期末高频压轴必杀题-2023-2024学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

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A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接AE，设FM交AC于点I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴点E到AB，BC的距离相等，
故①正确；
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，
∵EF⊥CE，
∴∠CEF＝∠MEF＝90°，
∴∠BCE+∠BFE＝180°，
∵∠EFA+∠BFE＝180°，
∴∠BCE＝∠EFA，
∴∠BAE＝∠EFA，
∴AE＝FE，
∴CE＝FE，
∴∠FCE＝∠CFE＝45°，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠DME＝∠BCE＝∠BAE，
∵∠MDE＝∠ABE，
∴△MDE∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∵∠MEF＝∠MDC，
∴△MEF∽△MDC，
∴∠DMC＝∠FMC，
故③正确；
作FL⊥BD于点L，则∠BLF＝90°，设BL＝x，
∴∠LFB＝∠LBF＝45°，
∴FL＝BL＝x，
∵BF2＝BL2+FL2＝2BL2，
∴BF＝x，
∵AD＝CD＝BC＝4，DM＝2，
∴CM＝＝2，BD＝＝4，
∵△DEM∽△BEC，
∴＝＝＝＝，
∴FE＝CE＝CM＝，BE＝BD＝，
∵EL＝＝＝，
∴x+＝，
解得x1＝，x2＝2（不符合题意，舍去），
∴BF＝×＝≠，
故④错误，
故选：C．
2．如图，在正方形ABCD中，P是AC上一点，且CP＝，点E，F分别在AB，BC上，∠EPF＝90°，PE＝3PF，则线段AP的长是（ ）
A．2B．2C．3D．3
【答案】D
【解答】解：如图所示，连接EF，连接BP并延长交CD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，AB∥CD，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EBF+∠EPF＝180°，
∴B、E、P、F四点共圆，
∴∠PBF＝∠PEF，
∴tan∠CBG＝tan∠PEF＝＝＝，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴△ABP∽△CGP，
∴＝＝3，
∴AP＝3CP＝3，
故选：D．
3．如图，正方形ABCD边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是S1，S2，则S1+S2＝（ ）
A．68B．72C．64D．70
【答案】A
【解答】解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，
所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为12，
∴AC＝12，
∴两个小正方形的边长分别为×12＝4，×12＝6，
∴S1+S2＝（4）2+62＝32+36＝68．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：BE＝3：4，BD与CE交于O，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵AE：BE＝3：4，
∴，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，＝，
则①，②错误；
∵DE∥BC，
∴△EOD∽△COB，
∴＝，
则③正确；
∵△EOD∽△COB，
∴，
∴，
∴，
则④正确；
故选：B．
5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（ ）
A．B．C．5D．2
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，
∵BF＝CE，
∴CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CDF+∠DEA＝90°，
∴∠AGF＝∠DGE＝90°，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝AF，
∵AB＝6，BF＝4，
∴AF＝，
∴GH＝，
故选：B．
填空题
6．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，∠CHD＝60°．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是 ．
【答案】①②③④
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
②由①得∠BAF＝∠ACE，
∵∠AEH＝∠B+∠BCE，
∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故②正确；
③在HD上截取HK＝AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK＝AH，∠AKH＝60°，
∴∠AKD＝∠AHC＝120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH＝DK，
∴DH＝HK+DK＝AH+CH；
故③正确；
④∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH＝OD：AD，
∴AD2＝OD•DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
7．如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 ．
【答案】6
【解答】解：方法一：如图，延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，
∵HE⊥AB，AA′⊥AB，
∴AA′∥EH，
∵A′A＝EH，
∴四边形AA′EH是平行四边形，
∴A′E＝AH，
则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝FG＝4，
∴EG＝4，
∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10，
在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10，
∴A′C＝＝10，
∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝6．
则AH+CG的最小值为6．
方法二：如图，过点G作GA′∥AH交AF于点A′，
