初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了矩形不一定具有的性质是，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．四个角都是直角
2．下列说法中正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
3．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝6，∠AOD＝120°，则AC的长为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．
5．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　）

A．4 B．8 C．8 D．16
6．如图，在矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，若△ABE的周长为12，AB＝4，则AE的长为（　　）

A． B．5 C．6 D．
7．如图，矩形ABCD中，P是CD的中点，点Q为AB上的动点（不与A、B重合），过Q作QM⊥PA，垂足为M，QN⊥PB，垂足为N，BC＝3，CD＝8，MQ＝x，QN＝y，则y与x之间的函数关系式为（　　）

A．y＝4.8﹣x B． C．y＝11﹣x D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则FG的长为（　　）

A．3 B． C．4 D．5
二．填空题
9．如图，在矩形纸片ABCD中，CD＝1，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点B'落在AD上时，∠B'CE＝22.5°，则∠AEB'＝　 　°，BE+BC的值为 　 　．

10．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是 　 　．



11．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是 　 　．

12．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AOD＝120°，则∠OAE＝　 　，∠AEO＝　 　．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（0，4），点A是x轴正半轴上的动点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形ABCD的面积为24，则OC的最大值为 　 　．

14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，EF＝1，OE＝2，BD＝4，则矩形ABCD的面积为 　 　．

三．解答题
15．平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）判断四边形AECF的形状并说明理由；
（2）当AC与BD满足怎样的数量关系时，四边形AECF是矩形？为什么？

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求菱形ABCD的面积．

17．在菱形DEFH中，对角线HE，DF相交于点C，GF∥HE，GH∥DF．
（1）求证：四边形HCFG是矩形．
（2）当DH＝2，∠DEF＝120°，连接GE，求GE的长．

18．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE＝OC；③OF＝OC．
（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE＝OF；
（2）在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．

19．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．
（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为矩形？
（3）若G、H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．


20．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）若∠E＝25°，求∠EBG的度数；
（2）连接AG，探究AG，DG，EG的数量关系．


参考答案
一．选择题
1．解：矩形的性质有：四个角都是直角，对角线互相平分且相等，
∴对角线互相垂直不是矩形的性质，
故选：B．
2．解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意，
故选：D．
3．解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO．
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°．
∴△AOB是等边三角形．
∴AO＝AB＝6，
∴AC＝2AO＝12，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形，
∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∠AGB＝∠GCH＝∠AHF，
在△AFH和△AGB中，
，
∴△AFH≌△AGB（AAS），
∴AH＝AG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AG＝GC＝CH＝HA，
∵∠AGB＝30°，AB＝2，
∴AB＝4，
∴四边形AGCH的周长为4×4＝16．
故选：D．
6．解：在矩形ABCD中，OA＝OC，OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∵△ABE的周长为12，AB＝4，
∴AE+BE＝8，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴AE2＝（8﹣AE）2+42，
∴AE＝5，
故选：B．
7．解：如图，连接PQ，过点P作PH⊥AB于点H，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AB∥CD，∠D＝∠C＝90°，
∴AD＝BC＝PH＝3，
∴S＝＝12，
∵QM⊥PA，QN⊥PB，MQ＝x，QN＝y，
∴＝12，
∵点P是CD的中点，
∴DP＝CP＝4，
∴AP＝BP＝＝5，
∴，
∴y＝4.8﹣x．
故选：A．
8．解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝2，
∴DE＝，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴FG＝DE＝；
故选：B．

