人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数一课一练

4.1指数（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：根式的概念

重点题型二：根式的化简(求值)

重点题型三：分数指数幂的简单计算

重点题型四：条件求值

知识点一：整数指数幂

1、正整数指数幂的定义：，其中，

2、正整数指数幂的运算法则：

①（）

②（，，）

③（）

④（）

⑤（）

知识点二：根式

1、次根式定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.

特别的：

①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.

②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().

③负数没有偶次方根；

④的任何次方根都是，记作

2、根式：

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．

在根式符号中，注意：

①，

②当为奇数时，对任意都有意义

③当为偶数时，只有当时才有意义.

3、与的区别：

①当为奇数时，（）

②当为偶数时，（）

③当为奇数时，且，

④为偶数时，且，

知识点三：分式指数幂

1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.

3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.

知识点四：有理数指数幂

①（，）

②（，）

③（，）

知识点五：无理数指数幂

①（，）

②（，）

③（，）

1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．

（1）．(      )

（2）．(      )

（3）．(      )

（4）．(      )

【答案】     正确     正确     错误     正确

对于A：，故正确；

对于B，

，故正确；

对于C，，故错误；

对于D：，故正确；

故答案为：正确，正确，错误，正确

2．（2022·全国·高一课时练习）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(      )

A．       B．       C．       D．

【答案】D

对于根式，当a为奇数时，，有意义；

当a为偶数时，，有意义；

因此，当时，无意义

故选：D

3．（2022·全国·高一课时练习）可化为(      )

A．       B．       C．       D．

【答案】C

解：

故选：C

4．（2022·全国·高一课时练习（理））化简为(        )

A．       B．       C．       D．

【答案】B

，故B正确，A、C、D错误

故选：B

5．（2022·全国·高一课时练习）当时，___________．

【答案】1

解：当时，

，

又，

故原式=

故答案为：1

重点题型一：根式的概念

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，那么等于（       ）

A．3 B． C．或3 D．不存在

【答案】C

∵，∴．

故选：C．

例题2．（2022·全国·高一专题练习）下列等式中成立的个数是（    ）

①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）.

A．个 B．个

C．个 D．个

【答案】D

对于①，当且时，，①对；

对于②，当为大于的奇数时，，②对；

对于③，当为大于零的偶数时，，③对.

故选：D.

同类题型演练

1．（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知，则x的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

解：由根式的定义知，则.

故选：B.

2．（2022·全国·高一课时练习）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（       ）

①当n为奇数时，x的n次方根为a；

②当n为奇数时，a的n次方根为x；

③当n为偶数时，x的n次方根为±a；

④当n为偶数时，a的n次方根为±x.

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，

故选：B.

重点题型二：根式的化简(求值)

典型例题

例题1．（2022·江苏·高一）若，，则的值为（   ）

A．1 B．5 C． D．

【答案】A

依题意，，，

则，

所以的值为1.

故选：A

例题2．（2022·全国·高一课时练习）化简下列各式：

（1）；（2）；（3）.

【答案】（1）（2）（3）

（1）原式；

（2）原式；

（3）原式.

同类题型演练

1．（2022·青海西宁·高一期末）若，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

因为，，

所以.

故选：D

2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）______．

【答案】

故答案为：

重点题型三：分数指数幂的简单计算

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））化简.

【答案】

原式．

例题2．（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：

(1)；

(2)．

【答案】(1)(2)

(1)

(2)

同类题型演练

1．（2022·江苏·高一）计算下列各式：

(1).

(2).

【答案】(1)；(2)；(3).

(1)原式.

(2)原式.

2．（2022·全国·高三专题练习（文））化简.

【答案】

.

重点题型四：条件求值

典型例题

例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知,，则的值为______.

【答案】47

由，得，即，

所以，则.

故答案为：.

例题2．（2022·四川雅安·高一期末）已知，则____________________.

【答案】7

因为，

所以,两边平方可得，

所以，故答案为7.

例题3．（2022·江苏·高一单元测试）已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）7；（2）47；（3） 或.

，即 .

（1）;

（2）；

（3），故

或，

或.

同类题型演练

1．（2022·全国·高一）已知，则____________.

【答案】14

，两边平方得：，即，即

故答案为：14

2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）（1）已知，求的值；

【答案】（1）11；

解：（1），，

，.

3．（2022·湖南·高一课时练习）若，求的值．

【答案】23.

因为，则有，

所以的值23.

4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）（1）已知，求、的值；

【答案】（1）， ；

（1）∵，

两边平方得，∴，，

∴．