高中2.1 直线的倾斜角与斜率图文课件ppt

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1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝ .若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
问题2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为___.
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为－30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误.
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°
根据题意，画出图形，如图所示.通过图象可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
直线倾斜角的概念和范围(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.
(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.
有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.　　 　　 (1)　　　 　(2)②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为_____.
设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(1)已知直线l经过O(0,0)，P( ，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2( ，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
1.把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .2.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在.3.直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝____.
(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.①A(2,3)，B(4,5)；
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
②C(－2,3)，D(2，－1)；
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
③P(－3,1)，Q(－3,10).
不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.
当a＝3时，斜率不存在；
求直线的斜率的两种方法(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 _ .
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 .
(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1， )，则直线l的倾斜角为 .
问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？
提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是 .
1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
1.(多选)下列说法正确的是A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率，则k∈RC.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于A.2 B.1 C.－1 D.－2
3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为A.－1 B.1 C.2 D.
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 .(其中m≥1)
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)
D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
2.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为A.30° B.60° C.120° D.150°
3.已知点A( ，1)，B(3 ，3)，则直线AB的倾斜角θ是A.60° B.30°C.120° D.150°
5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1
设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.
如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝ ＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2].
6.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是
7.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝ ，直线AB的倾斜角为 .
8.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 ____ .
因为直线的倾斜角为钝角，
9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1).
(4)直线的倾斜角为45°？
由题意可知，直线l的斜率k＝1，
(5)直线的倾斜角为锐角？
由题意可知，直线l的斜率k>0，
10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD＝kBC＝tan 60°＝ .因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是A.－2 B.－1 C.1 D.2
设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A′(a－2，b＋2)，
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
∵直线l与线段AB始终没有交点，
13.过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是 ，则实数m的取值范围是A.(0,2] B.(0,4)C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4)
当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.综上，实数m的取值范围是(0,4).
14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为 _______ .
设直线AB与x轴的交点为C，(图略)则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
15.直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α的值是
∵直线l的方向向量为(－1,2)，∴直线l的斜率等于－2，