北师大版九年级上册2 平行线分线段成比例教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【情景引入】

教师活动：展示常见的梯子图片，提出几何问题：

如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道AD，BE，CF互相平行，若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？

预设答案：DE=EF.

教师活动：进一步说明这是一个常识性问题，肯定同学们的回答正确，进一步提出问题，如何对这一问题进行几何证明，引入本节课内容，说明学习本节课内容后可以解答这个问题.

学生从日常生活角度思考问题，并根据经验作答，思考内在原因.

通过和学生一起讨论生活中出现的问题，引发学生对平行线分线段成比例的初步思考.

环节二 探究新知

【合作探究】

     教师活动：提出平行线分线段有关问题，让学生思考并通过计算完成下面几个题目：

     在下图中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于格点A1， A2，A3，B1，B2，B3.

问题（1）：计算与，与，的值，你有什么发现？

教师活动：引导学生用勾股定理计算各条线段的长度再求比值.

计算步骤如下：

先计算线段的长：

再计算比值：

你发现了什么？

问题（2）：将l2向下平移到如图所示的

位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？

预设答案：

同样方法先计算各线段的长，

经计算

    第（1）小问结论仍然成立.

问题（3）：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？

教师活动：播放平行线位置变化时，截取线段长度的变化及对应比值变化情况的动画.指导学生注意观察对应线段的比值是否相等.

预设答案：得出结论：截得的对应线段成比例.

【归纳】

     教师活动：对上面三个题目内容进行抽象总结，归纳出平行线分线段成比例定理的内容.

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

符号语言：当l1∥l2∥l3，则有：

可以对应记忆为

【拓展】

教师活动：讲解说明定理的内容，强调定理涉及的图形情况有多种，展示适用的图形情况：

 定理适用的几种基本图形

【做一做】

如图1，直线a∥b∥c ，分别交直线m，n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3(如图2 ），图2中有哪些成比例线段？

教师活动：提示两组平行线所夹的图形为平行四边形，平行四边形的对边对应相等.

预设答案：

依题意知，四边形A1B1B2C2、A1B1B3C3、C2B2B3C3均为平行四边形.故有：A1C2=B1B2、A1C3=B1B3、C2C3=B2B3，则： 

【延伸】

教师活动：将图2中的三角形标注出来并抽离，提出问题：将题目中的三角形单独拿出来，它反映了什么样的几何问题？

预设答案：

【归纳】

教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论.

平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

符号语言：△ABC中，MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，则有：

【拓展】

教师活动：提出问题：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例吗？

将问题转换成几何问题展示：

如图，已知△ABC，MN∥BC，分别与△ABC的两边BA、CA的延长线于点M、N，求证：

提示：做出辅助线，使用平行线分线段成比例定理.

预设答案：

证明：过A点做MN的平行线l，由平行线分线段成比例定理可得：

【归纳】

教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论的第二种形式.

平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例.

符号语言：MN∥BC，分别与△ABC的两边BA、CA的延长线于点M、N，则有：

学生尝试先通过勾股定理计算出各条线段的长度，再进一步计算比值.

利用与问题（1）相同的计算方法解决问题（2）.尝试通过问题（1）、（2）的结果总结归纳出相同的结论.

思考问题（3），心里预设答案，认真观察老师演示的平行线位置变化时，截取的对应线段长度的变化情况，观察对应线段的比值是否相等.

归纳总结，并理解记忆平行线分线段成比例定理的内容.

理解“对应线段”的概念，通过比例式中线段的方位记忆定理.

了解定理可以使用的几种基本图形，明确“对应线段”的含义.

通过平行四边形对应边相等的性质，转化求解对应线段的比例关系.

通过上面题目的求解，直接在三角形中找到对应的比例关系

通过图形理解记忆平行线段分线段成比例定理推论的内容.

参考上面推论的证明方式，思考并尝试完成这一问题的解答证明.

借助图形理解记忆平行线分线段成比例推论的另外一种形式，注意两种不同情况下对应线段的变化.

引导学生借助方格纸这一工具，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实.

问题（1）和问题（2）是两种特殊情况：平行线与两条直线的交点都在格点上，这样便于通过计算得出结论.

问题(3）是更一般化的设置，学生无法通过计算得出结论，但可以通过上面的特殊情况大胆归纳、猜测.教师再通过计算工具的演示佐证结果的正确性.

引导学生进一步认识到：归纳需要更多的特殊情况作为基础.

帮助学生通过图形中线段的对应位置记忆定理.

理解对应线段的含义，准确记忆定理内容，并了解定理可使用的不同情况.

通过做平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，从而得到它的一个推论.

.

这个推论是后面证明相似三角形判定定理的基础.

对前面平行线分线段成比例定理使用情况的进一步拓展延伸，巩固定理内容，并培养学生举一反三的能力.

培养学生思考问题的全面性和严谨性.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例：如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.

（1）如果AE=7，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？

（2）如果AB=10，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？

   教师分析：依题意知，EF∥BC，可以使用平行线分线段成比例定理的推论:

（1）已知AE、EB、FC，直接套用比例关系式可求出AF的长.

（2）已知AB、AE、AF，可先求出AC的长，再由AC与AF的差求出FC.

展示完整解题过程：

解：（1）∵ EF//BC，

    ∴

    ∵AE=7，EB=5，FC=4，

    ∴

（2）∵ EF//BC，

∴

∵ AB=10，AE=6，AF=5，

∴

∴

明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.

通过解决例题让学生一方面巩固对推论的理解，另一方面也为后面证明相似三角形的判定定理做铺垫.解题时注意引导学生阅读、理解题意.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（      ）

A.    B.

C.    D.

2.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式成立的是（       ）

    A.     B.  

C.     D.

3.如图，BC∥DE，AB=15，AC=9，BD = 10，AE=______. 

4.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2则EC=______. 

答案：

1.D

2.C

3.解：因为BC∥DE，由平行线分线段成比例定理的推论，得，又AB=15，AC=9，BD = 10，解得：CE = 6.

所以AE =AC+CE =15.

4. 解：因为DE∥BC，由平行线分线段成比例定理的推论，得，又AB=6，AC=9，AD=2，解得：AE = 3.

所以EC =AC+AE =12.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

解题时注意找准对应线段.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第84、85页习题4.3第2、3题.

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.