专题4.2.1 平行线分线段成比例（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版）

专题4.2.1 平行线分线段成比例（能力提升）（解析版）

一、选择题。

1．（2021•路北区一模）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（　　）

A．9 B．5 C．4 D．3

【答案】B。

【解答】解：∵直线a∥b∥c，

∴＝，

∴DE＝•EF＝EF．

∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，

∴EF＝5．

故选：B．

2．（2021秋•武冈市期中）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C。

【解答】解：A、AB∥CD∥EF，则＝，所以A选项错误；

B、AB∥CD∥EF，则＝，所以B选项错误；

C、AB∥CD∥EF，则＝，所以＝，所以C选项正确；

D、AB∥CD∥EF，则＝，所以＝，所以D选项错误．

故选：C．

3．（2021•南岗区校级一模）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【答案】C。

【解答】解：A、∵DE∥BC，∴＝，所以A选项的比例式正确；

B、∵EF∥AB，∴＝，即＝，所以B选项的比例式正确；

C、∵DE∥BC，∴＝，所以C选项的比例式错误；

D、∵EF∥AB，∴＝，即＝，所以D选项的比例式正确．

故选：C．

4．（2021秋•碑林区校级期中）如图，AD∥BE∥FC，直线l1、l2分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为（　　）

A．4.5 B．6 C．7.5 D．8

【答案】C。

【解答】解：∵AB＝3，BC＝5，

∴AC＝AB+BC＝8，

∵AD∥BE∥FC，

∴＝，即＝，

解得：EF＝7.5，

故选：C．

5．（2021秋•东兴区校级期中）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　）

A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5

【答案】D。

【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于点F，

则＝＝，＝＝3，

∴AE：EC＝6：5，

故选：D．

6．（2022•拱墅区校级开学）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝2EC，BD＝3，AE＝4，则CE＝（　　）

A．2 B． C．3 D．2

【答案】B。

【解答】解：∵DE∥BC，

∴＝，

∵AD＝2EC，BD＝3，AE＝4，

∴＝，

∴CE＝（负值舍去），

故选：B．

7．（2022•萧山区模拟）如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C。

【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，

∴四边形DECF为平行四边形，

∴DE＝CF，

∵DE∥BC，

∴＝，

∵AE：EC＝1：2，

∴AE：AC＝1：3，

∴＝，

∴DE＝3．

故选：C．

8．（2021春•东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【答案】B。

【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，

∴四边形DECH是平行四边形，

∴DH＝CE，DE＝CH，

∵DE∥BC，

∴＝＝，故选项A正确，不符合题意，

∵DH∥CG，

∴＝＝，故C正确，不符合题意，

∵DE∥BC，

∴＝，

∴＝，故D正确，不符合题意，

故选：B．

9．（2022•邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（　　）

A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2

【答案】D。

【解答】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．

∵MH∥BC，

∴＝＝＝＝，

∵BE＝EF＝CF，

∴HG＝MG＝CF，

∴＝＝，

∴y+z＝x，

∴＝＝，

∴x+y＝4z，

∴x＝z，y＝z，

∴x：y：z＝5：3：2，

故选：D．

10．（2022春•虹口区校级期中）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A。

【解答】解：设CF＝x，

∵EF∥AC，

∴＝，

∴＝，

解得x＝，

∴CF＝，

∵EF∥DB，

∴＝＝＝．

故选：A．

二、填空题。

11．（2021秋•松江区月考）如图，l1∥l2∥l3，AB＝AC，DF＝10，那么DE＝　4　．

【答案】4。

【解答】解：∵l1∥l2∥l3，

∴．

∵AB＝AC，

∴，

∴．

∵DF＝10，

∴，

∴DE＝4．

故答案为：4．

12．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，点D是BC中点，AM＝MD，BM的延长线交AC于点N，求AN：NC的值 　　．

【答案】。

【解答】解：作DE∥BN交AC于E，

∵DE∥BN，M是AD的中点，

∴N是AE的中点，

∵DE∥BN，D是BC的中点，

∴E是NC的中点，

∴AN：NC＝，

故答案为：．

13．（2021春•任城区期末）如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为　14　．

【答案】14。

【解答】解：过D点作DH∥CF交AB于H，如图，

∵EF∥DH，

∴＝＝，

∴FH＝3AF＝3×2＝6，

∵AD为中线，

∴BD＝CD，

∵DH∥CF，

∴＝＝1，

∴BH＝FH＝6，

∴AB＝AF+FH+HB＝2+6+6＝14．

故答案为14．

14．（2021•上海模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝　　．

【答案】。

【解答】解：∵DE∥BC，

∴＝，

∵AD＝3，BD＝4，AE＝2，

∴＝，

解得EC＝，

∴AC＝AE+EC＝2+＝，

故答案为：．

15．（2021秋•曹县期中）如图，AB∥CD∥EF，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为 　6　．

