人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性学案，共10页。学案主要包含了函数自身的对称性，两个不同函数的对称性等内容，欢迎下载使用。

提升课　函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美．下面通过函数自身的对称性和两个不同函数之间的对称性，这两个方面来探讨函数与对称性有关的性质．
一、函数自身的对称性

例1　已知对∀x∈R，y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)(其中a，b为常数)，求证：y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
证明　设P(x0，f(x0))是y＝f(x)上任意一点，点P关于直线x＝的对称点P′的坐标为(a＋b－x0，f(x0))，要证y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，只需证P′(a＋b－x0，f(x0))也在函数y＝f(x)的图像上，过程如下：
∵f(a＋x)＝f(b－x)对任意实数x都成立，
∴f(a＋b－x0)＝f[a＋(b－x0)]
＝f[b－(b－x0)]＝f(x0)，
即f(a＋b－x0)＝f(x0)，
∴点P′(a＋b－x0，f(x0))在函数y＝f(x)的图像上，故y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
反思感悟　函数 y＝f(x)的图像关于直线x＝ 对称的充要条件为f(a＋x)＝f(b－x)(a，b为常数)．
特别地，函数 y＝f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)＝f(－x)．
跟踪训练1　函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)＝f(4－x)，则函数y＝f(x)的图像(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝2对称
C．关于直线x＝3对称
D．关于直线x＝4对称
答案　C
解析　因为函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称的充要条件是f(a＋x)＝f(b－x)(a，b为常数)，又因为f(x＋2)＝f(4－x)，
所以y＝f(x)的图像关于直线x＝＝3对称．

例2　证明：若函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称，则f(2a－x)＝2b－f(x)，反之亦成立．
证明　设函数y＝f(x)的图像上任意一点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称的点为P′(2a－x,2b－f(x))，
当且仅当P′(2a－x,2b－f(x))在函数y＝f(x)的图像上时，
有f(2a－x)＝2b－f(x)．
若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，
则点P′(2a－x,2b－f(x))在函数f(x)的图像上．
∵点P′(2a－x,2b－f(x))与点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称，
∴函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称．
反思感悟　函数y＝f(x)的图像关于点对称的充要条件为f(a＋x)＋f(b－x)＝c(a，b，c为常数)．特别地，函数 y ＝ f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x) ＋ f(－x)＝0.
跟踪训练2　偶函数f(x)的图像关于点(1,0)对称，f(4)＝2，则f(2)＝________.
答案　－2
解析　偶函数f(x)的图像关于点(1,0)对称，可得f(x)＝－f(2－x)，
令x＝－2，即有f(－2)＝－f(4)，
即有f(4)＝－f(－2)＝－f(2)＝2，则f(2)＝－2.
二、两个不同函数的对称性

例3　设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像关于直线x＝3对称，则(　　)
A．g(x)＝f  B．g(x)＝f(3－x)
C．g(x)＝f(－3－x) D．g(x)＝f(6－x)
答案　D
解析　设点P(x，g(x))为函数y＝g(x)图像上任意一点，又点P(x，g(x))关于直线x＝3的对称点为P′(6－x，g(x))，因为函数f(x)与函数y＝g(x)的图像关于直线x＝3对称，所以点P′(6－x，g(x))在函数f(x)的图像上，因此f(6－x)＝g(x)，故选D.
反思感悟　若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)两函数的图像关于直线x＝对称．特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图像关于直线x＝0对称．
跟踪训练3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图像(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于直线x＝6对称
答案　A
解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图像上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图像上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图像关于直线x＝1对称．

例4　已知函数y＝x2＋x与y＝g(x)的图像关于点(－2,3)对称，求g(x)的解析式．
解　设M(x，y)为y＝g(x)上任意一点，且M′(x′，y′)为M(x，y)关于点(－2,3)的对称点，
则
解得
∵点M′(x′，y′)在y＝x2＋x上，
∴y′＝x′2＋x′，
把代入得6－y＝(－x－4)2＋(－x－4)，
整理得y＝－x2－7x－6，
∴g(x)＝－x2－7x－6.
反思感悟　若函数y＝f(x) 的定义域为R，则函数y＝f(a＋x)与y＝c－f(b－x) 的图像关于点对称．特别地，函数y＝f(a＋x)与函数y＝－f(b－x)的图像关于点对称．

1．知识清单：
(1)函数自身的对称性．
(2)两个不同函数的对称性．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：对称性相关结论混淆．