二．填空题
9．解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝1，∠A＝∠B＝∠ACB＝∠D＝90°，
由翻折可知：∠BCE＝∠B'CE＝22.5°，BC＝B′C，∠B＝∠EB′C＝90°，
∴∠DCB′＝90﹣22.5°×2＝45°，∠BEB′＝360°﹣∠B﹣∠BCB′﹣∠EB′C＝135°，
∴DB′＝DC＝1，∠AEB′＝180°﹣∠BEB′＝45°，
∴B′C＝＝，
∴AD＝BC＝B′C＝，
∴AB′＝AD﹣DB′＝﹣1，
设BE＝B′E＝x，则AE＝AB﹣BE＝1﹣x，
在Rt△AB′E中，根据勾股定理得：
AE2+AB′2＝B′E2，
∴（1﹣x）2+（﹣1）2＝x2，
解得x＝2﹣，
∴BE＝2﹣，
∴BE+BC＝2﹣+＝2．
故答案为：45，2．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，AO＝OC，BO＝OD，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AO＝OC，OG⊥AC，
∴GA＝GC，∠GOC＝90°，
∵∠BOG＝15°，
∴∠COB＝90°﹣15°＝75°，
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣∠COB）＝52.5°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣90°﹣52.5°＝37.5°，
∴∠ACG＝37.5°，
∴∠BCG＝∠OCB﹣∠ACG＝52.5°﹣37.5°＝15°，
故答案为：15°．
11．解：如图，连接BP，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，
即×8×6＝×10•BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故答案为：4.8．

12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴AB＝BE，
∴AB＝BE＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴∠BEO＝75°，
∴∠AEO＝30°．
故答案为：15°，30°．

13．解：如图，作BE∥OA交CD于点E，取BE的中点F，连接CF，OF．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠OBE＝90°，
∴∠CBE＝∠OBA，
∵∠BCE＝∠AOB＝90°，
∵B（0，4），AB•BC＝24，
∴OB＝4，
∴BE＝6，
∴BF＝EF＝3，
∴OF＝＝＝5，CF＝BE＝3，
∵OC≤CF+OF＝8，
∴OC的最大值为8，
故答案为：8．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴S△AOD＝S△OCD＝S△BOC＝S△AOB，
∵BD＝4，
∴AO＝OD＝2，
∴S△AOE＝＝＝2，
S△OED＝＝＝，
∴S△AOD＝2，
∴矩形的面积＝4S△AOD＝4×．
故答案为：12．
三．解答题
15．解：（1）四边形AECF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）BD＝2AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，OB＝2OE＝EF，BD＝2OB，
∵BD＝2AC，
∴EF＝AC，
∴平行四边形AECF是矩形．
16．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°．
∴四边形OBEC是矩形．
（2）∵AC⊥BD，∠ADB＝60°，AD＝2，
∴OD＝，AO＝OC＝3．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，
∵AO＝AO，
∴△ADO≌△ABO（SAS），
同理可证△BAO≌△BCO≌△DCO≌△DAO，
∴菱形ABCD的面积＝4S△AOD＝4××3×＝6．
17．（1）证明：∵GF∥HE，GH∥DF，
∴四边形HCFG是平行四边形，
∵四边形DEFH是菱形，
∴DF⊥HE，
∴∠HCF＝90°，
∴四边形HCFG是矩形．
（2）∵∠DEF＝120°，四边形DEFH是菱形，
∴∠DEH＝∠HEF＝60°，DH＝DE，
∴△DEH为等边三角形，
∴DH＝EH＝2，HC＝EC＝，
∵四边形HCFG是矩形，
∴∠GHC＝90°，GH＝CF，
∴GH＝DC＝，
在Rt△GHE中，由勾股定理GE＝＝．
18．解：（1）选择MN∥BC，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠DCF＝∠ACF，
∴∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
当O为AC的中点时，AO＝CO，
由（1）可知，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝10cm，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝AB，CH＝CD，
∴AG＝CH，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，
∴AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴△AGF≌△CHE（SAS），
∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH（或得∠EFG＝∠FEH），
∴GF∥HE，
∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，

∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝8cm，
∴当EF＝GH＝8cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①若AE＝CF＝2t，则EF＝10﹣4t＝8，解得：t＝0.5，
②若AE＝CF＝2t，则EF＝2t+2t﹣10＝8，解得：t＝4.5，
即当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；
（3）如图2，连接AG、CH，

∵四边形GEHF是菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∵AF＝CE
∴OA＝OC，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则BG＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，
∴BG＝8﹣，
∴AB+BG＝6+，
t＝÷2＝，
即t为秒时，四边形EGFH是菱形．
20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
∵∠E＝25°，
∴∠EBG＝90°﹣25°＝65°；
（2）EG﹣DG＝AG．理由如下：
如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，

在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．