高中数学5.1 任意角和弧度制一课一练

A级：“四基”巩固训练

1．把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(　　)

A．315°－5×360°   B．45°－4×360°

C．－315°－4×360°   D．－45°－10×180°

答案　A

解析　∵0°≤α<360°，∴排除C，D.经计算可知A正确．

2．若β是第二象限角，则270°＋β是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　A

解析　由于β是第二象限角，所以k·360°＋90°<β<k·360°＋180°，k∈Z，则(k＋1)·360°<β＋270°<(k＋1)·360°＋90°，k∈Z，所以270°＋β是第一象限角，故选A.

3．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)

A．120°  B．－120°  C．－60°  D．60°

答案　B

解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B.

4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边(　　)

A．关于x轴对称   B．关于y轴对称

C．关于直线y＝x对称  D．关于原点对称

答案　A

解析　因为β＝315°＝360°－45°，所以－45°角与315°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称，故选A.

5．若角α为第二象限角，则的终边一定不在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　C

解析　因为角α为第二象限角，所以k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，所以k·120°＋30°<<k·120°＋60°，k∈Z.对k进行讨论，当k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)时，的取值范围分别为(n·360°＋30°，n·360°＋60°)，(n·360°＋150°，n·360°＋180°)，(n·360°＋270°，n·360°＋300°)，n∈Z，所以的终边落在第一或二或四象限，故选C.

二、填空题

6．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．

答案　－30°　－360°

解析　经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.

7．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．

答案　一或三

解析　由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．

8．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M________N．(填“”“”或“＝”)

答案　

解析　M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，∵k∈Z，∴k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，∴MN.

三、解答题

9．写出终边落在图中阴影部分的角的集合．

解　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．

10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

解　由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.

取k＝1，得α＋β＝80°.①

∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，

∴－90°<α－β<90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°.②

由①②，得α＝15°，β＝65°.

B级：“四能”提升训练

1．若角α的终边和函数y＝－|x|的图象重合，试写出角α的集合．

解　由于y＝－|x|的图象是三、四象限的平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为{α|α＝k·360°＋225°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}．

2. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．

解　根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，

故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z，

则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.

由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，

知2α，2β均为第二象限角．

因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，

所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，

于是45°<α<90°，45°<β<90°.

所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°，

即<m<，<n<，

又α<β，所以m<n，从而可得m＝2，n＝3，

即α＝，β＝.