1．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图像关于直线x＝1对称，则a的值为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－1
答案　A
解析　|x＋1|，|x－a|在数轴上分别表示点x到点－1，a的距离，他们的和f(x)＝|x＋1|＋
|x－a|关于直线x＝1对称，因此点－1，a关于直线x＝1对称，所以a＝3.
2．设函数y＝f(x)定义在实数集R上，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线____对称(　　)
A．y＝0 B．x＝0
C．y＝1 D．x＝1
答案　D
解析　方法一　设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)关于直线t＝0对称．
即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，故选D.
方法二　y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位可得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．
3．设函数y＝x2＋1与y＝g(x)的图像关于点(2,0)对称，则(　　)
A．g(x)＝－x2＋4x－6
B．g(x)＝x2－8x＋17
C．g(x)＝－x2＋8x－17
D．g(x)＝x2－4x＋1
答案　C
解析　方法一　设M(x，y)为y＝g(x)上任意一点，且M′(x′，y′)为M(x，y)关于点(2,0)的对称点，
则解得
∵点M′(x′，y′)在y＝x2＋1上，
∴y′＝x′2＋1，把
代入y′＝x′2＋1得－y＝(4－x)2＋1，整理得y＝－x2＋8x－17，
∴g(x)＝－x2＋8x－17.
方法二　画出y＝x2＋1关于点(2,0)对称的图像，如图所示，可得函数g(x)的对称轴为x＝4，顶点坐标为(4，－1)，函数g(x)是二次函数，所以g(x)＝－(x－4)2－1＝－x2＋8x－17.

4．函数f(x)＝(x∈R)的图像的对称中心是________．
答案　(－1,1)
解析　因为y＝f(x)＝＝1－，即y－1＝，
可设y′＝y－1，x′＝x＋1，得y′＝，
所以y′与x′成反比例函数且y′＝为奇函数，
则其对称中心为(0,0)，即y′＝0，x′＝0，所以y＝1，x＝－1，
所以函数y＝f(x)图像的对称中心为(－1,1)．
5．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f ，f 由小到大依次为________．
答案　f  解析　∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，
∴f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，
∴f  ∴f 

1．若函数f(2x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(　　)
A．(0,0) B．(1,0)
C．(－1,0) D.
答案　B
解析　若f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，
可得f(x)＝－f(2－x)，即函数f(x)的对称中心为(1,0)．
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，则f 等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案　A
解析　由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f ＝－f ，又因为y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，所以f(0)＝f ，因此f ＝0.
3. 已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　　)
A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
答案　D
解析　由y＝f(x＋8)为偶函数可得f(－x＋8)＝f(x＋8)，
f(x)的图像关于直线x＝8对称，
∴f(10)＝f(6)，f(9)＝f(7)，
∵f(x)在(8，＋∞)上为减函数且8<9<10，
∴f(9)>f(10)，即f(7)>f(6)，
由f(9)>f(10)及f(10)＝f(6)，
f(9)＝f(7)可得，f(7)>f(10)，f(6) 4．设函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．若x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则当x>1时，f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝(x＋3)2－1 B．f(x)＝(x－3)2－1
C．f(x)＝(x－3)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
答案　B
解析　当x>1时，在f(x)上任取一点P(x，y)，
P(x，y)关于直线x＝1对称的点P′(2－x，y)在f(x)＝(x＋1)2－1上，
所以y＝(2－x＋1)2－1，即y＝(x－3)2－1.
5．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，则下列命题中假命题有(　　)
A．若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)的图像关于直线x＝2对称
B．若f(x＋2)＝－f(x－2)，则函数f(x)的图像关于点(2,0)对称
C．函数y＝f(2＋x)与函数y＝f(2－x)的图像关于直线x＝2对称
D．函数y＝f(x－2)与函数y＝f(2－x)的图像关于直线x＝2对称
答案　ABC
解析　A是错误的，由f(x－2)是偶函数得f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的图像关于直线x＝－2对称；
B是错误的，若f(x)的图像关于点(2,0)对称，应为f(x＋2)＝－f(2－x)；
C是错误的，在第一个函数中，用－x代替x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图像关于y轴对称；
D是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f(t)与y＝f(－t)的图像关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图像关于直线x＝2对称．
6．偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
答案　3
解析　由y＝f(x)为偶函数，知f(x)＝f(－x)，图像关于直线x＝2对称，知f(2－x)＝f(2＋x)．
f(－1)＝f(1)＝f[2＋(－1)]＝f[2－(－1)]＝f(3)＝3.
7．函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数f(x)的图像的对称中心为________．
答案　(1,0)
解析　把函数y＝f(x＋1)的图像向右平移1个单位可得函数f(x)的图像，
又f(x＋1)是奇函数，图像关于原点对称，则函数y＝f(x)的图像关于(1,0)对称．
8．设f(x)＝x2＋1，则f(x＋1)关于直线x＝2对称的函数解析式为________．
答案　y＝x2－10x＋26
解析　已知f(x)＝x2＋1，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2，
设点(x′，y′)在f(x＋1)图像上，点(x，y)在所求函数图像上，
由关于直线x＝2对称可知
而y′＝x′2＋2x′＋2，
则y＝(4－x)2＋2(4－x)＋2＝x2－10x＋26.
9．定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，求证：
(1)f(x＋2)＝－f(x)；
(2)f(x＋4)＝f(x)．
证明　(1)因为f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以f(x＋1)＝f(1－x)，
所以f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝f(1－(x＋1))＝f(－x)，
又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝－f(x)．
(2)由(1)得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝－(－f(x))＝f(x)．
10．定义在R上的函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，试求使f(2x－1)>f(3)成立的x的取值范围
解　∵f(x＋1)是偶函数，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)．
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称．
∵f(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
∴|2x－1－1|>|3－1|，
解得x<0或x>2.
即所求x的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．

