得到，因为，

所以，所以，所以，

所以.故选：A

2.（2020·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））已知函数的定义域为，为的导函数.若，且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】本题为含导函数的抽象函数的构造问题，由联想到构造，对其求导，从而判断出该函数的单调性.又由得出，不等式等价于，将其转化为，利用单调性就可得出不等式的解集.

【详解】设，则.

∵，

∴，即函数在定义域上单调递减.

∵，∴，

∴不等式等价于，

即，解得.

故不等式的解集为.

故选A.

3.（2022·全国·高三专题练习）若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知在上单调递增，得出，整理即可得出答案．

【详解】解：由题可知，则，

令，

而，则，

所以在上单调递增，

故，即，

故，

即，

所以.

故选：B.

【题型六】复合型构造2：指数型

【典例分析】

（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.

【详解】设，则，所以等价于，

由，可得

则，

所以在上单调递增，所以由，得．

故选：D

【变式演练】

1.（2020·全国·高三专题练习）已知是函数的导函数，对任意的实数都有，且，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先构造函数，根据和得到，再根据函数的单调性和最值即可得到实数的取值范围.

【详解】设函数，则，

因为，所以，

又因为，所以，即.

，在上单调递减，在上单调递增，

.且当时，，

如图所示：

所以当时，与有两个交点，

所以实数的取值范围是.故选：D

2.（2020·陕西省丹凤中学一模（理））若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数)的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】把不等式化为，构造函数令，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.

【详解】由题意，不等式，即，

令，可得，

因为且，可知，所以在上单调递增，

又因为，

所以的解集为.

故选：A.

3.（2021·河南·义马市高级中学高三阶段练习（文））若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】令，则

，所以在上单调递增，

又因为，由，得，两边同时乘以，得，得，即，解得，即不等式的解集是.

故选：C

【题型七】复合构造3：f（x）+g（x）型

【典例分析】

（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且时，上恒成立，则不等式 的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，利用定义证明其奇偶性，由得出的单调性，将所求不等式变为，从而得到，利用函数的奇偶性以及单调性解不等式即可.

【详解】由题得，令，则为偶函数

时，，则，则递增由得：

，即，

则，所以.故选：B.

【变式演练】

1.（2023·全国·高三专题练习）设函数在R上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，得到为奇函数，在上单调递减，分和两种情况，利用奇偶性和单调性解不等式，求出实数的取值范围.

【详解】∵，∴．令，且，

则在上单调递减．

又∵，

∴，

∴为奇函数，在上单调递减．

∵，

∴．

当，即时，，

即

即，由于在上递减，则，

解得：，

∴．

当，即时，，

即．

由在上递减，则，

解得：，所以．

综上所述，实数的取值范围是．

故选：D．

2.（2021·福建·三明一中高三阶段练习）设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.

【详解】构造函数，对任意实数，都有，

则，

所以，函数为偶函数，.

当时，，则函数在上单调递减，

由偶函数的性质得出函数在上单调递增，

，即，

即，则有，

由于函数在上单调递增，，即，解得，

因此，实数的最小值为，故选A.

3.已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解．

【详解】因为，所以，即，亦即

，又，所以，即有．

原不等式可等价于，

即，解得的取值范围是．故选：A．

【题型八】换元构造

【典例分析】

．已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

宁夏青铜峡市高级中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题

【答案】A

【分析】

由两图象有三个公共点可得有三个实根，变形得，设，则关于的方程有两个不同的实数根且共有三个实数根，结合二次方程根的分布和的图象性质可得答案.

【详解】令，可得，可得.设，则，即.，当时，单调递增且；

当时，单调递减且.作出的图象如图所示.

对于，，

设该方程有两个不同的实根，由题意得共有三个实数根.

若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.

若是方程的根，则，即，则方程的另一个根为，不合题意.

所以关于的方程的两根(不妨令)满足.

所以解得.故选A.

【变式演练】

1.已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（     ）

A．   B．   C． D．

2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(理科)试题

【答案】B

【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，即，①.

因为，①式两边同除以，得.所以方程有三个不等的正实根.

记，，则上述方程转化为.

即，所以或.因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.当时，，在上单调递减，且时，.所以当时，取最大值，当，有一根.

所以恰有两个不相等的实根，所以.故选：B.

2.（2022·全国·高三专题练习（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（       ）．

A．7 B．9 C．11 D．12

【答案】B

【分析】将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.

【详解】解：易知等价于．令，则．

令得．当时；当时．

所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值．

令，则．当时不符合，舍去，所以．

则，．当时；当时．

所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值．

若成立，只需，即，即．两边取自然对数可得．

当时等式成立；当时有．

令，本题即求的最大的正整数．

恒成立，则在上单调递减．

因为，，，

所以的最大正整数为9．故选：B．

【题型九】双元构造

【典例分析】

对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

对于任意，，当时，恒有成立，可得成立，令，可知函数在上单调递减，求导，令恒成立，即可求出的取值范围．

【详解】

对于任意，，当时，恒有成立，

即成立，

令，∴，

∴在上单调递减，

∴在恒成立，∴在恒成立，

∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.

