数学九年级上册2 平行线分线段成比例课后作业题

这是一份数学九年级上册2 平行线分线段成比例课后作业题，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.2平行线分线段成比例

一、单选题
1．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE=2CE，AB=12，则AD的长为（）

A．4 B．6 C．5 D．8
【答案】D
【分析】
先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出AD=AB，代入求出即可．
【解析】
解：∵DE∥BC，
∴，
∵AE=2CE，
∴
又AB=12，
∴AD=AB=8，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
2．中，直线交于，交于点，那么能推出的条件是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出图像证明△ABC∽△ADE即可解题.
【解析】
解：见下图,当时,
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
故选C.


【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,作出图像,熟悉相似三角形的判定方法是解题关键.
3．已知线段a、b、c，求作线段，下列作法中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】
由A得，，则x＝，A错误；
由B得，，则x＝，B错误；
由C得，，则x＝，C错误；
由D得，，则x＝，D正确.
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则=（　　）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
由题意直接根据平行线分线段成比例定理进行分析即可求解．
【解析】
解：∵a//b//c，
∴=．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理．注意掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
5．如图，已知：AB、CD相交于点O，由下列哪一组条件可以推出AC∥BD（）

A．， B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质解答即可．
【解析】
解：由，才能得出AC∥DB，
A、=，不能得出AC∥DB，错误；
B、，不能得出AC∥DB，错误；
C、∵，∴，∴，
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD
∴∠C=∠D
∴AC∥DB，正确；
D、，不能得出AC∥DB，错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
6．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线所截线段成比例直接判断即可．
【解析】
如图：

，

只有B选项符合，A、C、D都错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可．
7．如图，在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K．则下列说法不正确的是（）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式即可得到结论．
【解析】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，，故A、C选项正确，不符合题意；
∵EF∥AB，同理可得，
∴，，故B选项不正确，符合题意；
∴，故D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形判定，熟练列出比例式是解题的关键．
8．如图，在中，、为边的三等分点，，点为与的交点．若，则为（）

A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】
由三等分点的定义与平行线的性质得出BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，DH是△AEF的中位线，易证△BEF∽△BAC，得，解得EF＝3，则DHEF＝．
【解析】
解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DHEF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
解得：EF＝3，
∴DHEF3＝，
故答案选：C．
【点睛】
本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，与相交于点，且，，，则的为（）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解析】
解：∵，，
∴AB=AH＋HB=3
∵
∴
故选C．
【点睛】
此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．
10．如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（）

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
【答案】B
【分析】
过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
【解析】
解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，
∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AG＝PG，
∵M是DE的中点，
∴DM＝ME＝DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，
∴＝＝，
∴NM＝AG＝PG，
∵DM＝ME，
∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．
11．如图，已知点、分别是的边、的点，且，点是边上的点，与交于点，则下列结论中，错误的是（）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平行线分线段成比例定理即可一一判断．
【解析】
解：∵EF∥BC，
∴，，，，
∴选项A，C，D正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C．
点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．


二、填空题
13．如图，已知AB∥CD，若，则___．

【答案】
【分析】
利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】
∵∥，
∴△∽△，
∴
故答案为．
【点睛】
本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，，如果，那么________．

【答案】12
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．
【解析】
∵DE∥FG∥BC，
∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，
∵EG=4，
，
．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．如图，已知，则______，______，______，______．

【答案】或
【分析】
根据，可知AC∥EF∥BD，然后根据平行线分线段成比例定理解答即可.
【解析】
∵，
∴AC∥EF∥BD，
∴，，，或.
故答案为：，，，或.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.
16．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．

【答案】3.6
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．
【解析】
解：∵a∥b∥c，
∴，
即，
∴DE＝3.6，
故答案为：3.6．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键．
17．如图，已知，，则______，______.

