高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 位移、速度、力与向量的概念精品课时作业

2.1从位移.速度.力到向量北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量

2. 在中，，，，若，则点在       

A. 平分线所在的直线上 B. 线段垂直平分线上
C. 边所在直线上 D. 边的中线上

3. 下列命题中，正确的是

A. 若，则或 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4. 下列说法正确的是(    )

若向量与是平行向量，则，，，四点一定不在同一直线上

若向量与平行，且，则或

向量的长度与向量的长度相等

单位向量都相等．

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，，，若，则点在 (    )

A. 平分线所在的直线上 B. 线段垂直平分线上
C. 边所在直线上 D. 边的中线上

6. 下列关于平面向量有关说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则

7. 已知、是平面向量，下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 零向量与任何非零向量都不共线

8. 下列命题正确的是．(    )

A. 若向量与同向，且，则
B. 若向量，则与的长度相等且方向相同或相反
C. 对于任意，且与的方向相同，则
D. 向量与向量平行，则向量与方向相同或相反

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设向量，则(    )

A.  B. 与同向的单位向量是
C.  D. 与的夹角是

10. 已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是(    )

A.
B. 若且则
C. ，则
D. 若，则与共线且反向

11. 下列说法正确的有(    )

A.
B.     、 为实数，，  则与共线
C. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
D. 若平面内有四个点，则必有

12. 设向量，则下列叙述错误的是(    )

A. 若，则与的夹角为钝角
B. 的最小值为
C. 与垂直的单位向量为
D. 若，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 给出以下个条件：；；与的方向相反；或；与都是单位向量其中能使成立的是          填序号．
14. 给出下列命题：

若，则；若，则；

若，则；    若，则；

若，则；       若，则

其中正确的是________填序号．

15. 已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上的一个动点，则的最小值是          ．
16. 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是    ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知是同一平面内的三个向量，其中

若，且与方向相反，求的坐标；

若，且与垂直，求与的夹角．

18. 本小题分

已知点和向量

若向量与向量同向，且，求点的坐标；

若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．

19. 本小题分

已知单位向量，的夹角为，且向量，．

用，表示出一个与共线的非零向量；

求与夹角的余弦值．

20. 本小题分

在直角坐标系中，向量的位置如图所示，求：

向量的坐标；

的大小．

21. 本小题分
    如图所示的方格纸由若干个边长为的小正方形组成，方格纸中有两个定点，，点为小正方形的顶点，且．
     

画出所有的向量．

求的最大值与最小值．

22. 本小题分

某人从点出发向东走了米到达点，然后改变方向沿东北方向走了米到达点，到达点后又改变方向向西走了米到达点．

作出向量，，；求的模．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查向量的相关概念，向量不能比较大小，向量共线不一定相等，不相等也可能共线属于基础题．
【解答】解：向量不能比较大小，故A错
向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错
不相等的向量也可能是共线向量，故D错
显然正确．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查单位向量的定义，向量的几何表示，向量加法的几何意义．
利用和是中边、上的单位向量，可知在平分线上，故也在平分线上．
【解答】
解：，，，
且，
和是中边、上的单位向量，
在平分线上，
在平分线上，
则点一定在平分线上，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：对于，若，则或，或，A错误；
对于，若，则或，或，B错误；
对于，若，则，，C正确
对于，向量不能比较大小，D错误；
故选：．
由时，或，或，判断、B错误的；
由向量不能比较大小，判断是错误的；
由，得，判断是正确的．
本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟悉平面向量的数量积与向量平行和垂直的判断问题，是综合题目．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查向量的相关概念：共线向量，向量的模，单位向量等属于基础题．
向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的
两个向量平行且模相等时，向量只能相等或相反单位向量模相等，方向不一定相同．

【解答】

解：对于，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故错．

对于，，、都是非零向量，，与方向相同或相反，或．
对于，向量与向量方向相反，但长度相等．

对于，单位向量除了长度为，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同，错误．
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查单位向量的定义，向量的几何表示，向量加法的几何意义．
利用和是中边、上的单位向量，可知在平分线线上，故也在平分线线上．
【解答】
解：，，，
且，
和是中边、上的单位向量，
在平分线线上，
则点一定在平分线线上，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考察平面向量的基本概念，对题目中的选项逐项进行分析、判断即可．
【解答】
解：对于选项，若，则，故A错误；
对于选项，若，与的方向不一定相同，因此不正确，故B错误；
对于选项，当若时，不一定成立，如时，故D错误．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量的概念及线性运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题．
根据向量的知识，逐项排除即可．
【解答】
解：对于，向量方向不相同则向量不相等，选项A错误；

对于向量不能比较大小，选项B错误；

对于，若，则，，选项C正确；

对于，零向量与任一向量共线，选项D错误

故选 C．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的基本概念及相等向量相反向量和模的概念，逐一判断即可．

【解答】

解： 因为向量不能比较大小，
所以A错误

若向量的模相等，只能说长度相等，并不能判断方向，
所以B错误

因为模相等，方向相同的向量是相等向量，
所以C正确

因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向不定，
所以不正确．

故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量模长公式，夹角公式，垂直的判定方法以及单位向量的概念，属于基础题．
根据题意由向量的坐标计算公式依次分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，
，．
．
故选项A错误
对于，令，则，
由单位向量的定义知与同向的单位向量不可能是．
故选项B错误
对于，，，
，
故，
．
故选项C正确
对于，，，
，，
又，，
与的夹角为．
故选项D正确．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查向量的概念与几何表示，向量的模，向量的夹角，共线向量，平行向量等问题；

