高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)导学案，共14页。学案主要包含了一次函数模型的应用，二次函数模型的应用，分段函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。

导语
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，那么经理的决定正确吗？
要解决这个问题需要用数学模型来刻画，那么我们学过哪些常见的数学模型呢？如何建立函数模型呢？
知识梳理
几种常见的函数模型
应用函数模型解决问题的基本过程
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
一、一次函数模型的应用
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出
400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进________份报纸，才能使每月所获利润最大．
答案 400
解析 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，
其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以该函数为增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以每天买进400份可使每月所获利润最大，获利1 440元．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图像如图所示．
(1)根据图像数据，求y与x之间的函数关系式；
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
由图像可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60k＋b＝6，,80k＋b＝10.))解得k＝eq \f(1,5)，b＝－6.
所以y与x之间的函数关系式为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－6，x>30，,0，x≤30.))
(2)根据题意，当y＝0时，x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
二、二次函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱的销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是
5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)桶．
令520－40x>0，则0y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－6.5)2＋1 490,0易知，当x＝6.5时，y有最大值．
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．
三、分段函数模型的应用
例3 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足于f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10，,25－\f(1,2)t，10(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(25－\f(1,2)t))80－2t，10即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t2＋10t＋1 200，0≤t≤10，,t2－90t＋2 000，10(2)由(1)知，
①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图像开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5]上单调递增，在t∈(5,10]上单调递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10函数图像开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]上单调递减，∴y<1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)，
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)，即日销售额y的最大值为1 225元，最小值为600元．
反思感悟 应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的最值求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解 (1)依题意得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1(2)设第二次服药在第一次服药后t1小时，
则－eq \f(2,3)t1＋eq \f(20,3)＝4，解得t1＝4，
因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，
则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，
即有－eq \f(2,3)t2＋eq \f(20,3)－eq \f(2,3)(t2－4)＋eq \f(20,3)＝4，
解得t2＝9，
故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，
则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即－eq \f(2,3)(t3－4)＋eq \f(20,3)－eq \f(2,3)(t3－9)＋eq \f(20,3)＝4，
解得t3＝13.5小时，
故第四次服药应在20：30.
1．知识清单：实际问题中三种函数模型：一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型．
2．方法归纳：待定系数法、均值不等式法、函数单调性法．
3．常见误区：解决函数的实际应用问题时易忽视函数的定义域．
1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
答案 B
解析 由图像知，该一次函数的图像过(1,800)，(2，1 300)两点，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
2．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
答案 D
解析 由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．
3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．120.25万元 B．120万元
C．90.25万元 D．132万元
答案 B
解析 设在甲地销售了x辆车，则在乙地销售了(15－x)辆车，令总利润为L，则L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(19,2)))2＋eq \f(481,4).
因为x∈N，所以当x＝9或10时，L有最大值，Lmax＝120(万元)．所以在甲地销售9辆车，在乙地销售6辆车或在甲地销售10辆车，在乙地销售5辆车时可获得最大利润120万元．
4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
答案 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(80t，0≤t≤2，,160，25．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m.
答案 3
解析 设隔墙的长为x m，矩形面积为S m2，
则S＝x·eq \f(24－4x,2)＝x(12－2x)＝－2x2＋12x
＝－2(x－3)2＋18,0所以当x＝3时，S有最大值为18.
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N)
答案 D
解析 由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8
＝0.5x＋1 600－0.8x
＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N)．
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x<10，x∈N＋，,2x＋10，10≤x<100，x∈N＋，,1.5x，x≥100，x∈N＋.))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
答案 C
解析 令y＝60.
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用25人．
3．(多选) 已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
则下列说法正确的是( )
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
答案 BD
解析 买小包装时每克费用为eq \f(3,100)元，买大包装时每克费用为eq \f(8.4,300)＝eq \f(2.8,100)元，而eq \f(3,100)>eq \f(2.8,100)，所以买大包装实惠，卖3小包的利润是3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3>2.1，卖1大包盈利多．
4．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降低36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
答案 B
解析 设平均每年降低成本x，
则(1－x)2＝0.64，得x＝0.2＝20%.