【答案】，
【分析】
由，则有，又，得，即可得到.
【解析】
解：∵，
∴，
∴，
设
∴，
故答案为：，.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟记平行线分线段成比例的性质，以及合比性质等.
18．如图，已知，，，则______.

【答案】
【分析】
由，可得，由，可得，然后根据等量代换得，然后即可得到.
【解析】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是求出，注意等量代换和数形结合思想的应用．
19．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=___________．

【答案】
【解析】
∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，即=，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴=，即=，
解得：AF=，
则EF=AE﹣AF=10﹣=，
故答案是：
20．如图，△ABC中，BD是中线，AE是高，BD交AE于点F，FG∥AB，交BE于点G，若AE＝BD，DF＝5，GB＝，则BF＝____．

【答案】．
【分析】
过点D作DH⊥BC于点H，根据已知可得DH∥AE，由BD是中线，得到DH为△CEA中位线，从而由中位线性质可求得DH＝BD＝AE，，所以∠DBH＝30°，设BF＝x，则BD＝5＋x，AE＝5＋x，EF＝x，BE＝，由FG∥AB，得到，从而解出x的值．
【解析】
解：过点D作DH⊥BC于点H．

∵AE是高，
∴DH∥AE，
∵BD是中线，即D为AC中点，
∴H为BC中点，
∴DH为△CEA中位线，
∴DH＝AE，
∵AE＝BD，
∴DH＝BD，
∴∠DBH＝30°，
设BF＝x，则BD＝5+x，AE＝5+x，
∴EF＝x，BE＝．
∵FG∥AB，
∴，
∴．
整理得x2+6x﹣20＝0，
解得x1＝，x2＝（舍去）．
∴BF＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例性质及解一元二次方程等知识，正确作出辅助线构建特殊直角三角形是解题的关键．
21．如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记的面积为，四边形CDOE的面积为，则____________．

【答案】
【分析】
作DF∥AE交BC于F，连接CO，利用OE∥DF得到，所以BE＝EF，利用DF∥AE得到，所以CF＝2EF，然后计算，进而即可求解．
【解析】
解：作DF∥AE交BC于F，连接CO，如图，

∵OE∥DF，O是BD的中点，
∴，即BE＝EF，
∵DF∥AE，，
∴，
∴CF＝2EF，
∴，
∴，
又∵O是BD的中点，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
22．如图，在中，，．在边上有个不同的点，，，¨¨¨¨，，过这个点分别作的内接矩形，，¨¨¨¨，，设每个矩形的周长分别为，，¨¨¨¨，，则¨¨¨¨________．

【答案】400
【分析】
首先过点A作AH⊥BC于H，由AB=AC=，BC=2，可求得BH的长，由勾股定理可求得AH的长，又由四边形P1E1F1G1是矩形，可得E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得E1P1=2BP1，F1G1=2CG1，则可求得L1的值，同理可求得L2，……，L100的值，继而求得答案．
【解析】
过点A作AH⊥BC于H，

∵AB=AC=，BC=2．
∴BH=BC=1，
∴AH==2，
∵四边形P1E1F1G1是矩形，
∴E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，
∴E1P1∥AH，
∴，即，
∴E1P1=2BP1，
同理：F1G1=2CG1，
∴矩形P1E1F1G1的周长为：E1P1+E1F1+P1G1+F1G1=2P1G1+2BP1+2CG1=2（P1G1+BP1+CG1）=2BC=4，
∴L1=4，
同理：L2=L3=…=L100=4，
∴L1+L2+……+L100=4×100=400．
故答案为400．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．

三、解答题
23．如图，在中，，．

求：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据比例式的基本性质可得结果；
（2）根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，列出比例式即可求解.
【解析】
解：（1）∵
∴
（2）∵DE∥BC
∴
又∵
∴
∴
【点睛】
本题考查比例的基本性质和平行线分线段成比例定理的推论，熟练根据基本性质对比例式进行变形是关键.
24．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．

