人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课时训练，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列各式中正确的是( )
A．π＝180 B．π＝3.14
C．90°＝eq \f(π,2) rad D．1 rad＝π
答案 C
解析 A项，π rad＝180°，故错误；B项，π≈3.14，故错误；C项，90°＝eq \f(π,2)rad，故正确；D项，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°，故错误．故选C.
2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形圆心角不变
C．扇形面积增大到原来的2倍
D．扇形圆心角增大到原来的2倍
答案 B
解析 由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.
3．把－eq \f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为( )
A．－eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D．－eq \f(π,4)
答案 A
解析 ∵－eq \f(11π,4)＝－2π－eq \f(3π,4)，∴θ＝－eq \f(3π,4).又－eq \f(11π,4)＝－4π＋eq \f(5π,4)，∴θ＝eq \f(5π,4).∴使|θ|最小的θ＝－eq \f(3π,4).
4．若α＝2kπ－eq \f(35,4)，k∈Z，则角α所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵－9<－eq \f(35,4)<－8，∴－3π<－eq \f(35,4)<－3π＋eq \f(π,2).
∴－eq \f(35,4)在第三象限，故α也在第三象限．
5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \r(3) D．2
答案 C
解析 设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2rsin60°＝eq \r(3)r，所以弧长eq \r(3)r的圆心角的弧度数为eq \f(\r(3)r,r)＝eq \r(3).
二、填空题
6．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
答案 －10π＋eq \f(7π,4)
解析 －1485°＝－1485×eq \f(π,180)＝－eq \f(33π,4)＝－10π＋eq \f(7π,4).
7．扇形AOB，半径为2 cm，AB＝2eq \r(2) cm，则eq \x\t(AB)所对的圆心角弧度数为________．
答案 eq \f(π,2)
解析 ∵OA＝OB＝2，AB＝2eq \r(2)，
∴∠AOB＝90°＝eq \f(π,2).
8．若角α的终边与eq \f(8π,5)角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与eq \f(α,4)角的终边相同的角是________________．
答案 eq \f(2π,5)，eq \f(9π,10)，eq \f(7π,5)，eq \f(19π,10)
解析 由题意，得α＝eq \f(8π,5)＋2kπ，∴eq \f(α,4)＝eq \f(2π,5)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．
令k＝0,1,2,3，得eq \f(α,4)＝eq \f(2π,5)，eq \f(9π,10)，eq \f(7π,5)，eq \f(19π,10).
三、解答题
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．
解 ∵150°＝eq \f(5π,6)，
∴终边在阴影区域内角的集合为S＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋2kπ≤β≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))).
∵2019°＝219°＋5×360°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(219π,180)＋10π)) rad，
又 eq \f(5π,6)10．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R.
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2R＋Rθ＝8，,\f(1,2)θ·R2＝3，))解得θ＝eq \f(2,3)或6.
即圆心角的大小为eq \f(2,3)弧度或6弧度．
(2)设扇形所在圆的半径为 x cm，
则扇形的圆心角θ＝eq \f(8－2x,x).
于是扇形的面积是S＝eq \f(1,2)x2·eq \f(8－2x,x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.
故当x＝2 cm时，S取到最大值．
此时圆心角θ＝eq \f(8－4,2)＝2弧度，弦长AB＝2·2sin1＝4sin1(cm)．
即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm.
B级：“四能”提升训练
1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C＞0)，该扇形的最大面积为( )
A.eq \f(C,4) B.eq \f(C2,4) C.eq \f(C2,16) D.eq \f(C2,2)
答案 C
解析 设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，则S＝eq \f(1,2)(C－2R)R＝－R2＋eq \f(C,2)R＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－\f(C,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C,4)))2，当R＝eq \f(C,4)，即α＝eq \f(C－2R,R)＝2时，扇形的面积最大，最大面积为eq \f(C2,16).故选C.
2．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇所用的时间及P，Q各自走过的弧长．
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间为t秒，
则t·eq \f(π,3)＋t·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π，解得t＝4.
即第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为：eq \f(4π,3)×4＝eq \f(16π,3)，
Q点走过的弧长为：8π－eq \f(16π,3)＝eq \f(8π,3).