专题4.2.2 相似三角形的判定（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版）

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专题4.2.2 相似三角形的判定（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2021秋•滦州市期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【答案】D。
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选：D．
2．（2021•肇源县模拟）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C。
【解答】解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，
当△PDA∽△CPB时，＝，即＝，
解得：x＝1或x＝6，
当△PDA∽△PCB时，＝，即＝，
解得：x＝，
则这样的点P共有3个，
故选：C．
3．（2022•中山市一模）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）

A．4 B．6 C．4 D．4
【答案】C。
【解答】解：∵BC＝8，
∴CD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴＝，
∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：C．
4．（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C。
【解答】解：∵∠BAC＝∠D，，
∴△ABC∽△DEA．
故选：C．
5．（2021秋•双牌县期末）如图所示：∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝（　　）

A． B． C．3 D．6
【答案】B。
【解答】解：∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠BCD
∴△ABC∽△CBD
∴BC：BD＝AB：BC
∴BC：BD＝（AD+BD）：BC
即BC：4＝（2+4）：BC
∴BC＝2，
故选：B．
6．（2021•汉中模拟）如图，矩形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，BC＝2，则AC的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．2
【答案】D。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠D＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴tan∠DAE＝tan∠CEF，
即，
∵E，F分别为CD，BC的中点，
∴DE＝CE，CF＝BC＝1，
∴DE2＝AD•CF＝2×1＝2，
∴DE＝（﹣舍去），
∴DC＝2DE＝2，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC＝＝2．
故选：D．
7．（2021秋•头屯河区期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
【答案】A。
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA，
∴，
∵S△DOE：S△COA＝1：9，
∴，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：2，
故选：A．
8．（2021春•北碚区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，DE：EA＝3：2，连接CE交BD于点F，则△DEF的面积与△BCF的面积之比是（　　）

A．2：5 B．3：5 C．4：25 D．9：25
【答案】D。
【解答】解：设DE＝3k，EA＝2k，则AD＝5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5k，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，∠EDF＝∠CBF，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
故选：D．
9．（2021秋•莲池区校级期中）如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】A。
【解答】解：∵∠D＝90°．AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝90°，
∴∠D＝∠C＝90°．
设DP的长为x，则CP长为6﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，
即x：（6﹣x）＝3：4，
解得：x＝
②若△APD∽△PBC，则DP：BC＝AD：PC，
即x：4＝3：（6﹣x），
整理得：x2﹣6x+12＝0，
∵Δ＜0，
这种情形不存在，
∴满足条件的点P的个数是1个，
故选：A．

10．（2021•龙湖区二模）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
【答案】B。
【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF＝OC，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠GFM+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴＝，
∴PC2＝PM•PH，
根据对称性可知：PA＝PC，
∴PA2＝PM•PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC＝2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．

二、填空题。
11．（2021秋•船营区校级期末）已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需　∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或　条件（只添一种即可）．

【答案】∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或。
【解答】解：∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或．
12．（2021秋•临泽县校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：　∠ADE＝∠C（答案不唯一）　，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）

【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）。
【解答】解：添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
13．（2021秋•永年区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为　3或3　时，△ACB与△ADC相似．

【答案】3或3。
【解答】解：∵AD＝2，CD＝，
∴AC＝＝．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．
即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．
故答案为：3或3．
14．（2021秋•高港区期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　或6　时，△BPQ与△BAC相似．

【答案】或6。
【解答】解：∵AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，
∴BP＝3．
当△BPQ∽△BAC时，
则，
∴，
解得：BQ＝6；
当△BPQ∽△BCA时，
则，
∴，
解得：BQ＝，
综上所述：当BQ＝或6时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：或6．
15．（2022春•东城区期中）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．
（1）如图1，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝　8　；
（2）如图2，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝　4n　（用n的代数式表示）．

【答案】（1）8； （2）4n。
【解答】解：如图1、2，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，

∵∠FOH＝90°，
∴∠MFE＝∠NGH，
又∵∠EMF＝∠HNG＝90°，
∴△EFM∽△HNG，
∴＝，
（1）图1，GN＝2FM，
∴GH＝2EF＝2×4＝8，
（2）图2，GN＝nFM，
∴GH＝nEF＝4n．
故答案为：（1）8； （2）4n．
16．（2022春•思明区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正确的结论是 　①③④　．（请填写正确的序号）

【答案】①③④。
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵OA＝OC，AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故答案为：①③④．

17．（2022春•台江区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过 　3或　秒后，△PBQ与△ABC相似．

