专题02 球放盒子模型11类归纳训练- 2022-2023学年高二数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019选择性必修第三册)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 球放盒子模型1：无限制幂指数型2
\l "_Tc26924" 【题型二】 球放盒子模型2：球不同盒子不同2
\l "_Tc12217" 【题型三】 球放盒子模型3：球不同盒子有空3
\l "_Tc30563" 【题型四】 球放盒子模型4：盒不空 放球有限制--放同一盒子或不放3
\l "_Tc30563" 【题型五】 球放盒子模型5：盒不空 某球放某盒（或不放某盒）4
\l "_Tc30563" 【题型六】 球放盒子模型6：球相同 盒不空---挡板法4
\l "_Tc30563" 【题型七】 球放盒子模型7：盒子放球个数受限4
\l "_Tc30563" 【题型八】 球放盒子模型8：盒子定序（编号限制）5
\l "_Tc30563" 【题型九】 球放盒子模型9：编号计算5
\l "_Tc30563" 【题型十】 球放盒子模型10：球部分相同（难）6
\l "_Tc30563" 【题型十一】 综合：披着各种“外衣”的球方盒子题型6
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练7
综述：
一、球放盒子基础：
1.球是否不相同
2.盒子是否不同（盒子相同题型很少）
3.球是否有剩余，盒子是否有空的
二、盒子和球限制：
1.球和盒子是否定序（标号）
2.盒子是否定量（容纳数量）
三、球放盒子技巧：
1.无限制，指数幂形式：
2.有限制：
（1）先分组再排列
（2）复杂形式：树图
（3）球相同：挡板法。
题型应用：
1,直白型：球放盒子
对象型：可类比如下常见的几种
医护分配（各种值岗或志愿者进社区）
旅游景点
运动项目（社团）报名
邮箱投信（卡片）
球不同，盒子不同（主要的）
方法技巧：无限制，指数幂形式，，有限制“先分组再排列”分类讨论
【题型一】 球放盒子模型1： 无限制幂指数型
【例1】
某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，且每人参加一项，则不同的报名方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【例2】
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【例3】
8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、 B、 C、 D、
【例4】
将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有
A．81种B．64种C．36种D．18种
【题型二】 球放盒子模型2： 球不同盒子不空
【例1】
将4个不同的球放到3个不同的盒子里，每个盒子中至少放一个球，则放法种数有（ ）．
A．72B．60C．48D．36
【例2】
如图，从左到右有个空格，若向这个格子放入个不同的小球，要求每个格子里都有球，有不同的放法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【例3】
将标号分别为，，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为
A．B．C．D．
【例4】
将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有种
A．B．C．D．
【题型三】 球放盒子模型3：球不同盒子有空余
【例1】
将大小相同5个不同颜色的小球，放在A、B、C、D、E共5个盒子中，每个球可以任意放在一个盒子里，则恰有两个盒子空且A盒子最多放1个球的放球方法总数为_____________．
【例2】
将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有
A．192B．144C．288D．240
【例3】
将编号为1，2，3且大小相同的三个球放入三个不同的盒子中，恰有1个盒子是空盒的放法有______种.
【题型四】 球放盒子模型4：球不同，放球有限制--放同一盒或不放同一盒
【例1】
将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（ ）
A．15B．30C．20D．42
【例2】
将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子至少放1个，但其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有（ ）
A．150种B．160种C．240种D．360种
【例3】
将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
A．12种B．18种C．36种D．54种
【例4】
将编号为1，2，3，4的四个档案袋放入3个不同档案盒中，每个档案盒不空且恰好有1个档案盒放有2个连号档案袋的所有不同放法种数有
A．6B．18C．24D．36
【题型五】 球放盒子模型5：盒不空 某球放（或不放）某盒
【例1】
把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（ ）
A．18种B．12种C．9种D．6种
【例2】将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）.
