数学九年级上册第3章 圆的基本性质综合与测试同步练习题

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第六讲 圆的基本性质
考点1：圆的有关概念
分析：圆的有关概念，弦，半径，弧（优弧、劣弧）、等弧等概念，注意：直径是最长的弦！这是经常考察的一个知识点.
例题1：下列命题正确的是（ ）
A．直径不是弦 B．弧分为优弧、劣弧两种
C．一个圆只有一条直径 D．以O为圆心可以画无数个圆
答案：D
解析：直径是圆内最长的弦，故A错误；弧分为优弧、劣弧、半圆三种，故B错误；一个圆有无数条直径，故C错误；过一个点O可以做无数个圆，故D正确；
例题2：下列说法错误的是（ ）
A．同一个圆上的点到圆心的距离相等 B．过圆心的线段是直径
C．直径是圆中最长的弦 D．半径相等的圆是等圆
答案：B
解析：同一个圆上的点到圆心的距离均等于半径的长度；过圆心且两端点在圆上的线段为直径；直径为圆中最大的弦正确；半径相等的圆为等圆正确；故本题选B.
考点2：点与圆的位置关系
分析：判断点与圆的位置关系，就只要判断点到圆心的距离与半径的大小比较，
d＞r 点在圆外
d＝r 点在圆上
d＜r 点在圆内
例题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AC=2，BC=3，若以C为圆心，以2为半径作⊙C，则点A在⊙C__________，点B在⊙C_______，点D在⊙C________.
答案：上；外；内.
解析：由题意可知r=2.在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=2，BC=3，∴AB=，∵CD⊥AB，∴AC×BC=AB×CD，∴CD=，故AC=2=r，BC=3＞r，DC=＜2，∴点A在圆C上；点B在圆C外，点D在圆C内.
例题2：已知⊙O的半径为1，AO＝d，且关于x的方程x2﹣2dx+1＝0有两个相等的实数根，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．无法确定
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2d，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2d）2﹣4×1×1＝4d2﹣4＝0，
解得d＝1．
则点A在⊙O上．
故选：C．
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点A为圆心，8为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：连接AC，
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AB＝6＜8，AC＝10＞8，AD＝8，
∴点D在⊙A上，点C在⊙A外，点B在⊙A内．
故选：C．

例题3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，DE⊥BC，D，E分别为垂足，F为AB的中点，若以D为圆心、CD为半径画⊙D，试判断B，E，F与⊙D的位置关系.

解：∵CD⊥AB，且∠A=30°，∴CD：AD：AC=1：：2，∵CD=2r，∴AD=2r，AC=4r，∵∠ACB=90°，∴BC：AC：AB=1：：2，∴BC=r，AB=r，∴DF=AB-AD=r＞r，∵F为AB的中点，
∴BF=DF=r，∴DB=BF-BD=r＞r，∵DE⊥BC，且∠B=60°，∴∠BCD=30°，∴DE=CD=r.
综上所述：点B，F在圆D外，点E在圆D上.
考点3：点到圆上的最短距离和最长距离
分析：平面上的点到圆上的最短距离和最长距离都在该点与圆心连线和圆的交点上.注意：这类题型会出现分类讨论！
例题1：在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8 cm，最短距离为2 cm，则⊙O的半径为___________.
答案：5 cm或3 cm.
解析：当点P在⊙O内时，如图1所示，PA=2 cm，PB=8 cm，故r==5（cm）；
当点P在⊙O外时，如图2所示，PA=2 cm，PB=8 cm，故r=（cm）；
故答案为5 cm或3 cm.

例题2：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是　 　．

答案：6.
解析：由题意可知AB=AC=a，连接PA，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，故当点P在线段AD延长线与圆D的交点时，PA最大，即a最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∵DP=r=1，∴PA=6，即a最大为6.

