北师大版九年级上册第四章 图形的相似3 相似多边形课时作业

3　相似多边形

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．各角分别对应相等的两个多边形叫做相似多边形．(　×　)

2．各边分别对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．(　×　)

3．如果两个多边形相似，它们的对应角都相等，它们的对应边成比例．(　√　)

4．如果两个多边形不相似，它们的对应角可能相等或者它们的对应边可能成比例．(　√　)

知识点1　相似多边形的概念

1．两个多边形相似的条件是(　D　)

A.对应角相等

B．对应边成比例

C．对应角相等或对应边成比例

D．对应角相等且对应边成比例

【解析】∵对应角相等且对应边成比例的多边形相似，∴D符合定义．

2．(概念应用题)(2021·上饶期末)如图，已知△ABC的六个元素，其中a，b，c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是(　A　)

A．甲    B．乙    C．丙    D．丁

【解析】甲三角形的两边AC，BC的夹角不一定等于72度，故与△ABC不一定相似；乙可以利用两边对应成比例且夹角相等得出相似；

丙、丁可以利用两角对应相等得出相似．

3．下列两个图形一定相似的是(　C　)

A．两个菱形       B．两个矩形

C．两个正方形       D．两个等腰梯形

【解析】选项A，两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；选项B，两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；选项C，两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；选项D，两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意．

知识点2　相似多边形的性质

4．(2021·漳州期中)若两个相似五边形的相似比为3∶5，则它们的面积比为(　C　)

A．3∶5    B．5∶3    C．9∶25    D．25∶9

【解析】∵两个相似五边形的相似比为3∶5，

∴它们的面积比为9∶25.

5．两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为4 cm2，则较大多边形的面积为(　A　)

A．9 cm2    B．16 cm2    C．56 cm2    D．24 cm2

【解析】∵两个相似多边形的周长比是2∶3，

∴两个相似多边形的相似比是2∶3，

∴两个相似多边形的面积比是4∶9，

∵较小多边形的面积为4 cm2，

∴较大多边形的面积为9 cm2.

6．(2021·中山质检)如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为__135°__.

【解析】∵△ABC∽△DEF，

∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°＋45°＝135°，

∴∠BAC＝135°.

7．四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是相似图形，点A，B，C，D分别与A′，B′，C′，D′对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B′C′＝2，那么C′D′的长是__1.6__．

【解析】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，

∴CD∶C′D′＝BC∶B′C′，

∵BC＝3，CD＝2.4，B′C′＝2，

∴C′D′＝1.6.

8．(2021·上海质检)已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．

(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；

(2)已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．

【解析】(1)∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，

∴∠C＝∠C1＝90°，

∴∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝360°－40°－110°－90°＝120°.

(2)∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴BC＝12，AD＝6，

∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42.

关键能力·综合练

1．(2021·泰安质检)分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为(　B　)

A．两个直角三角形

B．有一个角为110°的两个等腰三角形

C．有一个角为55°的两个等腰三角形

D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形

【解析】两个直角三角形不一定相似；

因为只有一个直角相等，

∴A中的两个三角形不一定相似；

有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；因为110°的角只能是顶角，

所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，

∴B中的两个三角形一定相似；

一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；

因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，

∴C中的两个三角形不一定相似；

两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角，

∴D中的两个三角形不一定相似．

2．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD边长的相似比为____．

【解析】∵BG＝BE，BE＝BC，∴BG＝BC，

∴＝.

3．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝__145__度．

【解析】如图所示，

∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

又∵对角线BD是它的相似对角线，

∴△ABD∽△DBC，

∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，

∴∠A＋∠C＝∠ADC，

又∵∠A＋∠C＋∠ADC＝360°－70°＝290°，

∴∠ADC＝145°.

4．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD∶AB＝__或2__．

【解析】∵四边形ABFE是正方形，

∴DE＝AD－AB.

∵剩下的矩形对折后与原矩形相似，∴＝，即＝，整理得2AD2－2AD·AB－AB2＝0，解得AD＝AB，AD＝AB(舍去)，

∴AD∶AB＝，或＝，＝，整理得AD＝2AB，∴AD∶AB＝2，

综上所述，AD∶AB＝或2.

5．两个相似多边形的最长边分别为4 cm和6 cm，它们的周长之和为40 cm，面积之差为15 cm2，求较小多边形的周长与面积．

【解析】设较小多边形的周长为x cm，面积为y cm2，则较大多边形的周长为(40－x)cm，面积为(y＋15)cm2，

∵两个相似多边形的最长边分别为4 cm和6 cm，

∴两个相似多边形的相似比为2∶3，

∴两个相似多边形的周长比为2∶3，面积比为4∶9，

∴＝，＝，

解得，x＝16，y＝12，

经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，

答：较小多边形的周长为16 cm，面积为12 cm2.

6．(素养提升题)(2021·郑州质检)如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，连接EB，GD.

(1)求证：EB＝GD；

(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．

【解析】(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，

∴∠EAG＝∠BAD，

∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，

∴∠EAB＝∠GAD，

∵AE＝AG，AB＝AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB＝GD；

(2)连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，AB＝2，

∴AE＝，BP＝AB＝1，

∴AP＝＝，

∴EP＝2，

∴EB＝＝＝，

∴GD＝.

易错点　没有分情况讨论导致漏解．

【案例】(2021·银川期中)如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为__1.5或9__时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．

【解析】当＝时，

图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，

解得，x＝1.5，

当＝时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，

解得，x＝9.

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