∴四边形AHGA′是平行四边形，
∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH，
∴A′B＝AB﹣AA′＝6，
∵BC＝6，
∴A′C＝6，
∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C，
则AH+CG的最小值为6．
故答案为：6．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为 ．
【答案】2
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，
∴AB＝＝5，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．
9．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AB＝2OD，则k的值为 ．
【答案】18
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF＝OD，BF＝OE，
∴AB＝DE，
∵点A在双曲线y＝上，
∴S矩形AFOD＝6，
同理S矩形OEBF＝k，
∵AB＝2OD，
∴DE＝2OD，
∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝18，
∴k＝18，
故答案是：18．
10．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，△OAC与△ABD的面积之和为3，则k的值为 ．
【答案】5
【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为2，4，
∴点A的坐标为（2，），点B的坐标为（4，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为2，4，
∵点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点C的坐标为（2，），点D的坐标为（4，），
∴AC＝﹣，BD＝，
∴S△OAC＝（﹣）×2＝，S△ABD＝•×（4﹣2）＝，
∵△OAC与△ABD的面积之和为3，
∴+＝3，
解得：k＝5．
故答案为：5．
11．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ．
【答案】①②③
【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①CF＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DF＝DH；④DH2＝PH•PB．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△PBC是等边三角形，
∴BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，BC＝PC＝PB，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝90°﹣60°＝30°，∠DCP＝∠BCD﹣∠PCB＝90°﹣60°＝30°，PC＝CD，
∴BE＝2AE，
∵EF∥BC，
∴△EFP∽△BCP，
∴△EFP是等边三角形，
∴BE＝CF，
∴CF＝2AE．
∴①符合题意；
∴∵∠PDC＝∠DPC＝75°，
∴∠FDP＝∠FDC﹣∠PDF＝90°﹣75°＝15°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝45°，
∴∠PBH＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠FDP＝∠PBH，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠PCB＝60°，
∴∠DFP＝∠BPH＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴②符合题意；
∵∠ADB＝45°，∠FDP＝15°，
∴∠PDH＝45°﹣15°＝30°，
∴∠DHP＝180°﹣∠DPH﹣∠PDH＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∵∠DFP＝60°，
∴DF≠DH，
∴③不符合题意；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴，
∵PC＝PB，
∴，
∴PD2＝PH•PB，
∵∠PDC＝∠DPC＝75°，
∴DH＝PD，
∴DH2＝PH•PB．
∴④符合题意；
故答案为：①②④．
13．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为 ．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠A＝∠ADG＝∠C＝90°，
∵四边形FGQP是正方形，
∴∠PQG＝∠DQG＝90°，∠QGF＝90°，
∴∠ADE+∠QDG＝∠QDG+∠DGQ＝90°，
∴∠ADE＝∠DGQ，
∵∠A＝∠DQG＝90°，
∴△ADE∽△QGD，
∴＝，
设正方形ABCD的边长为2a，
则AD＝DC＝AB＝2a，
∵E为AB中点，
∴AE＝a，
∴＝＝2，
设正方形FGQP的边长为2b，
则FG＝QG＝2b，QD＝b，
∴DG＝＝＝b，
∵∠DGQ+∠FGC＝90°＝∠DGQ+∠GDQ，
∴∠GDQ＝∠FGC，
∴cs∠GDQ＝cs∠FGC＝＝，
∴＝，
∴GC＝b，
∵DC＝2a＝b+b，
∴2a＝b，
∴S1：S2＝b2×＝，
故答案为：．
14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DP的最小值为 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，
∴QP＝BE，
∵AB＝6，AE＝2，
∴BE＝6﹣2＝4，
∴QB＝QE＝2，
∵QD﹣QP≤DP，
∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，
∵QP＝BE＝2，AQ＝AE+EQ＝2+2＝4，
∴QD＝＝＝2，
∴PD＝2﹣2，
∴PD的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
15．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，F在CD上，AE平分∠BAF，若AF＝5DF，FC＝3，则线段AE的长为 ．
【答案】
【解答】解：如图，延长DC、AE交于点G，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠BAE＝∠G，
在△ABE和GCE中，
，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴AB＝CG，AE＝EG，
∵AE是∠BAF的角平分线．