浙江省温州市普通高中2022届高三下学期返校统一测试数学试题
【例3】．将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为________. (用数字作答)
【例4】
5个不同的球放入不同的4个盒子中，每个盒子中至少放一球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是（ ）
A．120B．72C．60D．36
【题型六】 球放盒子模型6：球相同盒不剩--挡板法
【例1】
将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（ ）
A．22B．25C．20D．48
【例2】
7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种B．36种C．30种D．15种
【例3】
把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第个盒子中至少有个球（），则不同放法的总数是
A．B．C．D．
【例4】
中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有
A．B．C．D．
【题型七】 球放盒子模型7：盒子放球个数受限
【例1】将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（ ）
A．30种B．90种C．180种D．270种
【例2】将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有种．
A．7B．10C．14D．20
【例3】
11月25日，中国工程院院士、“共和国勋章”获得者钟南山在2021中国网络媒体论坛上发言，截至11月24日，中国新冠疫苗全程接种人数已经达到10亿8万，占中国人口的，到今年底接种率就会超过，为建立群体免疫打下了基础．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记、留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ）
A．50B．80C．140D．180
【例4】
将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.
【题型八】 球放盒子模型8：盒子定序（编号限制）
【例1】
将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．B．C．D．
【例2】
从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）
A．84B．168C．240D．252
【例3】
将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．315B．640C．840D．5040
【例4】
．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有
A．16种B．12种C．9种D．6种
【例5】
从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有
A．42种B．36种C．72种D．46种
【题型九】 球放盒子模型9：编号计算
【例1】
已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150B．240C．390D．1440
【例2】
我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.
【例3】
两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中去，每个盒子中最多放入一个小球，若放入小球的盒子的编号不连续，则不同的放法有_________种．
【题型十】 球放盒子模型10：球部分相同（难）
【例1】
有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2，3的小球，将这5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（ ）
A．45B．90C．24D．150
【例2】
将大小形状相同的个黄球和个黑球放入如图所示的的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为
A．B．C．D．
【例3】
第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【例4】
将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法.
【题型十一】 综合：披着各种“外衣”的球放盒子题型
【例1】
一个的表格内，放有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每辆车占1格，每行每列只有1辆车，放法种数为（ ）
A．720B．20C．518400D．14400
【例2】
为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．30种
【例3】
某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中4位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的2位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为（ ）
A．135B．360C．90D．270
【例4】
某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、、3米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种B．441种C．735种D．840种
【例5】
现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i，j的卡片只能放在i号或j号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种．
1.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有
A．81种B．64种C．36种D．18种
福建省龙岩市武平县第一中学2020-2021学年高二上学期月考数学试题
2.将标号为、、、、的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（ ）
A．B．C．D．
河北省邢台市南宫中学2020-2021学年高二下学期（3月）入学检测数学试题
3.将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.
山西省运城市发展联盟2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题
4.将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则1号盒子中有球的不同放法种数为_____.
浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
5.将编号为1,2,3,4的四个小球放入A,B,C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2
号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为
A．30B．24C．48D．72
【全国百强校】福建省厦门外国语学校2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题
6.【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】将编号的小球放入编号为盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有
A．种B．种C．种D．种
【全国校级联考】河南省豫南九校2019-2020学年下学期高二第二次联考数学（理）试题
7.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( )
A．40B．60
C．80D．100
2020届山东省淄博市高二10月摸底考试数学试题
8.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（ ）
A．36B．45C．72D．165
黑龙江省大庆铁人中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题
9.将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有_________种.（用数字作答）
宁夏海原第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题
10.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ）
A．144种B．108种C．72种D．36种
河南省中原名校联盟2018-2019学年高二下期期末理科数学试题
11.学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（ ）种不同的分配方案．
A．18B．20C．28D．34
重庆市巴蜀中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
12.3月5日学雷锋活动日，某班安排5名同学（其中2人具有文艺特长）到敬老院参与文艺表演、疫情防控宣传、卫生大扫除、交流谈心四项活动，每个活动至少安排1人，每人安排1个活动．若文艺表演只能安排具有文艺特长的同学，则不同的安排方案有（ ）
A．240种B．78种C．72种D．6种
云南省昆明市2022届高三”三诊一模“复习教学质量检测数学（理）试题
13.现有排成一排的个不同的盒子，将红、黄、蓝色的个小球全部放人这个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻的不同放法共有_________ 种. (结果用数字表示)
河北省邯郸市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题
14.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的放法.
2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（五）
15.把3个相同的红球和2个不同的白球放在四个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则不同的放法有（ ）
A．24B．28C．48D．52
山西省运城市发展联盟2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题
16.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（ ）
A．22B．25C．20D．48
福建省三明市普通高中2016-2017学年高二下学期期末质量检测理数试题
17.从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有_____________种.
四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年下学期高二3月月考理科数学试题