5．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案 C
解析 生产者不亏本时有
y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
故生产者不亏本时的最低产量是150台．
6．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．
答案 360
解析 由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40,1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元)．
7．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________．
答案 y＝－eq \f(1,4)x＋50，x∈(0,200)．
解析 设每件定价x元时，售出y件，则y＝kx＋b，k≠0，
因为x＝80时，y＝30，所以30＝80k＋b，①
因为x＝120时，y＝20，所以20＝120k＋b，②
解由①②组成的方程组得，k＝－eq \f(1,4)，b＝50，
所以y＝－eq \f(1,4)x＋50.
由y＝－eq \f(1,4)x＋50>0，得x<200.
故所求函数解析式为y＝－eq \f(1,4)x＋50，x∈(0,200)．
8．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，费用总和最小为______元．
答案 40 48
解析 设每小时的燃料费y＝kv2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k＝eq \f(6,10×10)＝eq \f(3,50)，费用总和为eq \f(10,v)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,50)v2＋96))＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,50)v＋\f(96,v)))≥10×2eq \r(\f(3,50)v×\f(96,v))＝48，当且仅当eq \f(3,50)v＝eq \f(96,v)，即v＝40时取等号．
9．某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?
[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
解 (1)因为y与(x－0.4)成反比，所以可设y＝eq \f(k,x－0.4)(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝eq \f(k,0.65－0.4)，解得k＝0.2，所以y＝eq \f(0.2,x－0.4)＝eq \f(1,5x－2)，所以y与x之间的函数关系式为y＝eq \f(1,5x－2)(0.55≤x≤0.75)．
(2)根据题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5x－2)))(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) ，整理得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5(舍去)或x2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.
10．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额y的最大值，并指出日销售金额y最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．
解 (1)由已知可得
P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋20，0(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为
Q＝－t＋40(0(3)由题意
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋20－t＋40，0即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t－102＋900，0当0当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1 125.
所以第25天时，该商品日销售金额y最大，最大值为1 125元．
11.如图所示是张校长晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图像．若用黑点表示张校长家的位置，则张校长散步行走的路线可能是( )
答案 D
解析 由y与x之间的函数关系图像知，在中间时间段y值不变，只有D选项符合题意．
12．对某种产品市场产、销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律，l2表示产品各年的销售情况．下列叙述：
①产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
②产品已出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
④产品的产、销量的年增长率递增．
你认为较合理的是________．(填序号)
答案 ②③
解析 由图像可得年产量一直大于年销售量，故产品已出现了供大于求的情况，价格将趋跌，①不合理，②合理；由于直线l1的斜率大于直线l2的斜率，年产量的增长速度快于年销售量的增长速度，故产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量，③合理；年产量和年销售量每年都增长相同的量，故年增长率不递增，④不合理．
13．某城市出租车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是__________．
答案 (5,6]
解析 若按x千米(x∈N)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．
14．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么当截成的两段分别是________cm时，这两个正三角形面积之和最小值，最小值是______cm2.
答案 6,6 2eq \r(3)
解析 设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知015．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋eq \f(1,10)x2，Q＝a＋eq \f(x,b)，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(x,b)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 000＋5x＋\f(1,10)x2))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1 000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，
此时Q＝40.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝45，,b＝－30.))
16．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．
(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
解 (1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为
f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300－t，0由图2可得种植成本与时间的函数关系式为
g(t)＝eq \f(1,200)(t－150)2＋100,0(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，
则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，
即h(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,200)t2＋\f(1,2)t＋\f(175,2)，0当0得h(t)＝－eq \f(1,200)(t－50)2＋100，
当t＝50时，h(t)取得最大值100；
当200当t＝300时，h(t)取得最大值87.5.
综上，当t＝50，
即从2月1日开始的第50天上市时西红柿的纯收益最大．函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.0元
8.4元
t/天
5
10
20
30
Q/件
35
30
20
10