【变式演练】

1.对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

对于任意，，当时，恒有成立，可得成立，令，可知函数在上单调递减，求导，令恒成立，即可求出的取值范围．

【详解】对于任意，，当时，恒有成立，

即成立，

令，∴，

∴在上单调递减，

∴在恒成立，∴在恒成立，

∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.

2..已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．

【校级联考】山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学文科试题

【答案】

【详解】不等式两边同时取对数得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，

设f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，

函数的导数，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，

即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故答案为：e

3.（2023·全国·高三专题练习）若对于任意的，都有，则的最大值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】问题转化为，构造函数，易得在定义域上单调递增，所以在上恒成立，进而可求出的最大值．

【详解】解：，，，，

，函数在定义域上单调递增，

在上恒成立，由，解得，故的最大值是.

故选：C．

1.（陕西·高考真题（理））已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(　　)．

A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)

C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)

【答案】A

【详解】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，

所以′＝≤≤0，

则函数在(0，＋∞)上单调递减．

由于0<a<b，则，即af(b)≤bf(a)

2.（浙江·高考真题（文））设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数

A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b

B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b

C．若ea-2a=eb-3b，则a＞b

D．若ea-2a=eb-3b，则a＜b

【答案】A

【详解】若，必有．

构造函数：，则，

则恒成立，

故有函数在x＞0上单调递增，

所以a＞b成立．故选A．

3.（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】由可得，而，所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．

故选：A.

4.（全国·高考真题（理））设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

5.（福建·高考真题（理））若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：令，则，因此，所以选C.

考点：利用导数研究不等式

【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

6.（辽宁·高考真题（理））设函数满足则时，

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

【答案】D

【详解】函数满足，

，令，

则，

由，得，令，

则

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为.

又在单调递增，

既无极大值也无极小值，故选D.

1.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ）

A．    B． C．    D．

2017届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学（理)试卷（带解析)

【答案】D

【解析】设，则，由已知当时， ， 是增函数，不等式等价于，所以，解得．

2.已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，则(    )

A．  B．    C． D．

湖北省武汉市尚品联考2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题

【答案】C【详解】

构造函数，则，，则，所以，函数在上为增函数.则，即，所以，；

，即，所以，，故选：C.

3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.

【详解】由题意，函数满足，令，则

函数是定义域内的单调递减函数，

由于，关于的不等式可化为，

即，所以且，解得，

不等式的解集为.故选：B

4.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小.

【详解】

由题意，在上的函数恒成立，

若，则，

∵上，即，

∴在上单调递减，而，故

∴，可得.

故选：B

5.（2021·四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习（理））已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据题意，构造函数，判断出函数g（x）的单调性，再利用求得函数g（x）的对称轴，然后判断，得出答案即可.

【详解】构造函数，因为当时，，所以

可得在时， 是单调递增的；因为，化简得

即 可得图像关于x=1对称，则 ，   

因为 化简可得，故选C

6.（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】观察式子特点，即

，构造函数，

利用（0，+∞）上为增函数，且，结合选项特点，

，从而得解.

【详解】解：由，得

，

设，

则

设，则在（0，+∞）上为增函数，且，

则当时，，此时，此时函数为增函数，

当时，，此时，此时函数为减函数，

由，即，即，

由，得，即，

由，得，即，

故选：A

7.（2019·吉林延边·高三阶段练习（理））已知定义在上的函数和函数满足，且，则下列不等式成立的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对函数求导，由题意得出，解出和的值，可得出函数的解析式，可得出，构造函数，利用导数判断出函数在上为减函数，可得出，化简后可得出正确选项.

【详解】，，

则，，，

将代入函数的解析式得，得，

，则.

构造函数，

则，

所以，函数在上单调递减，

，即，即，

因此，，故选C.

8.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.

解：由，

当时，可得，

即，

即，

构造函数，所以函数递增，

则，此时，即满足；

当时，可得，

由函数递增，则，此时或，即满足；

当时，，即满足.

综上，.故选：C.

9.（2021·全国·高三专题练习）若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将不等式转化为，构造函数，只需使在上递减，则在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范围.

【详解】因为，所以，则可化为，

整理得，因为，所以，

令，则函数在上递减，

则在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，则在上恒成立，

则在上递减，所以，

故只需满足：.

故选：A.

10.（2022·全国·高三专题练习）若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】变换得到，代入数据计算得到，求导得到函数单调性，计算最值得到答案.

【详解】由有，

可得：，故有：，得（为常数），得，由，解得：.

故，∴，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

则当时，，，，

由，

故所求取值范围为：.故选：D.