【答案】EC的长为．
【分析】
根据AD∥EB∥FC，由平行线分线段成比例可得EC：AC= BF：DF，代入数据计算即可．
【解析】
∵AD∥EB∥FC，
∴EC：AC= BF：DF，
∴EC：12=7：10，
∴EC=．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．
求证：DE∥BC

【答案】证明过程见解析
【分析】
由FE∥CD，可得，由AD是线段AF与AB的比例中项，可得，进而可得，可得结论．
【解析】
∵FE∥CD，
∴，
∵AD是线段AF与AB的比例中项，
∴，
∴，
∴DE∥BC．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，根据平行判断成比例线段是解题的关键．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD=20，求BG的长；
（2）求的值．

【答案】(1)8;(2)
【分析】
（1）由GF∥BC，可证，结合，整理可求出的值；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∥CD，AB=CD，从而，整理可求出，根据比例的性质可求出的值.
【解析】
(1) ∵GF∥BC，
∴，
∵BD=20，，
∴；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
27．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD=7，CF=12，求BE的长．

【答案】（1）AB=4，BC=6；（2）BE=9
【分析】
（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【解析】
解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=10，
∴AB=4，
∴BC=10﹣4=6；
（2）如图所示：过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，

又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=12，
∴CG=12﹣7=5，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
28．如图，D是△ABC的边BC的中点，且
（1）过点A作DE的平行线交BC于G，分别求出和的值；
（2）若△CDF的面积为3，求出四边形ABDF的面积．

【答案】（1），；（2）5
【分析】
（1）过点A作AG∥ED交BC于点G，由平行线分线段成比例定理可得出，结合BD=CD可得出，再利用平行线分线段成比例定理可得出；
（2）连接BF，由BD=CD可得出S△BDF=S△CDF=3，结合可得出S△ABF=，S△BCF=2，将其代入S四边形ABDF=S△ABF+S△BDF中即可求出四边形ABDF的面积．
【解析】
解：（1）过点A作AG∥ED交BC于点G，如图1所示．
∵AG∥ED，
∴
∵D是△ABC的边BC的中点，
∴，
∴
（2）连接BF，如图2所示．
∵BD=CD，
∴S△BDF=S△CDF=3．
又∵，
∴S△ABF=S△BCF=2，
∴S四边形ABDF=S△ABF+S△BDF=2+3=5．

【点评】
本题考查了平行线分线段成比例定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用平行线分线段成比例定理找出和的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△BDF、S△ABF的值．
29．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　　．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到＝，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有＝；
（2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用（1）中的结论得到＝，即＝，则可计算出BD=，然后利用勾股定理计算出AD=，从而可得到△ABD的周长．
【解析】
（1）过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键．
30．已知：在梯形中，，点在上，点在上，且，．

（1）如果点、分别为、的中点，如图（1）．求证：，且；
（2）如果，如图（2），判断和是否平行，并用、、、的代数式表示．请证明你的结论．
【答案】（1）详见解析；（2），证明详见解析.
【分析】
（1）连接AF并延长，交BC的延长线于M，利用ASA可证△ADF≌△MCF，那么，AF＝MF，AD＝CM，于是EF就转化为△ABM的中位线，那么EF＝BM，而CM＝AD，等量代换即可得证；
（2）先利用平行线分线段成比例定理的推论，可得，从而在△ABM中得到，再利用比例的性质，就有，表示出EF，再根据表示出CM，整理即可得到答案．
【解析】
（1）连结并延长，交的延长线于点，如图（1）所示．
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴．
又，
∴≌．
∴，．
∵点为的中点，
∴是的中位线．
∴，．
∵，
∴，即；
（2），；
证明：连结并延长，交的延长线于点，如图（2）所示．
∵，
∴．
又，
∴在中，有，
∴，
∴．
∴．
而，
∴．
∴．
∴．

（1）（2）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理及其推论、比例的性质等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理进行推理计算是解题关键.