例题3：如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+.
故选：B．

考点4：圆考察半径相等问题
分析：半径相等相信是每个同学都知道的一个结论，但是我相信很多同学在圆中不会用，因为大家的注意力都在线段上，不会注意它是半径，这里我还是要特意提出来.
例题1：如图，点A，D，G，M在半圆上，四边形ABOC， DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b， NH=c，则下列各式中正确的是( )
A.a>b>c B.a=b=c C.c>a>b D.b>c>a

答案：B
例题2：如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A，C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　）

A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB
答案：D.
解析：如图，连接OE，∵∠AOB=∠B+∠D，且∠AOB=3∠D，∴∠B=2∠D，∵OB=OE=r，∴∠B=∠OEB=2∠D，∵∠OEB=∠D＋∠DOE，∴∠D=∠DOE，∴DE=OE，∴DE=OB，故选D.
例题3：如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为　 　．（只考虑小于90°的角度）

答案：70°.
解析：如图所示，设大量角器圆心为点B，小量角器圆心为点A，由题意可知∠PBA=40°，∵BA=BP，
∴∠BPA=∠BAP=70°，故小量角器的上对应的度数为70°（只考虑小于90°的角度）.
考点5：航行，触礁，台风问题
分析：这类问题就是画个圆，然后通过路线是否和圆相交来判断是否会影响.
例题1：由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭.A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400 km 的B处，正在向西北方向转移，距沙尘暴中心300 km 的范围内将受到影响．问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
解：如图所示，由题意，可知AB=400 km，∠ABC=45°，过点A作AC⊥BC，垂足为点C.∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=45°，且AB=400 km，∴AC=BC=200 km＜300 km，∴不会受影响.

例题2：如图，某船向正东航行，在A处看见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到达点B，测得该岛C在北偏东30°方向.已知在岛周围6海里内有暗礁，问：如果继续向正东航行，有无触礁的危险？

解：由题意，可知∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∠CBD=90°-30°=60°.过点C作CD⊥AB于点D，∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=30°，∴BA=BC=6海里，∵CD⊥AB，∴CD＜BC，即CD＜6海里，∴有触礁的危险.
考点6：通过圆的确定条件作图
分析：不在同一条直线上的点确定一个圆，所以我们只要找出圆经过的三个点，然后画出两条中垂线，交点就是圆心.
例题1：如图是一个破铁轮的轮廓，求作它的圆心.

解：在圆弧上任取三点A，B，C，分别作AB，BC的中垂线相交于点O，如图所示，点O即为所求圆弧的圆心所在位置；
例题2．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　（2，0）　．
【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上，
∴经过点A，B，C可以确定一个圆，
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上，
∴设圆心坐标为M（2，m），
则点M在线段BC的垂直平分线上，
∴MB＝MC，
由勾股定理得＝，
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1，
∴m＝0，
∴圆心坐标为M（2，0）.
故答案为：（2，0）．
考点7：与圆的确定性相关概念问题
分析：注意：同一条直线上三点确定一个圆.一定要不在同一条直线上，没有这个结论是错误的！
例题1．下列说法错误的是（　　）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能做无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能做两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【解答】解：A.已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意．
B.只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能做无数个，说法正确，故不符合题意．
C.只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以已知点A，B的圆能做无数个，说法错误，故符合题意．
D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，说法正确，故不符合题意．
故选：C．
例题2：下列说法正确的是（ )
A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线
C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆
答案：D
考点8：判断点共圆
分析：判断点时是否在同一个圆上，看是否能找出这些点到某点的距离相等，一般利用我们学过的几何性质进行解答，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形的对角线的性质等.
例题1：下列命题正确的有（ )
① 矩形的四个顶点在同一个圆上； ② 梯形的四个顶点在同一个圆上；
③ 菱形的四边中点在同一个圆上； ④ 平行四边形的四边中点在同一个圆上．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：A.
例题2：如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线，求证：点B，C，D，E都在同一个圆上.