【答案】3或。
【解答】解：设x秒后△PBQ与△ABC相似，则AP＝xcm，PB＝（12﹣2x）（cm），BQ＝4xcm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
即，
解得x＝3；
当时，△PBQ∽△CBA，
即，
解得x＝．
即经过3秒或秒后，△PBQ与△ABC相似．
故答案为：3或．
18．（2022春•磐安县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6cm，AB＝8cm，AD⊥BC于D，与BD等长的线段EF在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动（运动前EF与BD重合），过E，F分别作BC的垂线交直角边于P，Q两点，设EF运动的时间为x（s）．
（1）线段EF运动过程中，四边形PEFQ成为矩形时x的值 　　；
（2）以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时x的值 　　．

【答案】。
【解答】解：（1）当四边形PEFQ是矩形时，有PE＝QF，
由已知得PE＝x，
与求PE类似可求出QF＝（﹣x），
∴x＝（﹣x），
解得x＝，
∴当x＝时，四边形PEFQ是矩形．
故答案为：．
（2）当∠APQ＝∠B时，△APQ∽△ABC，
且四边形PEFQ是矩形，此时x＝，
当∠APQ＝∠C时，
由三角形面积公式得：×AC×AB＝×BC×AD，
AC＝6，AB＝8，BC＝10，
∴AD＝，
在Rt△ADB中，AB＝8，AD＝，由勾股定理得：BD＝，
∴EF＝BD＝，
∴CF＝10﹣x﹣＝﹣x，
cos∠C＝＝，
CQ＝CF＝（﹣x）＝6﹣x，
∴AQ＝6﹣（6﹣x）＝x，
∵△AQP∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得 x＝，
∴当x＝或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
故答案为：．
三、解答题。
19．（2021秋•邗江区月考）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝　135°　，BC＝　2　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．

【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，
BC＝＝＝2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝
∴＝＝，＝＝．
∴△ABC∽△DEF．
20．（2021秋•禅城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长．

【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠C+∠B＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∵∠AFE＝∠B．
∴∠AFD＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝7，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴DE＝＝＝10，
由（1）可知△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴AF＝．
21．（2021秋•冷水滩区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．
（1）求证：△EFB∽△CDA；
（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠D＝∠EFB，
∴△EFB∽△CDA；
（2）∵△EFB∽△CDA，
∴，
∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，
∴BE＝16．
22．（2021秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

【解答】解：（1）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP
∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP
且∠APD＝∠B
∴∠DPC＝∠BAP且∠ABC＝∠ACB
∴△BAP∽△CPD
（2）∵△ABP∽△PCD
∴即
∵PD∥AB
∴即
∴
∴
∴BP＝
23．（2022•汉阳区校级模拟）如图，已知△ABC中，D、G分别是边BC、AC上的点，连AD、BG相交于点E，BE＝BD．过点C作AD的平行线与BG的延长线交于点F，＝，＝．
（1）求的值；
（2）若BC＝FC，求证：AB＝BF；
（3）若AB＝AD，直接写出＝　　．

【解答】（1）解：∵DE∥CF，
∴△BDE∽△BCF，
∴＝＝，
∵BD＝2CD，
∴＝＝＝，
设DE＝2a，则CF＝3a，
∵＝．
∴EA＝3a，
∵AE∥CF，
∴＝＝＝＝1，
∴BE＝2EF＝4GF，
∴＝＝；
（2）证明：作BH⊥DE，如图：
∵BD＝BE，
∴DH＝EH＝a，
∵DE∥CF，
∴BC＝BF＝CF＝3 a，
∴BE＝2 a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
而∠BEH＝∠AEG，
∴△BEH∽△AEG，
∴∠BHE＝∠AGE＝90°，
由（1）得AG＝CG，
∴BG垂直平分AC，
∴BA＝BC，
∴AB＝BF；
（3）解：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠BED＝∠ABD，
而∠BDE＝∠ADB，
∴△DBE∽△DAB，
∴BD：DA＝DE：BD，即BD：5a＝2a：BD，
∴BD＝a，
∴BC＝a，
∴＝＝．
故答案为 ．

24．（2021•姑苏区校级二模）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．

【解答】证明：（1）∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；
（2）∵△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴EC＝4，
∵AE＝EF，∠AED＝90°，
∴AD＝DF，
又∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，
∴DG＝EG，
∵DG2＝DC2+GC2，
∴（4﹣GC）2＝4+GC2，
∴GC＝．
25．（2021秋•秦安县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？

【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，＝，
即＝，
解得t＝4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，＝，
即＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
26．（2021春•招远市期末）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．

经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．
请你写出求AB长的过程．
应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，请你求出AB的长．
【解答】解：探究：∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝．
又∵AO＝3，
∴OD＝AO＝，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝．
∵BO：OD＝1：3，
∴＝＝．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝2BE＝8．