必修 第一册3.3 函数的应用(一)背景图课件ppt

3.3　函数的应用(一)

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

结合以上三年的销量及人们生活的需要，2020年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2020年实际销售44万辆，圆满完成销售目标．

问题　(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？

(2)如果我们分别将2017,2018,2019,2020年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？

(3)依照目前的形势分析，你能预测一下2021年，该公司预销售多少辆汽车吗？

知识点　常见的几类函数模型

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．

(1)甲比乙先出发．  (　　)

(2)乙比甲跑的路程多．  (　　)

(3)甲、乙两人的速度相同．  (　　)

(4)甲先到达终点．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.某物体一天中的温度T与时间t满足函数关系：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t＝0表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是(　　)

A．8 ℃ B．12 ℃

C．58 ℃ D．18 ℃

A　[求上午8时的温度，即求t＝－4时的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.故选A．]

3.(对接教材P122例3)某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个______元．

60　[设涨价x元，销售的利润为y元，

则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250

＝－2(x－10)2＋450，

所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]

类型1　一次函数模型的应用

【例1】　某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)

A．2 000套　　　 B．3 000套

C．4 000套 D．5 000套

D　[因为利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．]

1．一次函数模型的实际应用

一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

2．一次函数的最值求解

一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．

1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像，根据图像填空：

(1)通话2分钟，需要付电话费________元；

(2)通话5分钟，需要付电话费________元；

(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．

(1)3.6　(2)6　(3)y＝1.2t(t≥3)　[(1)由图像可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．

(2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．

(3)易知当t≥3时，图像过点(3,3.6)，(5,6)，求得y＝1.2t(t≥3)．]

类型2　二次函数模型的应用

【例2】　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

[思路点拨]　本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．

[解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，

化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．

(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．

所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．

(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，

所以当x<60时，w随x的增大而增大．

又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.

所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．

利用二次函数求最值的方法

二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．

2．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则当t为何值时蓄水池中的存水量最少？

[解]　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，

则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．

设u＝，则u∈[0,2]，

y＝60u2－100u＋400＝60＋150，

所以当u＝，即t＝时，蓄水池中的存水量最少．

类型3　分段函数模型的应用

【例3】　某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．

(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；

(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

[解]　(1)当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件．

所以f(x)＝

即f(x)＝

(2)当0<x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5＝

－(x－4.75)2＋10.781 25，

所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，

f(x)max＝10.781 25(万元)．

当x>5时，f(x)＝12－0.25x<12－0.25×5＝10.75(万元)．

故当年产量为475件时，当年所得利润最大．

1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．

(1)求y关于x的函数；

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

[解]　(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，

即3x≤4，且5x>4时，

y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.

当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，

y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.

所以y＝

(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；

当x∈时，y≤f<26.4；

当x∈时，y≤f<26.4；

当x∈时，令24x－9.6＝26.4，

解得x＝1.5.

所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)，

付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；

乙户用水量为3x＝4.5(吨)，

付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).

1．某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后按“八折优惠”卖出，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是(　　)

A．2 000元　　　　　 B．2 500元

C．3 000元 D．3 500元

C　[设彩电的进价为x元，得1.4x×0.8－x＝360，解得x＝3 000，故选C．]

2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是(　　)

A　　　B　　　　C　　　　D

B　[题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．故选B．]

3．有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2(围墙厚度不计)．

8 100　[设每个小矩形与墙垂直的一边长为a m，则与它相邻的另一边长为b＝(360－4a)m，记围成场地的面积为S m2，

则S＝3ab＝a·(360－4a)＝－4a2＋360a(0＜a＜90)，

∴当a＝45时，Smax＝8 100(m2)，

∴所围矩形面积的最大值为8 100 m2.]

4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．

[答案]　y＝

5．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为______元．

4 050　[设每辆车的月租金定为x元，租赁公司的月收益为y元，则：

y＝(x－150)×－50×(x－3 000)＝(x－150)－x＋3 000＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050，所以当x＝4 050时，y最大，最大值为ymax＝307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．在函数建模中，怎样确立两个变量是哪种函数关系？

[提示]　通常需要先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型．

2．函数模型在实际应用中，函数的自变量有什么特点？

[提示]　在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．

3．实际问题的函数建模步骤有哪些？

[提示]　实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键，结合对函数性质的研究，通过解决数学问题达到解决实际问题的目的．

一般步骤为：

(1)设恰当的变量：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的关系，并用x，y分别表示问题中的变量．

(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学阶段，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式，注意函数的定义域．

(3)求解函数模型：根据已知条件求解函数模型．

(4)给出实际问题的解：将数学模型的解还原为实际问题的解，得出实际问题的解．