∴∠BAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠EAF，
∴AF＝FG，
∴EF⊥AG，
设DF＝x，
则FG＝AF＝5DF＝5x，
∴AB＝CD＝CG＝5x﹣3，
∴CD＝DF+CF＝x+3，
∴5x﹣3＝x+3，
解得x＝1.5，
∴AF＝5×1.5＝7.5，
∴∠D＝90°，
∴AD＝√7.52﹣1.52＝＝3，
在Rt△ADG中，
DG＝DF+FG＝1.5+AF＝1.5+7.5＝9，
∴AG＝＝3，
∴AE＝EG＝AG＝．
故答案为：．
16．如图，点E在边长为5的正方形ABCD边CD上，FA⊥AE交CB的延长线于F，连接EF，过点A作FE的垂线，与EF、BC分别交于点H、G．若BG＝3，则CE的长为 ．
【答案】
【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，
即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故答案为：．
17．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝ ．
【答案】
【解答】解：∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF＝EG，AF＝DG＝，
∵CE⊥EF，
∴CF＝CG＝5，
∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，
∴△EDG∽△CEG，
∴，
∴EG2＝DG•CG＝，
∴EG＝＝EF，
故答案为．
18．如图，已知反比例函数y＝的图象上有一组点B1，B2，……，Bn，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记S1＝①﹣②，S2＝②﹣③，……，则S1+S2+……+S2017＝ ．
【答案】
【解答】解：如图，由反比例函数系数k的几何意义可知，△A1OB1、△A2OB2、△A3OB3、△A4OB4……的面积都等于|k|＝1，
又∵点B1，B2，……，Bn，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1，
∴S△①＝|k|＝×2＝1，
S△②＝|k|×＝，
S△③＝|k|×＝，
S△④＝|k|×＝，
……
∴S1＝①﹣②＝1﹣，S2＝②﹣③＝﹣，……，
∴S1+S2+……+S2017＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故答案为：．
19．如图，等边△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，若等边△ABC的边长为2，则线段OC长的最大值是 ．
【答案】1+
【解答】解：取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示，
∵△AOB为直角三角形，D为AB的中点，
∴OD＝AB，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB的中点，
∴AB＝AC＝2，CD＝AC，
∴OD＝1，
∴CD＝，
在△OCD中，OC＜OD+CD．
当点O、C、D三点共线时，OC＝OD+CD最大，
此时OC＝1+．
故答案为：1+．
解答题
20．【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2021的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，
将61拆分为25和36，可得
（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，
根据完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，
∴m+5＝0，n﹣6＝0，
∴m＝﹣5，n＝6，
∴（m+n）2021＝（﹣5+6）2021＝1．
（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，
将61拆分为25和36，可得
b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，
根据完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，
（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，
∴b＝4，c＝2．
∵a是△ABC中最长的边，
∴4≤a＜6，即a的取值范围为4≤a＜6．
21．如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，OB＝2．一次函数交y轴于点C（0，﹣1），交反比例函数于A、D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAD的面积；
（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点PP的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）作AF垂直于x轴，垂足为点F，
∵AO＝AB，AF⊥OB，
∴，
∵∠OAB＝90°，AO＝AB，
∴∠AOB＝45°，
∴AF＝OF＝1，
∴点A（1，1），
设一次函数解析式为y1＝k1x+b，反比例函数解析式为，
将点A（1，1）和C（0，﹣1）代入y1＝k1x+b，
得y1＝2，b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣1．
将点A（1，1）代入，
得k2＝1，
∴反比例函数的解析式为，
即一次函数解析式为y1＝2x﹣1，反比例函数解析式为；
（2）将两个函数联立得，
整理得2x2﹣x﹣1＝0，
解得，x2＝1，
∴y1＝﹣2，y2＝1，
∴点，
∴，
即△OAD的面积为；
（3）存在，
①以OA为对角线时，
∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），
∴将A点向右平移个单位，向上平移2个单位得到P点的坐标，
即P（，3），
②以OD为对角线时，
∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），
∴将D点向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P点的坐标，
即P（，﹣1），
③以AD为对角线时，
∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），
∴将D点向左平移1个单位，向下平移1个单位得到P点的坐标，
即P（﹣，﹣3），
综上所述，点P的坐标为，，．
22．如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（12，5），双曲线y＝的图象经过点A．
（1）菱形OABC的边长为 ；