11．已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，f(x＋1)为奇函数，当x<1时，f(x)＝2x2－x＋1，则当x>1时，f(x)的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，又由已知可画出f(x)在(－∞，1)上的图像，再根据中心对称画出f(x)在(1，＋∞)上的图像(图略)，由图像易知，f(x)在上单调递减．
12．已知函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，与函数y＝|x－1|图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1＋x2＋…＋xm等于(　　)
A．0 B．m
C．4m D．2m
答案　B
解析　函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，函数y＝|x－1|的图像也关于直线x＝1对称，函数y＝f(x)的图像与函数y＝|x－1|图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，也关于直线x＝1对称，所以两图像所有交点的横坐标之和为m.
13．对于函数f(x)，当x∈(－∞，＋∞)时，f(2－x)＝f(2＋x)，在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，则函数y＝f(x)为____________函数(填“奇”“偶”“非奇非偶”)．
答案　非奇非偶
解析　由已知得f(0)≠0，
∴f(x)不是奇函数，又由f(2－x)＝f(2＋x)，得函数y＝f(x)图像的对称轴为直线x＝2，
∴f(－1)＝f(5)≠0，
∴f(－1)≠f(1)，
∴f(x)不是偶函数，故函数y＝f(x)是非奇非偶函数．
14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，若函数g(x)＝(x＋1)f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，则a＝________，b＝________.
答案　－4　3
解析　g(x)＝(x＋1)(x2＋ax＋b)＝x3＋(a＋1)x2＋(a＋b)x＋b，
该函数的图像关于点(1,0)成中心对称，
则g(1＋x)＋g(1－x)＝0对任意x恒成立，
取x＝0，得g(1)＝0，
即a＋b＋1＝0，①
取x＝1，得g(2)＋g(0)＝0，
即3a＋2b＋6＝0，②
由①②得a＝－4，b＝3.

15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝f(－x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案　－8
解析　因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝f(－x)，即f(4－x)＝f(x)．因此，函数图像关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝f(－x)知f(x－8)＝f(x)．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示(草图)，

方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1 16．已知函数f(x)＝x2＋x.
(1)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于点(－2,3)对称，求函数g(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)与y＝h(x)的图像关于直线x＝2对称，求函数h(x)的解析式．
解　(1)设点M(x，g(x))为函数y＝g(x)图像上任意一点，点M(x，g(x))关于点(－2,3)的对称点为M′(－4－x,6－g(x))．由题设知点M′(－4－x,6－g(x))在函数y＝f(x)的图像上，
∴6－g(x)＝(－4－x)2＋(－4－x)，
即g(x)＝－x2－7x－6.
(2)设点M(x，h(x))为函数y＝h(x)图像上任意一点，点M(x，h(x))关于直线x＝2的对称点为M′(4－x，h(x))，由题设知点M′(4－x，h(x))在函数y＝f(x)的图像上，
∴h(x)＝(4－x)2＋(4－x)＝x2－9x＋20.