新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】习题课 指数型函数、对数型函数的性质的综合

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习题课　指数型函数、对数型函数的性质的综合
第四章　指数函数与对数函数
学习目标
1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.
2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法.
内容索引
指数型函数的单调性问题

一
(1)函数y＝ 的单调递减区间是A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0)C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞)
√
且y＝3u在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，
令u＝x2－2x，易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以函数f(x)的值域为(0,3].
延伸探究1.把本例的函数改为“f(x)＝ ”，求其单调区间.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增，当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x单调递减，又函数y＝2u在R上是增函数，
2.若把本例改为y＝4x－2x＋1－3.求函数的值域和单调区间.
函数y＝4x－2x＋1－3的定义域为R，设t＝2x，则t>0.因为y＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝t2－2t－3＝(t－1)2－4≥－4，所以函数y＝4x－2x＋1－3的值域为[－4，＋∞).因为y＝t2－2t－3在(－∞，1]上单调递减，此时由t≤1得x≤0.又指数函数t＝2x在(－∞，0]上单调递增，所以函数y＝4x－2x＋1－3的单调递减区间为(－∞，0].同理，因为y＝t2－2t－3在[1，＋∞)上单调递增，此时由t≥1得x≥0.又指数函数t＝2x在[0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝4x－2x＋1－3的单调递增区间为[0，＋∞).
(1)求指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性.(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0反思感悟
√
对数型函数的单调性问题

二
求函数y＝ 的单调区间.
由于方程x2－3x＋5＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，∴x2－3x＋5>0恒成立，即函数的定义域为R.
延伸探究　求函数y＝(log0.4x)2－2log0.4x＋2的单调区间.
令t＝log0.4x，则它在(0，＋∞)上单调递减.y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减.由t＝log0.4x≥1得00.4，故所求函数的单调递增区间为(0.4，＋∞)，单调递减区间为(0,0.4].
函数单调性的判定方法与策略(1)定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；(2)图象法：如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；(3)y＝f(g(x))型函数：先将函数y＝f(g(x))分解为y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.
反思感悟
求函数y＝ 的单调区间.
由题意知1－x2>0，∴－1函数的综合应用

三
设log2x＝t.
当t＝2时，ymin＝－2.
反思感悟
求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解.
f(x)的定义域为R.∵3x>0，∴3x＋1>1.∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，∴f(x)的值域为(0，＋∞).
求下列函数的值域：(1)f(x)＝log2(3x＋1)；
＝(log2x－2)·(log2x－1)
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2，
课堂小结
1.知识清单： (1)指数型函数的单调性. (2)对数型函数的单调性. (3)函数的综合应用.2.方法归纳：换元法.3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域.
随堂演练

A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0,1)
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∵u＝1－x为减函数，
2.函数y＝ 的单调递增区间是A.(－1,1] B.(－∞，1)C.[1,3) D.(1，＋∞)
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即x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)<0，解得－31
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3.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2，＋∞)
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∵y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，令u＝2－ax，又a>0，∴u＝2－ax在[0,1]上单调递减，∴y＝logau在[2－a，2]上单调递增，∴a>1.又2－ax>0在x∈[0,1]时恒成立，∴umin＝2－a×1＝2－a>0，即a<2，综上，a的取值范围为(1,2).
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令u＝x2＋2x＋4，则u＝(x＋1)2＋3≥3，∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞).
4.函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为___________.
[1，＋∞)
课时对点练

1.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上A.是增函数 B.是减函数C.先增后减 D.先减后增
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当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当02.已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
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∵函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，∴f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x，即f(x)＝f(2－x)，即y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
3.函数f(x)＝ 的单调递增区间为A.(－∞，2) B.[1,2] C.(2,3) D.(2，＋∞)
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因为f(x)＝2g(x)在定义域上为增函数，
令h(x)＝－x2＋4x－3，由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知函数f(x)的单调递增区间为[1,2]，
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A.是减函数且值域为(－1,1)B.是增函数且值域为(－1,1)C.是减函数且值域为(－∞，1)D.是增函数且值域为(－∞，1)
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又3x∈(0，＋∞)，
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∴g(－1)≠g(1)，则g(x)不是偶函数，故A错误；
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∴f(x)为奇函数，故B正确；
∵2x>0，∴1＋2x>1，
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7.已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________.
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a≥1
因为函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，则t＝|x－a|在区间(－∞，1]上单调递减，又函数t＝|x－a|在区间(－∞，a]上单调递减，所以(－∞，1]⊆(－∞，a]，故有a≥1.
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(1，＋∞)
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∴f(x)为奇函数，又f(x)在R上单调递减，由f(2m－1)＋f(m－2)<0得f(2m－1)<－f(m－2)＝f(2－m)，∴2m－1>2－m，解得m>1.
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∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，解得a＝2，经检验a＝2符合题意.
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(2)求函数f(x)的值域.
∵2x＋1>1，
∴函数f(x)的值域为(－1,1).
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10.已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
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(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.
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由(1)知f(x)是增函数和奇函数，所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立，等价于f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，
11.若函数f(x)＝ 在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为
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由－x2＋4x＋5>0，解得－112.若3a－3b>2b－2a，则下列不等式正确的是①ln(a－b＋1)>0；②ln(b－a＋1)>0；③ea－b－1>0；④eb－a－1>0.A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
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因为函数f(x)＝3x＋2x为增函数，3a－3b>2b－2a，即3a＋2a>3b＋2b，所以a>b，a－b>0，则a－b＋1>1，所以ln(a－b＋1)>0，故①正确；由b－a<0，得b－a＋1<1，所以ln(b－a＋1)<0，故②错误；ea－b>e0＝1，所以ea－b－1>0，故③正确；eb－a1
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令t＝log2x，则t∈(0,2]，∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈(0,2]，
当t＝0时，y有最大值为4，但取不到.
14.已知函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x2－2x－8)的单调递增区间为____________.
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(4，＋∞)
函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝ln x，
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15.定义运算⊗：①对∀m∈R，m⊗0＝0⊗m＝m；②对∀m，n，p∈R，(m⊗n)⊗p＝p⊗(mn)＋m⊗p＋n⊗p.若f(x)＝ex－1⊗e1－x，则有A.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B.函数f(x)在R上单调递增C.函数y＝f(x)的最小值为2D.
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依题意，f(x)＝ex－1⊗e1－x＝(ex－1⊗e1－x)⊗0＝0⊗(ex－1·e1－x)＋ex－1⊗0＋e1－x⊗0＝e0＋ex－1＋e1－x＝ex－1＋e1－x＋1，故f(1－x)＝e－x＋ex＋1，f(1＋x)＝ex＋e－x＋1，即f(1－x)＝f(1＋x)，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
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根据单调性知y＝f(x)在x＝1时取得最小值f(1)＝e0＋e0＋1＝3，故C错误；
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16.已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
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由f(x)的定义域为R，得ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a≠0时，
即实数a的取值范围为(1，＋∞).
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(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
因为f(x)的值域为R，所以{y|y＝ax2＋2x＋1}⊇(0，＋∞)，(也可以说y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数)①当a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意；
综上，实数a的取值范围为[0,1].