（2）求双曲线的函数关系式；
（3）点B关于点O的对称点为D点，过点D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，将线段AP绕点A逆时针旋转90°得线段AQ，若点Q恰好在双曲线上，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）如图1中，连接AC交OB于J．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，
∵点C坐标为（12，5），
∵JC＝AJ＝12，JO＝JB＝5，
∴OC＝＝＝13，
∴菱形OABC的边长为13，
故答案为：13．
（2）∵点C坐标为（12，5），
∴A（﹣12，5），
把A（﹣12，5）代入y＝中，得到k＝﹣60，
∴双曲线的解析式为y＝﹣．
（3）如图中，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R．
∵∠ATP＝∠QRA＝∠PAQ＝90°，
∴∠PAT+∠APT＝90°，∠PAT+∠QAR＝90°，
∴∠APT＝∠QAR，
∵AP＝AQ，
∴△ATP≌△QRA（AAS），
∴AT＝RQ＝15，
∴点Q的横坐标为3，
∴当点Q落在双曲线上时，Q（3，﹣20）．
23．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB＝，
∴DF＝＝＝，
∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝．
24．两个大小不同且都含有30°角的直角三角板按如图所示放置，将△ABC与△EDC的顶点C重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°．
（1）如图1，当点E在AC上，点D在BC上时，CE：AE＝2：3，求S△DCE：S四边形AEDB；
（2）如图2，将△EDC绕着点C旋转一定角度时，求BD：AE；
（3）如图2，当点A，E，D在同一条直线上时，连接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．
【解答】解：（1）当点E在AC上，点D在BC上时，
∵∠CAB＝∠CED＝30°，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△EDC，
∴S△DCE：S△ABC＝（CE：CA）2＝4：25，
∴S△DCE：S四边形AEDB＝4：21；
（2）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠DCB＝∠ACE．
∵∠CAB＝∠CED＝30°，
∴，，
∴DC：CE＝BC：CA，
∴△DBC∽△EAC，
∴；
（3）由（2）可知，∵△DBC∽△EAC，
∴∠AEC＝∠BDC．
∵点A，E，D在同条一直线上，∠CED＝30°，
∴∠AEC＝∠BDC＝150°，
∴∠ADB＝150°﹣60°＝90°．
设BD＝x，可知，
在Rt△ABD中，，
解得，（舍）．
∴．
25．如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
（1）求证：CE＝EF；
（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求△BEF面积的最大值．
【解答】（1）证明：如图1，过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°，
∴∠AEM＝∠NFE，
∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，
∴BN＝EN＝AM，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴AE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∴CE＝EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝10，
∴0≤x≤5，
由题意得：BE＝2x，
∴BN＝EN＝x，
由（1）知：AE＝EF＝EC，
分两种情况：
①当0≤x≤时，如图1，
∵AB＝MN＝10，
∴ME＝FN＝10﹣x，
∴BF＝FN﹣BN＝10﹣x﹣x＝10﹣2x，
∴y＝＝＝﹣2x2+5x；
②当＜x≤5时，如图2，过E作EN⊥BC于N，
∴EN＝BN＝x，
∴FN＝CN＝10﹣x，
∴BF＝BC﹣2CN＝10﹣2（10﹣x）＝2x﹣10，
∴y＝＝＝2x2﹣5x；
综上，y与x之间关系的函数表达式为：；
（3）解：①当0≤x≤时，如图1，
y＝﹣2x2+5x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，y有最大值是；
②当＜x≤5时，如图2，
∴y＝2x2﹣5x＝2（x﹣）2﹣，
∵2＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大
∴当x＝5时，y有最大值是50；
综上，△BEF面积的最大值是50cm2．
26．【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若＝k，＝，求的值（用含k的代数式表示）．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△BFE是由△BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．
（2）如图2中，连接EH．
∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵＝，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝3或﹣3（舍弃），
∴DE＝3．
（3）如图3中，连接HE．
由题意＝，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设＝x．
①当点H在点D的左侧时，
∵HF＝HG，
∴DG＝9m，
由折叠可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵∠BCE＝∠D＝90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴＝，
∵＝＝k，
∴＝，
∴CE＝＝FE，
∴DE＝，
∵∠D＝∠HFE＝90°
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍弃），
∴＝．
②当点H在点D的右侧时，如图4中，
同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，
∴DG＝m，CE＝＝FE，
∴DE＝，
∵HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（）2＝（4m）2+（）2，
∴x＝或﹣（舍弃），
∴＝．
综上所述，＝或．