证明：∵BD，CE为△ABC的高线，∴∠BDC=∠BEC=90°，取BC中点F，连接EF，DF，∵F为BC中点，
∴EF=BF=CF=DF，∴点B，C，D，E都在同一圆上.
考点9：三角形的外接圆
分析：三角形的外接圆是三条中垂线的交点，钝角三角形的外心在三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点上.并能求等腰三角形、直角三角形外接圆的半径.求等腰三角形的外接圆的半径首先要找出圆心，然后利用勾股定理进行求解.
例题1：下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的外心是三角形的三条高线的交点 B．等腰三角形的外心一定在它的内部
C．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 D．任何一个四边形都有一个外接圆
答案：C
例题2：在Rt△ABC中，AB=6 ， BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（ ）
A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或8
答案：D
例题3：如图，已知抛物线y=x²-4x经过原点，且与x轴交于点A.
（1）求线段OA的长；
（2）设抛物线的顶点为B，试求△AOB的外接圆圆心的坐标.

解：（1）令y=0，则x²-4x=0，解得x=0，x=4，∴A（4，0），∴OA=4.
（2）∵y=x²-4x=（x-2）²-4，∴顶点B（2，-4），作OA，OB的中垂线交于点P，即P为△OAB的外心，连接PO，∵顶点B（2，-4），∴OC=2，OB=4，∵PO=PB=r，∴CP=4-r，∵OC²＋PC²=PO²，∴2²+（4-r）²=r²，解得r=2.5，∴PC=4-2.5=1.5，∴△OAB的外心点P（2，-1.5）.
考点10：旋转问题
分析：旋转要找出旋转的圆心、旋转角度、半径，然后进行计算！
例题1：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A’OB’处，此时线段A’B’与BO的交点E为BO的中点，则线段B’E的长度为______.

答案：
解析：过点O作OF⊥A’B’，∵OA’=OA=3，OB=OA’=6，∠AOB=∠A’OB’=90°，∴A’B’=3，
∵OF⊥A’B’，∴S=，即，解得OF=，
∴A’F=，
∵E为OB的中点，∴OE=3=OA’，∴A’F=EF=，∴A’E=，∴B’E=A’B’-A’E=3-=.
例题2：如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1:2:3，则∠APB=________.

答案：135°.
解析：如图，把△BAP绕点P顺时针旋转90°，使BA，BC重合，得到△BP’C≌△BPA.
∵PA：PC：PB=1:2:3，∴设PA=k，则PB=2k，PC=3k，
由旋转得BP=BP’=2k，PA=P’C=k，∠PBP’=90°.
∵PB=BP’，∴△BPP’为等腰直角三角形，∴∠BP’P=45°，PP’=k，
∵P’C=k，PC=3k，∴PP’²+CP’²=PC²，∴∠PP’C=90°，
∴∠BP’C=45°＋90°=135°，
由旋转得∠APB=∠BP’C=135°.
例题3：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，△ADB为等腰直角三角形，AD=BD，求CD的长.

解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，
∵△ADB为等腰直角三角形，∴AD=BD=.
∵∠ADB＋∠ACB=180°，∴点A，C，B，D四点共圆，∴∠DAC＋∠DBC=180°，
将△DAC绕点D逆时针旋转90°得到△DBE，∴∠CDE=90°，DC=DE，BE=AD=，∴CE=4+，∴CD=2+.
考点11：最小覆盖圆
分析：最近中考中都出现了最小覆盖圆的概念，将能完全覆盖某平面的最小圆为该平面图形的最小覆盖圆.锐角三角形、直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，钝角三角形最小覆盖圆是以它最长边为直径的圆.
例题1：我们将能完全覆盖某平面的最小圆为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆.
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）如图2，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，则该图形的最小覆盖圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
·
解：（1）如图所示：

（2） 锐角三角形最小覆盖圆为其外接圆，钝角三角形最小覆盖圆为其最长边为直径的圆；直角三角形最小覆盖圆既是外接圆，也是最长边为直径的圆.
（3） 连接AB，作AB的中垂线交CE于点O，∴OA=OB，设OC=x，则OE=1-x，OD=1+x，BD=，AE=1，
∵OB²=BD²+OD²，OA²=OE²+AE²，
∴BD²+OD²=OE²+AE²，即，解得x=，∴OA=，故选D.