初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定同步训练题

1.2矩形的性质与判定 同步精练

一、单选题

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（   ）

A．30° B．60° C．90° D．120°

2．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（       ）

A．36° B．30° C．27° D．18°

3．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（       ）

A．当时，四边形ABMP为矩形

B．当时，四边形CDPM为平行四边形

C．当时，

D．当时，或6s

4．如图，在中，，于点，和的角平分线相交于点，为边的中点，，则（       ）

A．125° B．145° C．175° D．190°

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝2AB＝8，点P是BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若m＝PE＋PF，则m的值为（       ）．

A． B． C． D．

6．如图，矩形与矩形完全相同，，现将两个矩形按如图所示的位置摆放，使点恰好落在上，的长为（   ）

A．1 B．2 C． D．

7．如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（       ）

A． B． C．4 D．

8．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　）

A． B． C． D．

9．在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10

10．如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且四边形为平行四边形，则平行四边形周长的最小值为（       ）

A． B． C． D．

11．如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，且，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（       ）

A．6 B．7 C．8 D．10.5

12．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为(     )

A． B． C．4 D．

二、填空题

13．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件______，使为矩形．

14．如图，矩形的对角线，相交于点，//，//．若，则四边形的周长是_______．

15．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD=__________.

16．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____．

17．在△ABC中，，，，点P是△ABC所在平面内一点，则取得最小值时PA长为______．

三、解答题

18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形．

19．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是　   　，证明你的结论；

（2）当四边形ABCD的对角线满足　   　条件时，四边形EFGH是菱形；

（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？

20．在中，，，点D是射线CB上的动点（点D不与点B、C重合），连接AD，，且，连接DE，过点D作，且，连接CF．

(1)如图1，当点D是BC中点时，DE与CF的数量关系是        ，位置关系是       ；

(2)如图2，当点D是线段BC上任意一点时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

(3)若，时，请直接写出线段DE的长．

21．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．

【问题解决】

(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形是矩形，

∴．

由折叠可知，，．

∴．

∴．

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】

(2)的度数为________度，的值为_________；

(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）

参考答案

1--10BBDCD DDACB 11--12BB

13．或（答案不唯一）

14．20

15．4

16．，或

17．##

18．证明：如图，

∵O为AC的中点，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 是平行四边形，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形．

19．解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，

证明：连接BD、AC，

∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，

∴，，

∴四边形EFGH是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

（2）当四边形ABCD的对角线满足AC=BD条件时，四边形EFGH是菱形，理由：

∵BD=AC，，，

∴，

∴四边形EFGH是菱形，

故答案为：AC=BD；

（3）由于矩形的对角线相等，且由（1）（2）结论知，矩形的中点四边形是菱形．

20．（1）解：数量关系：；

位置关系：；

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD＝BD＝CD，

∵DF⊥BD，DF＝BD，

∴∠FDC＝90°，DF＝CD，

∴CF＝ CD，

∵EA⊥AD，AE＝AD，

∴DE＝AD，∠ADE＝45°，

∴CF＝DE，

∵CD＝DF，∠CDF＝90°，

∴∠F＝45°，

∴∠ADE＝∠F，

∴DECF．

故答案为：DE＝CF，DECF；

（2）

成立

证明：如图2，连接CE．

∵，，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴四边形DECF是平行四边形，

∴，；

（3）

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，

∴BC＝AB＝＝7，

如图2，当D在线段BC上时，

∵BD＝DF＝3，DF⊥BC，

∴DC＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，

∴CF＝＝＝5，

由（2）可知，DE＝CF＝5．

如图3，当D在CB的延长线上时，同理BC＝7，DB＝DF＝3，

∴DC＝BC+DB＝10，

∴CF＝＝＝，

连接CE，同理可证四边形DCEF为平行四边形，

∵∠FDC＝90°，

∴四边形DCEF为矩形，

∴DE＝CF＝．

综上所述，DE的长为或5．

21．（1）证明：四边形是矩形，

∴．

由折叠可知，，．

∴．

∴．

由折叠得，，

∴

∴

又AD=AF，AG=AG

∴

（2）

由折叠得，∠

又∠

∴∠

由得，∠

∠

又∠

∴∠

∴∠

∴

设则

∴

∴

∴

（3）

如图，连接

∵

∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，

连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；

过点P作交AD于点R，

∵∠

∴∠

∴

又

∴

∴

在中，

∴

∴的最小值为