对于，由向量的夹角公式判断即可；对于，举反例即可；对于，若，则，不一定共线；对于，对两边平方化简即可

【详解】

解：对于，若中有零向量，则显然成立，若均不为零向量，则因为，所以，所以A正确；

对于，若所在的直线在，所在直线夹角的平分线上，且，则有，而不成立，所以B错误；

对于，若，则，，而，不一定共线，所以C错误；

对于，因为，所以，所以，所以与共线且反向，所以D正确，

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要向量的数量积公式，考查向量共线的判定，考查向量的模的概念，考查向量的几何运算，属基础题．
中左式不符合运算律，故错误中对、代特殊值可判断与不一定共线，的说法符合向量模定义，可判断正确用向量的加减法运算即可判断正确．
【解答】
解：根据向量的数量积定义，只有二个向量才能进行数量积运算，
故A左式不符合运算律，A错误
如果若，则任意，均有，
既然是任意与，则不一定能共线，故B错误
向量的模是实数，当然可以比较大小，故C正确
根据向量的运算律，可以得到，平面内有四个点满足：

，即成立．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的模，向量的夹角，平面向量共线的充要条件，向量的数量积和平面向量的坐标运算，属于中档题．
利用向量的夹角，结合向量数量积的坐标运算和平面向量共线的充要条件，对进行判断，利用向量模的坐标运算，对与进行判断，利用共线、单位向量和向量模的坐标运算对进行判断，从而得结论．

【解答】

解：对于、因为向量，
所以当时，且，
即与的夹角为钝角 ，因此A正确；
对于、因为，所以的的最小值为，因此B正确；
对于、设与垂直的单位向量为且，
所以且，解得或
因此与垂直的单位向量为或，所以不正确；
对于、因为，所以，解得或，所以不正确；
故选CD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线和向量相等，属于拔高题．
利用向量的有关概念和定义判断．

【解答】

解：相等向量一定是共线向量，能使；
，不能确定方向，所以不能确定，
方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使；
零向量与任一向量平行，成立，
单位向量的模相等，但方向不确定，所以不能推出．

故答案为：．

14.【答案】  

【解析】

【分析】正确理解向量及模的概念是解题的关键，是一般题．
根据向量的概念对各个命题逐一判断．
【解答】解：由相等向量定义可知，若，则的模相等，方向相同，故不正确，正确；
指模的大小，向量本身不能比较大小，故不正确；
共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故正确，不正确；
向量模为，则为零向量，故正确．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的方程和性质，考查平面向量的中点表示，及向量模的公式，属于中档题．
求出椭圆的，，运用中点的向量表示，得到，再设，运用椭圆方程，以及二次函数的值域即可得到最小值．

【解答】

解：椭圆，即为，
则椭圆的，，
则由为的中线，
即有，
则，
可设，则，
即有
，
当时，取得最小值．
则的最小值为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查向量平面向量的数量积，垂直，模长以及集合表示，属于中档题．
利用平面向量的数量积以及向量垂直的充要条件数形结合满足题意的向量的终点在以为直径的圆周上，故容易得到的最大值．
【解答】
解：如图示：  设，，，
则， 
设的中点为，连接，，， 
，
．
则，，
，
  故在以为直径的圆上．
，
在圆上，
的最大值即为圆的直径．  

17.【答案】解：因为，而与方向相反，
所以．
又因为，所以，解得，
因此，即的坐标为．
因为与垂直，
所以，即．
又因为，所以，而，
因此，解得．
又因为与的夹角为，
所以，且，
解得，因此． 

【解析】本题考查了共线向量的概念，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，向量垂直的判断和平面向量的坐标运算，属于中档题．
利用共线向量的概念得，再利用向量模的坐标运算得，从而得结论；
利用向量垂直的判断得，再利用向量的数量积得，再利用向量模的坐标运算得，从而得，再利用向量的数量积，结合向量的夹角，计算得结论．
 

18.【答案】解：设，其中，由已知得：，
即，，
又，则．
向量，
与的夹角是锐角
则有且与不共线，
且，
解之，得且．
故的取值范围是． 

【解析】本题考查向量数量积的应用，考查向量共线，考查运算求解能力，是中档题．
由题意可设，然后由模求出的值得到的坐标，即可得解
根据题意，由向量数量积的计算公式以及向量共线的条件可得：且与不共线，求解即得的取值范围．
 

19.【答案】解：由题意得，
所以与共线的非零向量可以是答案不唯一，满足即可
因为，
所以，

故． 

【解析】本题考查了共线向量，向量的数量积，向量的夹角，属于基础题．
先利用，表示出，然后根据共线向量的定义可得答案；
求出和，，利用向量的夹角公式可得答案．
 

20.【答案】解：
由题意，图中向量的起点坐标为，终点坐标为，
即得，
向量的起点坐标为，终点坐标为，
即得．
由题意，可知
，
所以． 

【解析】本题主要考查向量的模以及平面向量的坐标运算，属于基础题．
根据图中的位置坐标，即得它们的坐标表示；
根据向量的坐标运算可得的坐标，再利用向量模的运算可得结果．
 

21.【答案】解：画出所有的向量，如图所示．

由所画的图知，

当点位于点或时，取得最小值；

当点位于点或时，取得最大值．

的最大值为，最小值为．

【解析】本题主要考查了向量的概念以及向量的模，属于基础题．
因为，点落在以为圆心，为半径的圆上，又点为小正方形的顶点根据该条件不难找出满足条件的点．
由所得的图象，观察分析，可求出的最大值与最小值．
 

22.【答案】解：作出向量，，，
如图所示：．
由题意得，是直角三角形，
其中，米，米，
所以米．
是直角三角形，其中，米，米，
所以米．
所以米． 

【解析】本题属于向量的物理运算，主要要求掌握向量的基本知识，属于基础题．
在平面直角坐标系中画出向量；
利用共线向量和平行四边形进行计算得．