浙教版八年级上册2.6 直角三角形习题

这是一份浙教版八年级上册2.6 直角三角形习题，共12页。试卷主要包含了如图，将一副学生用三角板等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共7小题，满分35分）
1．已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．30°
2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
3．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
4．如图3，已知AB∥CD，现将一直角△PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．若∠PFD＝32°，则∠BEP的度数为（ ）
A．58°B．68°C．32°D．60°
5．如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B＝54°，∠C＝90°，则∠ENC等于（ ）
A．54°B．62°C．72°D．76°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（ ）度．
A．23B．28C．52D．56
7．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
二．填空题（共9小题，满分45分）
8．在直角三角形中一个锐角比另一个锐角的三倍还多14度，则较大锐角的度数是 ．
9．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，FH⊥AB，若∠EDC＝55°；则∠FHC＝ 度．
10．在△ABC中，高AD与BE所在直线相交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝ ．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠DBE＝28°，则∠CAB＝ ．
13．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
14．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB＝ 度．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，若沿虚线剪去∠A后，则∠1+∠2＝ ．
16．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝ ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB，BD平分∠ABC，若∠A＝50°，求∠D的度数．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
19．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；
（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．
20．如图，BD，CE分别是△ABC的高，BD和CE相交于O．
（1）图中有哪几个直角三角形？
（2）图中有与∠2相等的角吗？请说明理由；
（3）若∠A＝55°，∠ACB＝65°，求∠3，∠4和∠5的度数．
21．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 ．
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ ．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：∵直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，
∴另一个锐角的度数是：90°﹣50°＝40°，
故选：C．
2．解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
3．解：如图，∵在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，
∴∠A＝70°．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝110°．
故选：C．
4．解：延长MP交CD于H，
∵∠MPN是△PFH的外角，
∴∠PHF＝∠MPN﹣∠PFD＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠BEP＝∠PHF＝58°，
故选：A．
5．解：∵∠B＝54°，∠C＝90°，
∴∠A＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质可知，∠NEA＝∠A＝36°，
∴∠ENC＝∠NEA+∠A＝72°，
故选：C．
6．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠BDE，
∵∠BDE＝56°，
∴∠CAB＝56°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠CAB＝28°，
故选：B．
7．解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
二．填空题（共9小题，满分45分）
8．解：设直角三角形较小的锐角为x，则较大的锐角为3x+14°，
则x+3x+14°＝90°，
解得：x＝19°，
则较大的锐角为3×19°+14°＝71°，
故答案为：71°．
9．解：∵DE⊥AC，AC⊥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DCB＝∠EDC＝55°，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴DC∥FH，
∴∠BCD+∠FHC＝180°，
∴∠FHC＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125．
10．解：如图中，
∵∠BHD＝∠AHE（对顶角相等），又∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠HAE+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠C（同角的余角相等），
∴∠C＝∠BHD（等量代换），
∵BH＝AC，∠HBD＝∠DAC，∠C＝∠BHD
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD＝BD（全等三角形的对应边相等）．
∴∠ABC＝45°（等腰直角三角形的性质）；
如图，当∠ABC是钝角时，同法可得AD＝BD，
∴∠ABD＝45°，∠ABC＝135°
故答案为：45°或135°
11．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
由题意可知△ACD≌△ACD，
∴∠CED＝∠A＝52°，
由图可知∠CED是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠B+∠EDB，
∴52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
12．解：∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠DBE＝28°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝56°，
故答案为56°．
13．解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
14．解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AM，BN为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠CAM+∠NBC＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠CAM+∠NBC）＝135°，
∴∠AOB＝135°．
故答案为：135
15．解：∵△ADE是直角三角形，
∴∠3+∠4＝90°，
∵∠2、∠1是△ADE的外角，
∴∠2＝∠4+∠A，∠1＝∠3+∠A，
∴∠2+∠3＝2∠A+（∠4+∠3）＝2×90°+90°＝270°．
16．解：如图，连接AO，过O点作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于点N，则∠FMO＝∠DNO＝90，
∵∠BAC＝90°，∠BAC﹣∠ACB＝α，
∴∠ACB＝90°﹣α，∠MON＝90°，
∴∠ABC＝α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝α，
∵FO⊥BD，
∴∠BOF＝∠FOD＝90°，
∴∠MOF＝∠NOD，∠AFO＝∠BOF+∠ABD＝90°+α，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAD＝45°，MO＝NO，
在△MOF和△NOD中，
，
∴△MOF≌△NOD（ASA），
∴OF＝OD，
∴∠OFD＝45°，
∴∠AFD＝∠AFO﹣∠OFD＝45°+α，
故答案为：45°+α．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABD＝20°．
18．（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
19．（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×88°＝44°；
（2）证明：∵AD⊥BC；
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，
∵∠ADF＝74°，
∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴△ADF是直角三角形．
20．解：（1）∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴图中有6个直角三角形，分别为△ABD、△CBD、△ACE、△BCE、△OBE、△OCD；
（2）图中有与∠2相等的角为∠1，理由如下：
∵∠2+∠A＝90°，∠1+∠A＝90°，
∴∠1＝∠2；
（3）∵∠CDB＝90°，∠ACB＝65°，
∴∠3＝90°﹣∠ACB＝90°﹣65°＝25°，
∵∠A＝55°，∠ACB＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣55°﹣65°＝60°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠5＝∠BOC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
21．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；
故答案为：30°；
（2）∵BE⊥CP，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CBE＝70°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，
∵AD⊥CP，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；
（3）∵∠ADP是△ACD的外角，
∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，
同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，
∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，
故答案为：120°．