【答案】6。

【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴＝，即＝，

∴BD＝6，

故答案为：6．

16．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：AC的值是 　　．

【答案】。

【解答】解：过D作DH∥AC交BE于H，

∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△BCE，

∴，，

∴AE＝3DH，CE＝DH，

∴，

故答案为：．

17．（2022•海淀区校级一模）如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝　4　．

【答案】4。

【解答】解：∵DE∥BC，

∴＝＝，

∵AC＝10，

∴EC＝×10＝4，

故答案为4．

18．（2021秋•罗湖区校级期中）如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为 　　．

【答案】。

【解答】解：如图，过点D作DT∥BF交AC于点T．

∵AE＝DE，EF∥DT，

∴AF＝FT，

∵DT∥BF，

∴＝＝，

∴＝＝，

故答案为：．

三、解答题。

19．（2021秋•霍邱县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．

【解答】解：∵AE∥DF，

∴＝，即＝，

∴EF＝4，

∴BE＝BF+EF＝6+4＝10，

∵DE∥AC，

∴＝，即＝，

∴CE＝，

∴CF＝CE+EF＝．

20．（2021秋•娄底期中）如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．

【解答】解：∵b∥c，

∴，

∴OE＝EF＝，

∵a∥c，

∴，

∴DO＝OF＝×（+5）＝，

∴DE＝DO+OE＝+＝．

21．（2021秋•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，且DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，求AC的长．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴＝，

∵AD＝8，DB＝4，AE＝6，

∴＝，

解得：EC＝3，

∴AC＝AE+EC＝6+3＝9，

答：AC的长为9．

22．（2021秋•吉安期中）（1）解方程（3x﹣1）2﹣25＝0；

（2）如图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC，求证：＝．

【解答】（1）解：移项得，（3x﹣1）2＝25，

因此，3x﹣1＝5或3x﹣1＝﹣5，

解得x＝2或x＝﹣；

（2）证明：∵DG∥EC，

∴，

∵EG∥BC，

∴，

∴．

23．（2022春•台江区校级期中）阅读下列材料，完成相应的学习任务：

已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．

【解答】证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，

则∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠DAC，

∴∠E＝∠ACE，

∴AC＝AE，

∵CE∥DA，

∴＝，

∴＝．

23．（2022春•金山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．

（1）求线段DE的长；

（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．

【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，

∴∠DAC＝30°，

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，

∴CD＝2，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，

∴BC＝6，

∴BD＝BC﹣CD＝4，

∵DE∥CA，

∴，

∴DE＝4；

（2）如图，

∵点M是线段AD的中点，

∴DM＝AM，

∵DE∥CA，

∴，

∴DF＝AG，

∵DE∥CA，

∴，

∴，

∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，

∴．

25．（2021秋•闵行区校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．

（1）求线段BF的长；

（2）求AE：EC的值．

【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，如图，

∵AB＝AC＝，

∴BH＝CH＝BC＝2，

在Rt△ABH中，AH＝＝4，

∵DF垂直平分AB，

∴BD＝，∠BDF＝90°

∵∠ABH＝∠FBD，

∴Rt△FBD∽Rt△ABH，

∴＝＝，即＝＝，

∴BF＝5，DF＝2；

（2）作CG∥AB交DF于G，如图，

∵BF＝5，BC＝4，

∴CF＝1，

∵CG∥BD，

∴＝＝，

∵CG∥AD，

∴＝＝＝5．

26．（2020秋•高平市期末）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．

角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 　　．

【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，

∵CE∥AD，

∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，

∵∠1＝∠2，

∴∠ACE＝∠E，

∴AE＝AC，

∴＝；

（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，

∴AC＝5，

∵AD平分∠BAC，

∴＝，即＝，

∴BD＝BC＝，

∴AD＝＝＝，

∴△ABD的周长＝+3+＝．

故答案为．