2020-2021学年2 平行线分线段成比例练习

2　平行线分线段成比例

必备知识·基础练

 (打“√”或“×”)

1．夹在两条平行线之间的线段长度相等．(　×　)

2．“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”中对应线段指的是平行线间长度相同的线段．(　×　)

3．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例．(　√　)

知识点1　平行线分线段成比例

1．如图，已知点D是AB上一点，如果DE∥BC，DF∥AC，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是(　B　)

A．＝    B．＝

C．＝    D．＝

【解析】∵DE∥BC，DF∥AC，

∴＝，故A错误；

＝＝，故B正确；

＝，＝，故C错误；

＝＝，故D错误．

2．(教材P84习题4.3变式)(2021·长春期中)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G.若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则BE的长为(　B　)

A．    B．    C．12    D．20

【解析】∵AB∥CD∥EF，

∴＝，

∵AD＝AG＋GD，AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，

∴＝，

∴CE＝，

∴BE＝BC＋CE＝4＋＝.

3．如图，△ABC中有菱形AMPN，如果＝，那么＝____．

【解析】∵＝，

∴＝.

∵四边形AMPN是菱形，

∴MP∥AC，

∴＝＝.

4．(2021·烟台期中)如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A，B，C和点D，E，F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．

【解析】∵b∥c，

∴＝＝＝，

∴OE＝EF＝，

∵a∥c，

∴＝＝＝，

∴DO＝OF＝×＝，

∴DE＝DO＋OE＝＋＝.

知识点2　平行线分线段成比例的推论

5．(2021·无锡期中)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则BC的长是(　B　)

A．4    B．4.5    C．2.5    D．2

【解析】∵DE∥AC，

∴DB∶AB＝BE∶BC，

∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，

∴4∶6＝3∶BC，

∴BC＝4.5.

6．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过点D作BC的平行线交AC于点M，若BC＝m，AC＝n，则DM＝(　C　)

A．    B．    C．    D．

【解析】∵CD平分∠ACB，过点D作BC的平行线交AC于点M，

∴∠MDC＝∠MCD，∴DM＝MC，

∴AM＝AC－MC＝n－DM.

又∵DM∥BC，

∴＝，

即＝，解得DM＝.

7．(2021·成都期中)如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于F，已知AD＝3，AB＝8，FG＝4，则AG＝____．

【解析】∵DE∥BC，

∴＝，即＝，

∴AF＝，

∴AG＝AF＋FG＝＋4＝.

8．(2021·唐山期中)如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.

(1)若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；

(2)若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长．

【解析】(1)∵DE∥BC，

∴＝，即＝，

解得，AE＝10；

(2)∵DE∥BC，

∴＝，即＝，

解得，AC＝15，

∴EC＝AC－AE＝9.

　　　　　　　　　　 关键能力·综合练

1．(2021·焦作质检)如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的值为(　D　)

A．3    B．4    C．5    D．6

【解析】∵AD∥BE∥CF，

∴＝，即＝，

解得，EF＝4，

则DF＝DE＋EF＝6.

2．如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(　D　)

A.＝

B．＝

C．＝

D．＝

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴＝，正确，故A不符合题意；

＝正确，故B不符合题意；

＝正确，故C不符合题意；

＝错误，故D符合题意．

3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于点F，那么下列比例式中正确的是(　C　)

A．＝    B．＝

C．＝    D．＝

【解析】A.∵EF∥CD，DE∥BC，

∴＝，＝，

∵CE≠AC，∴≠，故本选项错误；

B．∵EF∥CD，DE∥BC，

∴＝，＝，

∴＝，

∵AD≠DF，∴≠，故本选项错误；

C．∵EF∥CD，DE∥BC，∴＝，＝，

∴＝，故本选项正确；

D．∵EF∥CD，DE∥BC，∴＝，＝，

∴＝，

∵AD≠BD，∴≠，故本选项错误．

4．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝__12__．

【解析】∵DE∥FG∥BC，

∴AE∶EG∶GC＝AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，

∵EG＝4，∴AE＝，GC＝，

∴AC＝AE＋EG＋GC＝12.

5．(2021·沈阳期中)如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC＝12，则BF＝__3__．

【解析】过E作EG∥BC，交AC于G，

∵EG∥BC，E为BD中点，

∴DG＝CG，＝，

又∵AD∶DC＝1∶2，

∴＝＝，∴＝，

∴BF∶FC＝1∶3，

∵BC＝12，∴BF＝3.

6．(2021·岳阳期中)如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为多少？

【解析】∵EF∥CD，

∴＝，

∵EF＝2，CD＝3，

∴＝，

∵AB∥EF，

∴＝＝，

∴AB＝6.

7．(素养提升题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E.

(1)求线段DE的长；

(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．

【解析】(1)∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，

∴∠DAC＝30°，

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，

CD＝AD，AC＝6，CD2＋36＝AD2，

∴CD＝2，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，

∠CBA＝30°，AC＝6，AB＝2AC＝12，

∴BC＝＝＝6，

∴BD＝BC－CD＝4，

∵DE∥CA，

∴＝＝，

∴DE＝4.

(2)∵点M是线段AD的中点，

∴DM＝AM，

∵DE∥CA，∴∠DFM＝∠AGM，

∵∠DMF＝∠AMG，∴△DFM∽△AGM，

∴＝，∴DF＝AG，

∵DE∥CA，

∴＝，＝，∴＝，

∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，

∴＝.

易错点　图形的不唯一导致漏解．

【案例】(2021·郑州月考)在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为__6或12__.

【解析】如图1，当点P在边AB上时，

∵AB＝6，AC＝9，AP＝2，

∴BP＝AB－AP＝6－2＝4，

∵PM∥BC，

∴＝，即：＝，

∴CM＝6；

如图2，当点P在边BA的延长线上时，

∵AB＝6，AC＝9，AP＝2，

∴BP＝AB＋AP＝6＋2＝8，

∵PM∥BC，

∴＝，即：＝，

∴CM＝12.

∴CM的长为6或12.

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